緒論：寫作既是個(gè)人情感的抒發(fā)，也是對學(xué)術(shù)真理的探索，歡迎閱讀由發(fā)表云整理的11篇數(shù)學(xué)原始概念范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發(fā)。

篇（1）

引言

在現(xiàn)階段的教學(xué)中，很多教師依然未能擺脫缺頭少尾滿堂灌的老招式。對于概念的教學(xué)，忽視概念產(chǎn)生的背景、形成過程，缺少對概念的本質(zhì)理解，淡化概念中所反映的思想方法，提問形式單調(diào)，提問策略方法缺乏，教學(xué)高負(fù)低效，從而導(dǎo)致學(xué)生不能深刻地理解概念，只能按照固定的模式解決問題，缺乏問題意識，不能做到舉一反三。因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是基于“問題”的教學(xué)，這些問題是基于概念的產(chǎn)生和發(fā)展的邏輯性。

一、六何三線概述

周堂教授提出的優(yōu)化問題的“六何”教學(xué)策略，從問題意識的角度創(chuàng)建了一種認(rèn)識方法論，把知識的來龍去脈問題化、精致化、操作化和完整化。從何？一是何？一與何？―如何？一若何？一有何？即學(xué)習(xí)的知識和其本質(zhì)特征是什么？知識是從哪里來？新知與舊知有何同異及其聯(lián)系？如何學(xué)以致用？知行合一？若些屬性和條件發(fā)生變化問題會怎么樣？學(xué)完了有哪些收獲、困惑和反思，以及如何去改善？這“六何”具有思考的根基和層次性，逐次生長、提升和拓展，貫穿學(xué)習(xí)和思考的全過程，有利于建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。根據(jù)美國學(xué)者梅克（Maker）和斯克維（Schiever）等人提出的一種問題分類方式“問題類型連續(xù)體”（Maker-Schiever Continuum of Problem Types），“從何”、“是何”、“與何”為事實(shí)水平的問題，有著單一正確的答案；“如何”、“若何”、“有何”為開放的、探究的、反思的問題，答案是系列的或者是開放的。筆者在“六何”認(rèn)識方法論基礎(chǔ)上，結(jié)合課堂教學(xué)的師生互動(dòng)，提出了“六何三線”，其中“三線”指課堂以學(xué)法為主線，教導(dǎo)為輔線，問題為明線。課堂“三線”圍繞“六何”教學(xué)脈絡(luò)循序漸進(jìn)，交融貫通。

二、六何三線模式的高中數(shù)學(xué)教學(xué)原則

1問題為主線原則

人們對于“問題”的探索是一種本能，也是一種主動(dòng)求索的過程。“問題”在教學(xué)中的功能主要有：定向功能，組織的功能，激發(fā)的功能，評價(jià)功能。學(xué)生的思維發(fā)展是從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的建構(gòu)過程，而“問題”是學(xué)生自主探索的出發(fā)點(diǎn)和動(dòng)力，是學(xué)生思維的“啟發(fā)劑”，它能促使學(xué)生的求知欲從潛伏狀態(tài)轉(zhuǎn)入活躍狀態(tài)。因此要通過“問題”引導(dǎo)學(xué)生圍繞概念的發(fā)生與發(fā)展來展學(xué)習(xí)。高中數(shù)學(xué)“六何三線”概念教學(xué)模式中，“六何”是從問題意識的角度創(chuàng)建的一種認(rèn)識方法論，把知識的來龍去脈問題化、精致化、操作化和完整化。從何？一是何？一與何？―如何？一若何？一有何？即學(xué)習(xí)的知識和其本質(zhì)特征是什么？知識是從哪里來？新知與舊知有何同異及其聯(lián)系？如何學(xué)以致用？知行合一？若一些屬性和條件發(fā)生變化問題會怎么樣？學(xué)完了有哪些收獲、困惑和反思，以及如何去改善？這“六何”具有思考的根基和層次性，逐次生長、提升和拓展，貫穿學(xué)習(xí)和思考的全過程。基于“六何”而設(shè)置的問題是“六何”的具體表現(xiàn)形式，是教學(xué)的一條明晰的教學(xué)路線。“問題”從概念的產(chǎn)生出發(fā)，環(huán)環(huán)相扣，逐步推進(jìn)，實(shí)現(xiàn)知識的連續(xù)建構(gòu)。這一過程以問題引入，以問題歸結(jié)，又以新的問題引入新的學(xué)習(xí)。問題合乎學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和發(fā)展需要，正確把握學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，更能訓(xùn)練其思維的嚴(yán)密性和邏輯性。

2變式為主策原則

變式在中國由來已久，主要用于概念的教學(xué)。對“教學(xué)變式”詞條的解釋是：“在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。目的在于使學(xué)生了解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對一事物形成科學(xué)概念。”

傳統(tǒng)意義上的概念教學(xué)變式可以分為概念變式和非概念變式，它們可以幫助學(xué)生對概念進(jìn)行多角度的理解。在教學(xué)中，教師可以通過直觀或具體的變式來建立感性經(jīng)驗(yàn)和抽象概念之間的聯(lián)系；或者通過非概念變式使概念的內(nèi)涵清晰和外延明確。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要突出概念的本質(zhì)特征，控制無關(guān)特征，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)自己的概念，從而更深刻地理解概念。高中數(shù)學(xué)“六何三線”概念教學(xué)模式中，“變式”是教學(xué)過程的一個(gè)主要策略，"若何”即為變式，也是“六何”的部分。在概念形成過程中，變式訓(xùn)練可以進(jìn)一步揭示概念的本質(zhì)屬性，打破學(xué)生套用固定的解題模式，培養(yǎng)學(xué)生多角度地思考問題，進(jìn)而提高他們的思維層次。

3學(xué)生為主體原則

學(xué)生是教育的目的，也是教育的中心，是教育的出發(fā)點(diǎn)，也是教育的歸宿。處于青春初期的高中生認(rèn)知能力不斷地完善，辯證思維和創(chuàng)造性思維有了很大的發(fā)展，抽象思維占優(yōu)勢。他們的認(rèn)知自覺性、觀察力和識記能力有了進(jìn)一步發(fā)展，且學(xué)習(xí)的目的性和方向性更明確，自我評價(jià)和自我控制的能力也都明顯增強(qiáng)。因此，我們的教育是要以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生的主體地位和人格，不斷挖掘、提高學(xué)生的主體性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“學(xué)會”向“會學(xué)”轉(zhuǎn)變。高中數(shù)學(xué)“六何三線”概念教學(xué)模式中，始終是以生為本，讓學(xué)生通過自主探究、合作交流、展示分享和小結(jié)反思來理解和掌握概念。教師設(shè)置的問題符合學(xué)生的智力水平，學(xué)生有足夠的時(shí)間獨(dú)立思考，并在探究、發(fā)現(xiàn)、討論和解決問題的過程中訓(xùn)練和提高。

4教師為主導(dǎo)原則

教師是教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者。教師的人生閱歷、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識儲備等決定了師生交流、互動(dòng)中的主動(dòng)和主導(dǎo)地位。教師要有目的、有意識地誘導(dǎo)設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生始終處于積極的思維狀態(tài)，主動(dòng)參與整個(gè)學(xué)習(xí)過程。教師引導(dǎo)的方式主要是通過問題的設(shè)置和提問，引導(dǎo)的特點(diǎn)是“含而不露，指而不明，開而不達(dá)，引而不發(fā)”，導(dǎo)在知識關(guān)鍵點(diǎn)上，導(dǎo)在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，導(dǎo)在學(xué)生的興趣點(diǎn)上，把學(xué)生的好奇心轉(zhuǎn)變?yōu)榍笾纬煞€(wěn)定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和信心。

三、結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)“六何三線”概念教學(xué)模式可以提高學(xué)生的主體地位，讓他們學(xué)生提出和思考問題，全面提高他們的綜合素質(zhì)。

篇（2）

一、選擇題

1下列說法中,正確的是

(

)

A.弦是直徑

B.半圓是弧

C.過圓心的線段是直徑

D.圓心相同半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓

2如圖MN為☉O的弦,∠M=30°,則∠MON等于

(

)

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

3.下列說法中,錯(cuò)誤的是

(

)

A.直徑相等的兩個(gè)圓是等圓

B.長度相等的兩條弧是等弧

C.圓中最長的弦是直徑

D.一條弦把圓分成兩條弧,這兩條弧可能是等弧

4.在☉O中,直徑AB=a,弦CD=b,則a與b的大小關(guān)系為

(

)

A.a>b

B.a≥b

C.a

D.a≤b

5

如圖1,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,則∠BOC的度數(shù)為

(

)

圖1

A.25°

B.50°

C.60°

D.80°

二、填空題

6.如果圓的半徑為3,那么弦長x的取值范圍是

.

7如圖2,點(diǎn)M,G,D在半圓O上,四邊形OEDF,HMNO均為矩形,EF=b,NH=c,則b與c之間的大小關(guān)系是b

c(填“”).

圖2

8如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),☉M的半徑為2,過點(diǎn)M的直線與☉M的交點(diǎn)分別為A,B,則AOB的面積的最大值為

.

圖3

三、解答題

9.如圖,已知AB為☉O的弦,點(diǎn)C,D在AB上,且AC=BD.求證:∠AOC=∠BOD.

10.如圖4,CD是☉O的直徑,A為DC的延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在☉O上,∠EOD=81°,AE交☉O于點(diǎn)B,且AB=OC,求∠A的度數(shù).

圖4

11.如圖5,A,B,C是☉O上的三點(diǎn),BO平分∠ABC.求證:BA=BC.

圖5

12.如圖6,兩個(gè)正方形彼此相鄰,且大正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D在半圓O上,頂點(diǎn)B,C在半圓O的直徑上,小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓O上,頂點(diǎn)E在半圓O的直徑上,頂點(diǎn)G在大正方形的邊AB上,若小正方形的邊長為4,求該圓的半徑.

圖6

答案

1-5

BDBBB

6.[答案]

[解析]

圓的半徑為3,則圓中最長的弦即直徑的長度是6,因而弦長x的取值范圍是0

7.[答案]

=

[解析]

如圖,連接OM,OD.

四邊形OEDF是矩形,

b=EF=OD,同理c=OM.

OM=OD,b=c.

8.[答案]

6

[解析]

AB為圓的直徑,AB=4,

當(dāng)點(diǎn)O到AB的距離最大時(shí),AOB的面積最大,即當(dāng)OMAB時(shí),AOB的面積最大,最大值為12×3×4=6.故答案為6.

9.證明:OA=OB,∠A=∠B.

在OAC和OBD中,OA=OB,∠A=∠B,AC=BD,

OAC≌OBD(SAS),∠AOC=∠BOD.

10.解:連接OB,如圖.

AB=OC,OB=OC,

AB=OB,∠A=∠2.

∠1=∠A+∠2,

∠1=2∠A.

OB=OE,∠1=∠E,∠E=2∠A.

∠EOD=∠A+∠E=81°,

3∠A=81°,∠A=27°.

11.證明:連接OA,OC,如圖.

OA=OB,OB=OC,

∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.

BO平分∠ABC,

∠ABO=∠CBO,

∠BAO=∠BCO,

OAB≌OCB,BA=BC.

12

解:連接OA,OD,OF,如圖.四邊形ABCD為正方形,CD=AB.又OD=OA,OC=OD2-CD2,OB=OA2-AB2,OC=OB.

設(shè)OB=x,則OE=x+4,AB=2x.

在RtAOB中,OA2=OB2+AB2=x2+(2x)2=5x2.在RtOEF中,OF2=OE2+EF2=(x+4)2+42.

又OA=OF,(x+4)2+42=5x2.

篇（3）

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篇（4）

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。通過良好的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)促進(jìn)學(xué)生從具體形象思維發(fā)展到抽象邏輯思維，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，

通過有效的概念教學(xué)，使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念。

一、起始型概念課教學(xué)過程中存在的問題

1.概念教學(xué)的目標(biāo)定位失當(dāng)

很多教師在上概念課的時(shí)候，首先就要求學(xué)生把概念強(qiáng)記下來，然后進(jìn)行大量的強(qiáng)化練習(xí)來鞏固概念。這種死記硬背的教學(xué)方式有著很大的消極影響，由于學(xué)生并沒有理解概念的真正含

義，一旦實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候就感到一片茫然。

2.孤立地教學(xué)概念

很多教師在教學(xué)概念的時(shí)候往往習(xí)慣于把各個(gè)概念分開講述，這樣雖然是課時(shí)設(shè)置的需要，但是這種教學(xué)方式會使學(xué)生掌握的各種數(shù)學(xué)概念顯得零碎，缺乏一定的體系，這不僅給學(xué)生理解和應(yīng)用概念設(shè)置了障礙，同時(shí)還給概念的記憶增加了難度。

3.概念的形成缺乏有效引導(dǎo)

在演繹概念的教學(xué)中，教師往往采取“老師帶著學(xué)生小步走，學(xué)生按照老師的思維慢慢走”的引導(dǎo)模式。引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性，這是概念教學(xué)應(yīng)該達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)。

二、低年段起始型概念課的有效教學(xué)策略

1.將概念置身于“原始背景”中去理解

起始型概念是在長期的實(shí)踐中總結(jié)出來的，它是在一定知識背景下的某一個(gè)情境中自然得到的結(jié)果，這個(gè)合乎想象的能觸發(fā)新概念形成的知識背景稱為知識的原始背景。當(dāng)面對一個(gè)嶄新的概念，都應(yīng)努力地探尋知識的原始背景，模擬知識發(fā)生的情境，將靜態(tài)的知識結(jié)論轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的探索對象，讓學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)生、形成的過程。

2.將概念置身于“現(xiàn)實(shí)背景”中去理解

雖然是初級概念，但它仍然是學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物。如在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)采取一些恰當(dāng)?shù)姆绞搅私鈱W(xué)生，如調(diào)查研究等方式，找到新舊知識之間、文本知識和生活知識之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)展開教學(xué)，讓學(xué)生以聯(lián)系的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)新的概念，促進(jìn)主動(dòng)建構(gòu)，這里的聯(lián)系包含知識系統(tǒng)本身的聯(lián)系和學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系。

3.讓學(xué)生在動(dòng)手操作的活動(dòng)中建立概念

篇（5）

數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)二：對數(shù)學(xué)思想方法的把握。基本數(shù)學(xué)概念背后往往蘊(yùn)涵重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的思想方法極為豐富，小學(xué)階段主要涉及哪些數(shù)學(xué)的思想方法呢？這些思想方法如何在教學(xué)中落實(shí)呢？我們的基本觀點(diǎn)是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和解決問題中落實(shí)。小學(xué)階段的重要思想方法有：分類思想、轉(zhuǎn)化思想（叫“化歸思想”可能更合適）、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應(yīng)思想、函數(shù)思想、方程思想、集合思想、符號化思想、類比法、不完全歸納法等。

數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)三：對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟。每一學(xué)科都有其獨(dú)特的思維方式和認(rèn)識世界的角度，數(shù)學(xué)也不例外，尤其數(shù)學(xué)又享有“鍛煉思維的體操、啟迪智慧的鑰匙”的美譽(yù)。小學(xué)階段的主要思維方式有：比較、類比、抽象、概括、猜想――驗(yàn)證，其中“概括”是數(shù)學(xué)思維方式的核心。

篇（6）

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）09-0270-01

一、數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)意義

數(shù)學(xué)概念是反映一類對象本質(zhì)屬性的思維形式，它具有相對獨(dú)立性。概念反映的是一類對象的本質(zhì)屬性，即這類對象的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關(guān)系，僅被抽取出量的關(guān)系和形式構(gòu)造，在某種程度上表現(xiàn)為對原始對象具體內(nèi)容的相對獨(dú)立性。

數(shù)學(xué)概念又具有抽象與具體的雙重性。數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的。以“矩形”概念為例，現(xiàn)實(shí)世界中沒見過抽象的矩形，而只能見到形形的具體的矩形。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)概念“脫離”了現(xiàn)實(shí)。由于數(shù)學(xué)中使用了形式化符號化的語言，是數(shù)學(xué)概念離現(xiàn)實(shí)更遠(yuǎn)，即抽象程度更高，但同時(shí)，正因?yàn)槌橄蟪潭扔撸c現(xiàn)實(shí)的原始對象聯(lián)系愈弱，才使得數(shù)學(xué)概念應(yīng)用愈廣泛。但不管怎么抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內(nèi)容，且數(shù)學(xué)概念時(shí)數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)部分，就整個(gè)數(shù)學(xué)體系而言，概念是一個(gè)實(shí)在的東西。所以它既是抽象的又是具體的。

數(shù)學(xué)概念還具有邏輯聯(lián)系性。數(shù)學(xué)中大多數(shù)概念都是在原始概念（原名）的基礎(chǔ)上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語言或符號的形式使之固定。其他學(xué)科均沒有數(shù)學(xué)概念那樣具有如此精確的內(nèi)涵和如此豐富、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬄?lián)系。

從平常數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)際來看，學(xué)生往往會出現(xiàn)兩種傾向，其一是有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味，不重視它，不求甚解，導(dǎo)致概念認(rèn)識和理解模糊；其二是有的學(xué)生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機(jī)械的、零碎的認(rèn)識。這樣久而久之，從而嚴(yán)重影響對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握和運(yùn)用。比如有同學(xué)認(rèn)為是奇函數(shù)，有的同學(xué)在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的同學(xué)認(rèn)為函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這些錯(cuò)誤都是由于學(xué)生對概念認(rèn)識模糊造成的。只有真正掌握了數(shù)學(xué)中的基本概念，我們才能把握數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)，才能有正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算，論證和空間想象。從一定意義上說，數(shù)學(xué)水平的高低，取決于對數(shù)學(xué)概念掌握的程度。

二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)形式

（一）注重概念的本源、概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過程

每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學(xué)生一連串的概念是傳統(tǒng)教學(xué)模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學(xué)生感到茫然，丟掉了培養(yǎng)學(xué)生概括能力的極好機(jī)會。由于概念本身具有的嚴(yán)密性、抽象性和明確規(guī)定性，傳統(tǒng)教學(xué)中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主讓學(xué)生“占有”新概念，置學(xué)生于被動(dòng)地位，使學(xué)生的思維呈依賴狀態(tài)，這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情景中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程，那么在獲得概念的同時(shí)還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，我們應(yīng)重視在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)。概念引入時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”猜想作為數(shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，因此，在概念引入時(shí)培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣，是形成數(shù)學(xué)直覺，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。

（二）挖掘概念的內(nèi)涵與外延，理解概念

新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義；（3）任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出：（1）三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號；（2）三角函數(shù)線；（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（4）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；（5）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等。可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重，是整個(gè)三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用。“磨刀不誤砍柴工 ”，重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，有利于學(xué)生理解概念。

篇（7）

比如，現(xiàn)代數(shù)學(xué)，與近代數(shù)學(xué)，基本是兩碼事。古代數(shù)學(xué)，與近代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)，更是不同。特別是遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)――原始數(shù)學(xué)，更不相同。而且原始數(shù)學(xué)能否叫做數(shù)學(xué)都是問題。

對人類數(shù)學(xué)發(fā)展史，目前大致有個(gè)認(rèn)識上的界定，權(quán)威的數(shù)學(xué)史大致是這么寫的：

“數(shù)學(xué)是一門最古老學(xué)科，它的起源可以上溯到一萬多年以前。但是，公元1000年以前的資料留存下來的極少。迄今所知，只有在古代埃及和巴比倫發(fā)現(xiàn)了比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。遠(yuǎn)在15000年前人類就已經(jīng)能相當(dāng)逼真地描繪出人和動(dòng)物的形象。這是萌發(fā)圖形意識的最早證據(jù)。后來就逐漸開始了對圓形和直線形的追求，因而成為數(shù)學(xué)圖形的最早的原型。在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中又逐漸產(chǎn)生了計(jì)數(shù)意識和計(jì)數(shù)系統(tǒng)，人類摸索過多種記數(shù)方法，有開始的結(jié)繩記數(shù)，用石塊記數(shù)，語言點(diǎn)數(shù)進(jìn)一步用符號，逐步發(fā)展到今天我們所用的數(shù)字。古希臘人在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了名稱、概念和自我思考，他們很早就開始猜測數(shù)學(xué)是如何產(chǎn)生的……”

通過這段文字，我們可以看得出，人類數(shù)學(xué)從萌芽到現(xiàn)在，經(jīng)歷了數(shù)個(gè)漫長的歷史時(shí)期，在各個(gè)歷史時(shí)期，“數(shù)學(xué)”并不相同，而是經(jīng)歷了諸多的變化，當(dāng)然也做出了積累。

史學(xué)家和數(shù)學(xué)家們，從多種標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)發(fā)展做了發(fā)展期的劃分，但這種劃分并不是針對數(shù)學(xué)教育所提出。因此，我們從學(xué)習(xí)和教學(xué)的角度來閱讀理解數(shù)學(xué)史，還是比較困難的。

我們知道，在1萬多年前至今的數(shù)學(xué)發(fā)展史中，各個(gè)歷史時(shí)期的“數(shù)學(xué)”并不一樣，雖然都稱之為“數(shù)學(xué)”。所以，我們有必要回溯歷史，并結(jié)合人類的認(rèn)知與思維發(fā)展史，從各個(gè)歷史時(shí)期數(shù)學(xué)建立的基礎(chǔ)（建立的基本邏輯）和同步時(shí)期的人類認(rèn)知與思維發(fā)展的角度，來重新劃分一下數(shù)學(xué)。

我個(gè)人認(rèn)為，可以劃分為如下幾個(gè)階段：

1.遠(yuǎn)古數(shù)學(xué)：人類感覺時(shí)期的數(shù)學(xué) ―― 即量感、形感、質(zhì)感

時(shí)期；

2.原始數(shù)學(xué)：人類感知、認(rèn)知時(shí)期的數(shù)學(xué) ―― 即計(jì)量、測量、估量和數(shù)字、圖形、文字時(shí)期。

這個(gè)時(shí)期，主要是由計(jì)數(shù)、測量、估量等產(chǎn)生了數(shù)字、測繪圖形、自然科學(xué)萌芽等。大致相當(dāng)于古埃及、古印度、古兩河文明

時(shí)期。

3.古代數(shù)學(xué)：人類探知時(shí)期開始的數(shù)學(xué)――即初等數(shù)學(xué)形成時(shí)期的數(shù)學(xué)。這個(gè)時(shí)期主要是產(chǎn)生了概念、邏輯、形而上、Logos等，把數(shù)學(xué)逐步建立在了形而上思維、Logos理念、概念和形式邏輯基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了公理體系的幾何學(xué)，嚴(yán)格的證明和算法等。人類開始以數(shù)學(xué)、語言學(xué)、形而上學(xué)、詩歌神話的眼光來認(rèn)知和理解世界。“萬物皆數(shù)”“人是萬物的尺度”等，便是例證。這也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)的歷史時(shí)期。這個(gè)時(shí)期大致相當(dāng)于古希臘時(shí)期公元前600年至滅亡。

4.近代數(shù)學(xué)：笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，把變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。數(shù)學(xué)進(jìn)入一個(gè)新的以變數(shù)為主要研究對象的領(lǐng)域，稱為“高等數(shù)學(xué)”。近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)。微積分、函數(shù)、解析幾何、數(shù)論等是這個(gè)時(shí)代的主角。

5.現(xiàn)代數(shù)學(xué)：現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期是指由19世紀(jì)20年代至今，這一時(shí)期數(shù)學(xué)主要研究的是最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。

19世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)上出現(xiàn)三項(xiàng)革命性的發(fā)現(xiàn)：非歐幾何、不可交換代數(shù)、分析的算術(shù)化。這導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的突破和奠基。

拓?fù)鋵W(xué)開始是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是直到20世紀(jì)的第二個(gè)1/4世紀(jì)，它才得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。科學(xué)家們認(rèn)識到：任何事物的集合，不管是點(diǎn)的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實(shí)體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對象的集合，都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論，已經(jīng)成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的

研究。

20世紀(jì)有許多數(shù)學(xué)著作曾致力于仔細(xì)考查數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)，這反過來導(dǎo)致公理學(xué)的產(chǎn)生，即對于公設(shè)集合及其性質(zhì)的研究。許多數(shù)學(xué)概念經(jīng)受了重大的變革和推廣，并且像集合論、近世代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)這樣深?yuàn)W的基礎(chǔ)學(xué)科也得到廣泛發(fā)展。一般（或抽象）集合論導(dǎo)致的一些意義深遠(yuǎn)而困擾人們的悖論，迫切需要得到處理。邏輯本身作為在數(shù)學(xué)上以承認(rèn)的前提去得出結(jié)論的工具，被認(rèn)真地檢查，從而產(chǎn)生了數(shù)理邏輯。邏輯與哲學(xué)的多種關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)學(xué)哲學(xué)的各種不同學(xué)派的出現(xiàn)。

從整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，數(shù)學(xué)成立的基礎(chǔ)是：概念、邏輯。

以上引用的都是比較權(quán)威的數(shù)學(xué)史、自然科學(xué)史上的資料和說法，而且在不同的版本之間做過比對。

篇（8）

一、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的資源開發(fā)

小學(xué)階段，學(xué)生從最簡單的自然數(shù)開始逐漸接觸分?jǐn)?shù)、小數(shù)等數(shù)系方面的知識。除了同一數(shù)學(xué)分支的學(xué)習(xí)在不斷地縱向延伸拓展外，學(xué)生還開始慢慢接觸多個(gè)數(shù)學(xué)分支，比如幾何的初步認(rèn)識，概率統(tǒng)計(jì)方面的初步認(rèn)識，這些由“標(biāo)準(zhǔn)”的四大知識領(lǐng)域的劃分就可以得到印證。但是長期以來小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識主要是集中在其中的兩部分，即：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形。這里將以小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”知識領(lǐng)域的一些重要知識點(diǎn)為基礎(chǔ)，研究其中比較基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念，編寫一些適合一線教師在課堂可以直接使用的歷史材料。

（一）自然數(shù)源于“比較”

毫無疑問，自然數(shù)是世界上公認(rèn)的產(chǎn)生最早的一類數(shù)。英譯為nature number，可見中文和英文的意思是一種直接的對應(yīng)，“有自然而然產(chǎn)生出來的意思”。通常認(rèn)為原始人類在運(yùn)用匹配的方式計(jì)數(shù)以及考察動(dòng)作的順序時(shí)產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，在自然數(shù)的概念產(chǎn)生的同時(shí)也產(chǎn)生了自然數(shù)的算術(shù)四則運(yùn)算法則，隨著運(yùn)算的發(fā)展即自然數(shù)在生活中的應(yīng)用，自然數(shù)的概念逐漸完善。

最初，原始人過著居無定所的“流浪”生活，靠狩獵為生。在長期狩獵與分配的過程中，他們逐漸形成了“有”和“無”、“多”和“少”的概念。在“有”中漸漸知道“1”和“多”的區(qū)別。例如，收獲獵物與空手而歸，就產(chǎn)生了“有”和“無”的概念；在分配獵物時(shí)，每人一個(gè)一個(gè)地分，以滿足每個(gè)人得到的數(shù)量能相等，在每人分一個(gè)不夠時(shí)和每人分完一個(gè)還有剩余時(shí)，就產(chǎn)生了“少”和“多”的概念。有研究表明：有些動(dòng)物也有能辨別數(shù)目多少的才能。這種按人數(shù)一個(gè)一個(gè)地分配獵物，事實(shí)上就是匹配的方法，這里蘊(yùn)含的是“對應(yīng)”的思想，在歷史上被稱為“數(shù)學(xué)的第一次抽象”。或許這就是函數(shù)“對應(yīng)法則”的最初原型吧。初入學(xué)的小學(xué)生和原始人認(rèn)識自然數(shù)的思維過程是相似的。心理學(xué)研究表明，低年級學(xué)生的數(shù)概念已基本形成，能夠理解數(shù)與實(shí)物的對應(yīng)關(guān)系。所以，在低年級引入自然數(shù)的概念時(shí)，應(yīng)該考慮到孩子的心理特點(diǎn)：先叫他們感受“有”和“無”的區(qū)別，然后再辨別數(shù)量的“多”和“少”。而在一年級教材中，也正是先讓學(xué)生認(rèn)識具體物體的個(gè)數(shù)，然后才抽象出數(shù)的概念的。教師在此階段的教學(xué)中，不可急于求成，讓學(xué)生慢慢地在“掰著手指頭”“一一匹配”的基礎(chǔ)上，感知事物數(shù)量的多少關(guān)系。

在生產(chǎn)實(shí)踐中，人們匹配的對象不斷擴(kuò)展，例如手指、小石頭、貝殼等等。盡管匹配的對象多種多樣，但是人們發(fā)現(xiàn)它們在數(shù)量上有某種共性，例如一根手指、一塊石頭、一個(gè)貝殼等，都包含有一個(gè)共同的特征“一”，這樣就抽象出了數(shù)字“1”的概念。英國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家伯特蘭羅素（Bertrand Russell，1872~1970）說：“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時(shí)，數(shù)學(xué)就誕生了”。當(dāng)然，也就隨之逐漸地抽象出用來表示數(shù)字的“2”“3”等等，但是隨著感知數(shù)量的增加，先民卻很難突破大于3的數(shù)，大于3的數(shù)他們都理解為一堆或一群。對于兒童而言也是如此，所以一年級的小學(xué)生先學(xué)習(xí)0-9的認(rèn)識和運(yùn)算，在學(xué)生學(xué)習(xí)基本的點(diǎn)數(shù)動(dòng)作語言之后，接著學(xué)習(xí)10-20的認(rèn)識和運(yùn)算。慢慢這些匹配的對象演化為人們的記數(shù)工具。由于這種記數(shù)工具不易攜帶和保存，人們想到用結(jié)繩的方法來記數(shù)，并逐漸發(fā)展為在石頭、木、竹片或骨上來“刻痕記數(shù)”。但是人類把數(shù)的共同特征抽象出來，并采用與大多數(shù)具體事物無關(guān)的某個(gè)語音來代替它，或許經(jīng)歷了很長時(shí)間。既然如此，在運(yùn)算教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生借助大量直觀的“匹配”活動(dòng)，比如數(shù)手指等，慢慢形成抽象的自然數(shù)。而不能急于求成，直接將運(yùn)算知識交給孩子。這對學(xué)生思維的發(fā)展是毫無益處的。

（二）分?jǐn)?shù)源于“分”的需要

隨著人類社會發(fā)展的不斷進(jìn)步、人類實(shí)踐活動(dòng)范圍的不斷推廣，在生產(chǎn)分配過程中常出現(xiàn)不能均分的情況、在測量或計(jì)算時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果，分?jǐn)?shù)自然而然就產(chǎn)生了。在小學(xué)，分?jǐn)?shù)概念的引入，也是出現(xiàn)在不能平均整分的情境下。分?jǐn)?shù)的概念從對漢字的考證來看，原始分?jǐn)?shù)的概念來源于連續(xù)量的分割。殷商甲骨文“八”字，據(jù)考釋是“分”的意思；《說文八部》中的解釋是“八，別也。象分別相背之形。”周代金文中已常用“分”字：“分，別也。從八而刀，刀以分別物也”。《新華字典》中的解釋可取為“分開，劃分開，跟‘合’相反，引申為取整數(shù)的一部分”。在英語中分?jǐn)?shù)是“fraction”一詞，也有“小部分，片斷”的意思，它能追溯到拉丁詞“frangere”，是“打碎”的意思。它是源自過去分詞“fractus”的詞干派生的后期拉丁語“fractio”，意為“破裂”或“碎成一片片的”。

盡管各個(gè)國家的語言文化背景和社會政治經(jīng)濟(jì)發(fā)展不同，但是對“分?jǐn)?shù)”概念的理解卻有異曲同工之處，基本都理解為“被分割的數(shù)，被打碎的數(shù)，破碎的數(shù)”。所以，分?jǐn)?shù)在原始人的思維起源應(yīng)是一種事物不能夠均分為幾份了，那么一個(gè)整體就要被“打破了”來分。

分?jǐn)?shù)的概念最早可以追溯到巴比倫人，他們采用六十進(jìn)位制，但只不過限于簡單的、、等。在量的意義上，他們把它當(dāng)作“整體”來看待，而不是一的幾分之幾，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)是從量的度量（同另一量相比有這種對應(yīng)關(guān)系）所得出的結(jié)果。例如，當(dāng)把一元錢與一角錢對比時(shí)，就可以把一角錢寫成，但是卻把本身看成一個(gè)單位而不是一個(gè)分?jǐn)?shù)，這是二者之間的一種“比較”，而不是“二者之比”。而我們今天通常把一元錢看成整體，把一角錢看成它的一部分，那么相對于一元錢就是一個(gè)分?jǐn)?shù)了。埃及人表示分?jǐn)?shù)的方式比我們今天要復(fù)雜得多。他們通常在整數(shù)上加一個(gè)卵形（或者是一個(gè)小圓點(diǎn)），表明它是分?jǐn)?shù)。除幾個(gè)特殊的分?jǐn)?shù)外，他們的分?jǐn)?shù)一般都拆成單位分?jǐn)?shù)的和的形式。毫無疑問，對古埃及人來說這其實(shí)是一件極其復(fù)雜的事。古希臘時(shí)期（通常認(rèn)為是公元前600年到前300年）人們把分?jǐn)?shù)看成“兩個(gè)整數(shù)之比，不提到整數(shù)的部分，而且只在比例里用到比”。而且認(rèn)為：宇宙間一切現(xiàn)象都可以歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。事實(shí)上，這乃是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的理念。經(jīng)過時(shí)間的洗禮，希臘時(shí)期（一般認(rèn)為是公元前300年到公元600年，或稱亞歷山大里亞時(shí)期）他們發(fā)明了特殊記號來表示分?jǐn)?shù)。例如，在寫分?jǐn)?shù)時(shí)，他們在分子上加一個(gè)重音符號，然后再把分母寫一次或兩次并加兩個(gè)重音符號。

從上面能看到古巴比倫、古埃及和希臘，都有關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載，但是多是關(guān)于分?jǐn)?shù)如何表示，卻沒有關(guān)于分?jǐn)?shù)起源的記錄。分?jǐn)?shù)在我國起源于何時(shí)，有待考證。但是可以說，我國古代數(shù)學(xué)在分?jǐn)?shù)理論方面有著悠久的歷史和卓越的貢獻(xiàn)。有學(xué)者認(rèn)為，中國是分?jǐn)?shù)的故鄉(xiāng)，分?jǐn)?shù)概念最早可以追溯到商代，即文字出現(xiàn)的初期。在兩周的金文中、戰(zhàn)國的銅器銘文中、秦漢時(shí)期的著作中，都已出現(xiàn)了表示分?jǐn)?shù)的概念。在《九章算術(shù)》（公元50~100年）以及《九章算術(shù)劉徽注》（公元263年）中都有關(guān)于分?jǐn)?shù)概念、四則運(yùn)算和基本性質(zhì)的詳細(xì)闡述。書中包括“合分術(shù)”“減分術(shù)”“乘分術(shù)”和“經(jīng)分術(shù)”。分?jǐn)?shù)是在“合分術(shù)”中從除法運(yùn)算引進(jìn)的：“實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。”“命之”可理解為命名為分?jǐn)?shù)，即定義為分?jǐn)?shù)。這句話的意思是：被除數(shù)（實(shí)）除以除數(shù)（法），如果不能除盡，則以余數(shù)作分子，除數(shù)作分母，定義一個(gè)分?jǐn)?shù)。可以說，《九章算術(shù)》中用除法來引進(jìn)分?jǐn)?shù)，是對原始的樸素的分?jǐn)?shù)概念的自然發(fā)展。在古書《孫子算經(jīng)》（約公元300~400年）中記載：“凡除之法，……除得在上方。……實(shí)有余者，以法命之，以法為母，實(shí)余為子。”就是說，若除不盡有余數(shù)，便用一個(gè)分?jǐn)?shù)來表示，以法作分母，以余下的實(shí)作分子。可以說“分子、分母”即是“上實(shí)、下法”“分子、分母”估計(jì)大概是形象地取“兒子、母親”之意吧——兒子來之于母親。

值得注意的是，我國古代用算籌來擺置分?jǐn)?shù)，并沒有分?jǐn)?shù)線，那時(shí)也不需要分?jǐn)?shù)線。據(jù)說分?jǐn)?shù)線是阿拉伯人發(fā)明的。現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)表示法也是符合我國古代所提倡的“上實(shí)、下法”的規(guī)則的，只是在中間加了分?jǐn)?shù)線而已。南北朝時(shí)期（公元420~520年）的《張丘建算經(jīng)》給出了帶分?jǐn)?shù)的乘除問題以及分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算問題。可以說，中國在此時(shí)就建立起了完整的分?jǐn)?shù)理論。

分?jǐn)?shù)概念的形成與發(fā)展和數(shù)系中其他分支的演變一樣，不同國家的發(fā)展軌跡不同，但是最后都能達(dá)到殊途同歸。前面主要介紹了分?jǐn)?shù)在幾大文明古國中的歷史演變，可見對分?jǐn)?shù)理論貢獻(xiàn)最大的非中國莫屬。現(xiàn)在分?jǐn)?shù)的表達(dá)形式也與古代中國“上實(shí)、下法”的形式一致。將分?jǐn)?shù)的起源和歷史演變講給學(xué)生，無疑能加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念的理解和應(yīng)用，同時(shí)能激發(fā)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的親切感和對祖國悠久歷史以及眾多發(fā)明的熱愛之情。

二、教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教師是數(shù)學(xué)教育的主要力量，是將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育從理論到實(shí)踐轉(zhuǎn)換的直接力量。已有研究表明，教師認(rèn)同數(shù)學(xué)知識的歷史能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，能有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能促進(jìn)學(xué)生智力和非智力的發(fā)展。但是由于受多種因素的限制，比如課堂上沒有時(shí)間；很多小學(xué)數(shù)學(xué)教師沒有接受過專門數(shù)學(xué)史知識的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，自己對所教授知識的歷史并不了解；一些教師力求在課堂上滲透相關(guān)的知識，但造成的結(jié)果只是流于形式；一些教師課業(yè)任務(wù)繁重，沒有時(shí)間進(jìn)行相關(guān)知識的充電以及真正的課堂上沒有時(shí)間進(jìn)行相關(guān)知識的補(bǔ)充。產(chǎn)生的結(jié)果是教師對數(shù)學(xué)知識的歷史進(jìn)入課堂的價(jià)值認(rèn)可度很高，但在實(shí)際教學(xué)中使用率卻很低的現(xiàn)狀，即所謂的“高評價(jià)，低應(yīng)用”。鑒于此，需要在數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的途徑和方法方面作一些探討。

綜合國內(nèi)外學(xué)者的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識的歷史進(jìn)入課堂，大體可分為從歷史到教學(xué)和從教學(xué)到歷史兩種模式。從歷史到教學(xué)，即從閱讀歷史資料出發(fā)，思考其和數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系，反思是否可以為教學(xué)所用，若有聯(lián)系可以運(yùn)用的話，則進(jìn)一步查閱歷史文獻(xiàn)，設(shè)計(jì)適合教學(xué)應(yīng)用的形式應(yīng)用到教學(xué)中，教學(xué)結(jié)束后反思教學(xué)效果并進(jìn)行進(jìn)一步修改和改進(jìn)。從教學(xué)到歷史，即從分析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，根據(jù)目標(biāo)設(shè)計(jì)教學(xué)計(jì)劃，根據(jù)課堂教學(xué)活動(dòng)去查找與之相關(guān)的歷史文本，將歷史文本中相應(yīng)的材料進(jìn)行合理的“再創(chuàng)造”后，運(yùn)用到課堂教學(xué)，教學(xué)結(jié)束后反思教學(xué)效果并進(jìn)行進(jìn)一步修改和改進(jìn)。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)史不僅僅是單純的數(shù)學(xué)成就的編年記錄，數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化聯(lián)系的一門學(xué)科。而現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材既不是按歷史發(fā)展來講，也不是按難易程度來講，而是所謂的“教育數(shù)學(xué)”，是為了讓學(xué)生“更容易”接受數(shù)學(xué)知識而特意編寫的。因此，一個(gè)數(shù)學(xué)概念在歷史上是如何產(chǎn)生的？一個(gè)數(shù)學(xué)定理或公式是如何發(fā)現(xiàn)的？一個(gè)數(shù)學(xué)分支是如何起源的？對這一系列問題，教材的編者、授課教師都很少關(guān)注。這樣以來數(shù)學(xué)成了一門枯燥、呆板的學(xué)科，影響了學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解。在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)中“通過生動(dòng)豐富的事例，了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果，初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神。”以達(dá)到幫助學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)意義、文化內(nèi)涵，理解和欣賞數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值。即使今后他們不從事數(shù)學(xué)教育或數(shù)學(xué)研究工作，可是正確數(shù)學(xué)觀，以及對數(shù)學(xué)真切感受，會使他們受益終身的。

參考文獻(xiàn)：

篇（9）

數(shù)學(xué)概念可分為兩個(gè)重要方面：一是概念的“質(zhì)”，也就是概念的內(nèi)涵（概念的本質(zhì)屬性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（概念的所有對象的和）.假如把一個(gè)概念當(dāng)做一個(gè)集合，那么概念的內(nèi)涵就是這個(gè)集合里的元素的所有的共同屬性的總和，而概念的外延則是這個(gè)集合中所有元素的全體.內(nèi)涵和外延是不可分割的兩部分.提示概念的內(nèi)涵就不能不涉及概念的外延.概念的外延還有大小之分，外延大的就做種概念，外延小的則叫做屬概念.在實(shí)數(shù)和有理數(shù)這兩個(gè)概念中，實(shí)數(shù)是種概念，而有理數(shù)是屬概念了.當(dāng)然，種概念與屬概念也不是絕對的，有理數(shù)對實(shí)數(shù)來說是屬概念，但它對整數(shù)來說又是種概念了.一個(gè)概念，可能有許多的屬概念.一個(gè)屬概念與其他的屬概念本質(zhì)上的差別又稱為屬差.

要想給某一概念下定義，首先應(yīng)先向?qū)W生指出被定義的概念最接近的概念是什么，再緊接著指出被定義概念的屬差，即概念定義=種概念+屬差.

例如，為了定義菱形，我們可以先利用“平形四邊形”概念，“平行四邊形”是菱形最接近的種概念，它規(guī)定了菱形所屬的類別，但菱形不是一般的平行四邊形，它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一屬概念——矩形區(qū)別開，所以得到：菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等.

為了使學(xué)生能明確被定義的概念，就得先做到心中有數(shù)，準(zhǔn)確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差，抓住概念的本質(zhì)特征，把握定義中的關(guān)鍵字句，弄清概念間的區(qū)別和它們的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵，加深理解概念的外延.因此，在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)特別注意把不同的概念聯(lián)系在一起，進(jìn)行對比，并從不同側(cè)面加深對概念的理解，使它系統(tǒng)化，否則會造成學(xué)生對概念理解模糊，而導(dǎo)致錯(cuò)誤運(yùn)用.

二、明確概念的層次性

一般的概念都是通過對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象或某些具體的事例分析，經(jīng)過抽象概括而導(dǎo)出的，它有一個(gè)形成的過程.中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，是從幾個(gè)原始的概念和公理出發(fā)，通過一番推理而擴(kuò)展成為一系列的定義和定理，而每一個(gè)新出現(xiàn)的概念都依賴著舊有的概念來表達(dá)，或是舊有的概念推導(dǎo)出來的.

針對概念形成的階段性、發(fā)展性和連貫性，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意：在學(xué)生對某些預(yù)備概念模糊不清的情況下，千萬不要急于引入新概念，應(yīng)先復(fù)習(xí)涉及新概念的有關(guān)預(yù)備概念，尤其是重要的、關(guān)鍵性的預(yù)備概念，教師要反復(fù)強(qiáng)調(diào)，求得較徹底的理解.

三、掌握概念的抽象性

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的許多原始概念，如點(diǎn)、線、面、體、數(shù)、常數(shù)、變數(shù)等，都是由具體的事物觀察再抽象出來的.人們長期觀察了月亮、太陽、光線、水面等具體事物，逐步形成了有關(guān)“圓”、“ 直線”、“ 平面”等帶有共性的、本質(zhì)的概念.這是對具體的數(shù)和形的感知而形成的表象，再由表象經(jīng)過抽象、概括而形成的.

概念是人們對感性材料進(jìn)行抽象的產(chǎn)物，感性認(rèn)識是形成概念的基礎(chǔ).如果學(xué)生沒有感性認(rèn)識或感性認(rèn)識不怎么完備時(shí)，我們就應(yīng)該借助于實(shí)物、模型、教具、圖形或形象的語言進(jìn)行較為直觀的教學(xué)，使學(xué)生從中獲得感性認(rèn)識.對于一些概念（屬概念），可以直接從已知的概念（種概念）中引入，不必再經(jīng)過取得感性認(rèn)識的階段，如有理數(shù)的概念，就可以直接從整數(shù)、分?jǐn)?shù)引入.

篇（10）

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本任務(wù)是正確地揭示概念的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生深刻理解并系統(tǒng)地掌握概念、靈活地運(yùn)用概念。為此教學(xué)中一般側(cè)重以下幾方面：重視概念的引入、抓住本質(zhì)講清概念、鞏固深化和運(yùn)用概念。于是莫名其的情境、死記硬背、反復(fù)操練成了教學(xué)中的常見的事。事實(shí)上，學(xué)生只有真正理解了概念才能正確、靈活地運(yùn)用其解決問題。所以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“理解”成為關(guān)鍵所在。

一、何為“數(shù)學(xué)理解”

數(shù)學(xué)需要理解。從教學(xué)實(shí)踐和現(xiàn)代教育觀念看，即使對于像歷史、文學(xué)這樣記憶多于理解的學(xué)科，理解也是必不可少的，何況對重在思維、理解、頓悟的數(shù)學(xué)學(xué)科。學(xué)數(shù)學(xué)需要理解，教數(shù)學(xué)更需要理解。然而在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，“照本宣科”、 “按規(guī)定辦”的事卻屢見不鮮。

什么是“數(shù)學(xué)理解”，日常的“理解”：我們通常學(xué)一個(gè)東西，說“懂了”、“明白了”即“理解”了，是什么意思?“詞典”日：理解就是“懂”，而“懂”呢?是知道，再查知道，則又是懂或理解。因此，終無結(jié)果。與我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中“數(shù)學(xué)理解”含義最切近的，是皮亞杰和格拉斯菲爾德的建構(gòu)主義學(xué)說的解釋。

數(shù)學(xué)理解的含義。建構(gòu)學(xué)說稱：“我們通過自己的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造自己的理解……是我們自己的注意、選擇與建構(gòu)，為理解現(xiàn)實(shí)提供了構(gòu)造。”這里的“經(jīng)驗(yàn)”、“注意”就是我們已掌握的數(shù)學(xué)雙基或三基(基礎(chǔ)知識、基本技能和基本的數(shù)學(xué)思想方法)，“現(xiàn)實(shí)”就是要學(xué)習(xí)的新的數(shù)學(xué)對象，而選擇、建構(gòu)、構(gòu)造，就是理解(的過程、舉措、結(jié)果)。在這里，“理解”既是聯(lián)系未知與已知間的紐帶或橋梁，又是這橋梁的建造過程(以下是數(shù)學(xué)理解結(jié)構(gòu)模型圖)。

由此可見，“理解”同現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)有關(guān)，是它的一個(gè)功能，而理解的過程，就是建構(gòu)過程，包括對信息攝取、加工和納入(已有結(jié)構(gòu))，怎樣加工呢? 按皮亞杰(J．Piaget)發(fā)生認(rèn)識論學(xué)說，就是主體通過圖式(Scheme，格局，原認(rèn)知結(jié)構(gòu))對外來信息進(jìn)行同化、順應(yīng)及相互平衡。對數(shù)學(xué)來說，就是將新的對象通過抽象、概括、符號化、對比、必要的推理等，化歸到已知或已解的問題網(wǎng)絡(luò)．這個(gè)加工(即C)的過程，不僅需要B提供工具、方式、標(biāo)準(zhǔn)，而且還要有思想、觀念(相當(dāng)于構(gòu)想或藍(lán)圖)的參與。

二、基于哲學(xué)觀點(diǎn)的提高學(xué)生“數(shù)學(xué)理解”能力的案例

作為教師該如何通過課堂教學(xué)完善學(xué)生的數(shù)學(xué)理解？以下是筆者在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的兩個(gè)案例。

1、將“質(zhì)量互變觀”運(yùn)用于概念引入教學(xué)。

辯證唯物主義告訴我們：量變是質(zhì)變的前提和條件，只有當(dāng)量的積累達(dá)到一定程度才能引起質(zhì)變。例如：數(shù)列極限的定義，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，對學(xué)生來說，“極限”或許是一個(gè)新的概念，但對極限思想?yún)s未必生疏，因?yàn)樵谝郧耙恍﹥?nèi)容的學(xué)習(xí)中，曾多次運(yùn)用它解決過數(shù)學(xué)問題，對這些問題的簡單回顧，有利于調(diào)動(dòng)知識儲存，使學(xué)生產(chǎn)生一種“似曾相識燕歸來”的親切感。例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽為了定義和計(jì)算圓的周長采用了“割圓術(shù)”，他首先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作圓的內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，內(nèi)接正四十八邊形，等等。當(dāng)邊數(shù)無限增加時(shí)，這一串圓的內(nèi)接正多邊形的周長無限接近于一個(gè)常數(shù)，于是理所當(dāng)然地認(rèn)為這個(gè)常數(shù)就是該圓的周長。從而實(shí)現(xiàn)了這一極限變化過程中飛躍式的“終結(jié)”。

2、將“變化發(fā)展觀”運(yùn)用于概念發(fā)展教學(xué)。

高中教材選修1-2第四章第一節(jié)是講授數(shù)的概念的發(fā)展，高中學(xué)生學(xué)到復(fù)數(shù)這一章時(shí)，數(shù)的概念的擴(kuò)張?jiān)谥袑W(xué)階段到此為止了，教材在這一節(jié)里簡單扼要對已經(jīng)學(xué)過的數(shù)集在生產(chǎn)與科學(xué)發(fā)展的需要逐步擴(kuò)充的過程作了概括，數(shù)的概念的發(fā)展是，其本身與人類社會的發(fā)展一樣是一部波瀾壯闊的發(fā)展史，在結(jié)束語中，我作了如下設(shè)計(jì)與講解：數(shù)的概念的發(fā)展大致按如下順序：

正分?jǐn)?shù) 負(fù)有理數(shù)與零 無理數(shù)虛數(shù)

自然數(shù) 正有理數(shù) 有理數(shù) 實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù)

從數(shù)的概念的發(fā)展史來觀察，體現(xiàn)了人類的社會實(shí)踐是一個(gè)由低級到高級不斷變化發(fā)展的過程，這就決定了人的認(rèn)識也是一個(gè)如此的發(fā)展過程，數(shù)的概念產(chǎn)生于實(shí)際需要，在實(shí)踐中得到發(fā)展，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，都是由于舊數(shù)集與解決具體問題間的矛盾而引起的，舊的矛盾解決了，新的矛盾又產(chǎn)生了，最終將它推向一個(gè)新的階段，數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集是否還可以再繼續(xù)擴(kuò)充呢？答案是肯定的，1843年就有四元數(shù)（超復(fù)數(shù)）出現(xiàn)，愛因斯坦的相對論已經(jīng)證明了時(shí)間與空間是互相互聯(lián)，不能彼此分離的。這種統(tǒng)一的四維世界，是可以用四元數(shù)把它表示出來。這說明了人們對數(shù)的認(rèn)識，永遠(yuǎn)沒有終結(jié)。

三、強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念正確理解的方法分析

筆者以數(shù)學(xué)概念的展開過程為根據(jù)，去研究數(shù)學(xué)理解的教學(xué)流程設(shè)計(jì)．根據(jù)不同特點(diǎn)的數(shù)學(xué)概念所對應(yīng)的理解過程和方式之間的差別，通過對數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)分析，來達(dá)到展示學(xué)生不同理解過程的目的。

1、敘實(shí)式數(shù)學(xué)概念的定義及其理解分析。

敘實(shí)式數(shù)學(xué)概念一般指的是那些原始概念，不定義的概念，或者是那些很難用嚴(yán)格定義確切描述內(nèi)涵或外延的概念。這類概念包括平面、直線等原始概念，包括算法、法則等不定義概念，還包括數(shù)、代數(shù)式等外延定義概念等．此類概念所共有的一個(gè)特點(diǎn)是無法直接確定其內(nèi)涵或外延，或者其定義當(dāng)中存在著較容易造成多方面理解的非數(shù)學(xué)詞匯。 敘實(shí)式數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知表征是從人們所認(rèn)識世界的現(xiàn)實(shí)背景中抽象出來的，與實(shí)際背景有一定的差異性，所以其現(xiàn)實(shí)背景的豐富性與表征的單一性之間也就會產(chǎn)生較大的矛盾。

比如在直線的概念理解中，對于直線所具有的無限長的特點(diǎn)來說，所要研究的是關(guān)于直線的長度問題．一張紙的折痕、課桌的邊、筆直的鐵軌等各式各樣的實(shí)物中的線雖然長短不一，但可以要多長就有多長，這種性質(zhì)說明直線具有一定的可延伸性，從而反應(yīng)出直線具有無限長的性質(zhì)．另外，對于直線的不計(jì)粗細(xì)和曲直的特征，也有豐富的例子與之對應(yīng)．這些反映不同性質(zhì)的例子的總和所對應(yīng)的是一個(gè)完整的關(guān)于直線概念本質(zhì)特征．

敘實(shí)式數(shù)學(xué)概念的理解方式就是通過敘述其現(xiàn)實(shí)背景或其外延來理解此類數(shù)學(xué)概念的理解方法，可以解決理解此類概念所面臨的外延不清的問題，即如何引導(dǎo)學(xué)生理解這些概念的描述特征與現(xiàn)實(shí)形態(tài)多樣性特征之間的關(guān)系．引導(dǎo)學(xué)生理解此類概念時(shí)，需要借助于這類概念的眾多的外延中找出不同對象的差異，并通過差異比較來形成對概念特征的理解。利用現(xiàn)實(shí)中的大量豐富的實(shí)物去促進(jìn)學(xué)生理解那些不能十分確切表述的數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念由大量豐富的感性認(rèn)識逐漸上升到完整的理性認(rèn)識。

2、推理式數(shù)學(xué)概念的定義及其理解分析。

推理式數(shù)學(xué)概念是指能夠?qū)Ω拍钆c相關(guān)概念的邏輯關(guān)系本質(zhì)的表述的數(shù)學(xué)概念。此類概念的特點(diǎn)為：前有因，后有果，同層有聯(lián)系．“前有因”指的是它們是在一些基本概念的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的；“后有果”指的是它還能推出或定義出一些概念；“同層有聯(lián)系”指的是與它所并列于同一個(gè)邏輯層次上的其它概念有著一定的邏輯相關(guān)性。所以推理式數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知表征是以邏輯關(guān)系確定下來的網(wǎng)絡(luò)式為特點(diǎn)的。

以平行四邊形概念為例，平行四邊形與四邊形間存在著一定的邏輯關(guān)系。四邊形的概念是平行四邊形的立腳點(diǎn)，在平行四邊形的基礎(chǔ)上還能定義一些特殊的平行四邊形，如長方形、菱形等。梯形與平行四邊形構(gòu)成同層概念，這些概念形成了一個(gè)相關(guān)的邏輯體系，理解這些概念必須在該體系中完成。

推理式數(shù)學(xué)概念的理解方式是利用數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)中概念之間存在著的邏輯關(guān)系，以數(shù)學(xué)概念的邏輯基礎(chǔ)作為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)概念的邏輯關(guān)系去理解新概念的全部內(nèi)涵和外延．使學(xué)生構(gòu)建出完整的數(shù)學(xué)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到理解的目的．借一句古詩來形容，即為“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”。將邏輯方法“隨著”它們的這三個(gè)特點(diǎn)“入”數(shù)學(xué)概念之中，用一定的邏輯方法去“細(xì)無聲”地與它們相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生完成理解數(shù)學(xué)概念的整個(gè)邏輯過程。

3、變化式數(shù)學(xué)概念的定義及其理解分析。

變化式數(shù)學(xué)概念包括以原始概念為基礎(chǔ)定義的，包括那些借助于一定的字母與符號等表述，經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯提煉而形成的抽象表述的數(shù)學(xué)概念。其特點(diǎn)為經(jīng)過逐級抽象后，在其應(yīng)用時(shí)很難看出原形．這類數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知表征擁有著千變?nèi)f化的形式，學(xué)生所需認(rèn)知的正是通過對各種形式的演變的不斷總結(jié)而達(dá)到理解目的的。

在初一下學(xué)期的數(shù)學(xué)課程中，加入了有關(guān)“函數(shù)”的內(nèi)容，但其教學(xué)目的主要還是讓學(xué)生理解“函數(shù)”所包含的“變量”“自變量”及“因變量”這三個(gè)數(shù)學(xué)概念．以這三個(gè)數(shù)學(xué)概念為例，它們是以某一個(gè)變化過程來定義的，它們擁有很多種變化的過程，但“萬變不離其宗”．這個(gè)“宗”就是變量的概念，其中“萬變”所包含的是可以構(gòu)建出有關(guān)“變量”的概念的相關(guān)的每個(gè)變化過程。

變化式數(shù)學(xué)概念的理解方式是針對其內(nèi)涵與外延的多樣性與其表述的穩(wěn)定性之間的矛盾，通過“取之于概念，用之于變化”的過程，解決概念表述中，因不確定因素所導(dǎo)致的學(xué)生無法直接通過邏輯分析獲得觀念的困難，引導(dǎo)學(xué)生從這些數(shù)學(xué)概念不變的文字中悟出其變化的特點(diǎn)，最終使學(xué)生達(dá)到徹底地理解數(shù)學(xué)概念的目的。

篇（11）

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念本身是基礎(chǔ)知識重要組成部分，同時(shí)，只有學(xué)會了數(shù)學(xué)概念，才有機(jī)會了解其他相關(guān)的基礎(chǔ)知識.因而，概念教學(xué)的重要性不言而喻.目前，有關(guān)文件對概念教學(xué)提出了新的要求，要求要以學(xué)生的以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，結(jié)合小學(xué)生特有的心理發(fā)展規(guī)律以及概念教學(xué)自身的教學(xué)特征來開展教學(xué)工作.

一、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)概念的含義

數(shù)學(xué)概念是將客觀存在的本質(zhì)屬性反映到人腦中，反映的主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)研究的客觀對象，即數(shù)量關(guān)系與空間形式.值得一提的是，數(shù)學(xué)是一門將非本質(zhì)屬性都舍棄的學(xué)科，如事物的顏色、氣味等屬性都通通被忽視掉.而只關(guān)注本質(zhì)屬性，即事物的形狀、大小、數(shù)量關(guān)系等.

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念的分類

按照數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)方式的不同，可以將小學(xué)數(shù)學(xué)概念分為：

1.圖形輔助式概念.這種方法被普遍運(yùn)用于低年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中，因其能夠很好地彌補(bǔ)低年級小學(xué)生缺乏常識、識字量較少的問題.在這種呈現(xiàn)方法中，除了概念的名稱外，其余內(nèi)容完全用圖像的形式來表達(dá).如在對“2”這個(gè)數(shù)字的概念的教學(xué)時(shí)，通常用兩個(gè)小朋友等圖像來表達(dá)“2”的概念.

2.字形結(jié)合式概念.該方法也被稱為描述法，其適用范圍廣泛，在中高低年級都能看到這一方法的使用.具體來說，是將概念的實(shí)際原型作為“形”，并與生動(dòng)形象的描述性語言相結(jié)合，以此來共同表達(dá).如在學(xué)習(xí)“小數(shù)”的概念時(shí)，會使用“如0.1、1.3、1.4這樣結(jié)構(gòu)的數(shù)被稱為小數(shù)”來進(jìn)行表達(dá)，在這里，原形是“0.1”，而描述性語言則是其余的部分.

3.純文字定義式概念.這種方式較為適用于高年級學(xué)生，因?yàn)樾枰⒃趯W(xué)生已有部分原有概念的基礎(chǔ)上.具體來說就是用較為簡單明了卻完整的語言來進(jìn)行解釋.如“三角形是由三條線段圍成的圖形”等概念就是用的這樣的方法.

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)概念的特征

1.區(qū)別于生活概念.數(shù)學(xué)中的“角”單指具有公共點(diǎn)的兩條射線形成的圖形，而生活中卻有“牛角”“桌角”等多重含義.

2.同一概念可通過有不同的定義表述.同樣是角，除了上面提到的那個(gè)概念外，還可表述為一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得的圖形.

3.定義較為低級且原始，具有發(fā)展性.如“圓”在小學(xué)并沒有給出明確的定義，而是用圖形來表示，而到了中學(xué)就會給出具體的定義了.此外，小學(xué)數(shù)學(xué)的概念隨著年級的提升，描述性概念也會逐步增多.

4.概念間有邏輯聯(lián)系性.在某些原始的概念上逐步發(fā)展出多個(gè)概念，如在“數(shù)”的概念上發(fā)展出“小數(shù)”“整數(shù)”等相關(guān)子概念.

二、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐

（一）教學(xué)實(shí)踐中存在的問題

1.重視概念理解，而忽視產(chǎn)生過程.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，往往只重視概念自身的理解，而不重視概念是如何推導(dǎo)出來的.讓學(xué)生只能死記概念，而不能從中獲得思考方式的學(xué)習(xí)，錯(cuò)失了培養(yǎng)邏輯能力的好時(shí)機(jī).

2.講解過程簡單，缺乏體驗(yàn)性活動(dòng).小學(xué)教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，多運(yùn)用文字?jǐn)⑹龅姆椒▉磉M(jìn)行講解，手法也多是讓學(xué)生反復(fù)誦讀記憶.而不開展與學(xué)生的互動(dòng)教學(xué)，更忽視對概念的有效體驗(yàn).

3.教與學(xué)相互顛倒.教師對于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力預(yù)估過低，在課堂上往往采用填鴨式的教學(xué)，而忽視學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而主次顛倒.

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與思考

在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程中，為了避免上述問題，同時(shí)提升教學(xué)的有效性，因而提出以下在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)課堂實(shí)踐上的建議：

1.以學(xué)生已有知識和生活經(jīng)驗(yàn)作為切入點(diǎn).小學(xué)生的已有知識量較少，且生活經(jīng)驗(yàn)也較為缺乏.因此，在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)從他們僅有的“過往”入手.這樣的方式能夠讓學(xué)生更受到概念的內(nèi)涵、產(chǎn)生的過程以及對于日后學(xué)習(xí)的意義.并為下面的深入學(xué)習(xí)提供思維上的準(zhǔn)備.

2.引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知進(jìn)行分析.學(xué)生在認(rèn)識概念時(shí)，多半是感性與理性的結(jié)合，而其中，感性更有可能占據(jù)上風(fēng).這就造成了學(xué)生對概念的理解可能出現(xiàn)偏差.所以要在老師的引導(dǎo)下對自己所認(rèn)識的概念進(jìn)行分析，反思認(rèn)識上的錯(cuò)誤，做到正確理解.

3.解釋數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程.數(shù)學(xué)概念看似抽象，但其背后卻有著復(fù)雜卻深刻的推導(dǎo)過程.教師不應(yīng)該直接跳過概念推導(dǎo)這一步，而是借此過程來提升學(xué)生的邏輯思維，進(jìn)而感受概念推導(dǎo)過程中隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì).

4.構(gòu)建情境式教學(xué)模式.根據(jù)正常的認(rèn)識規(guī)律，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)在情境式教學(xué)模式中能夠獲得較好的效果.具體來說，首先我們需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)具體的情境，此時(shí)將概念引入進(jìn)來，并且通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生開始探索概念的含義，進(jìn)而形成概念本身.最后，需要對概念進(jìn)行辨析與使用，以深化對數(shù)學(xué)概念的理解.

結(jié)語

概念教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位自然是至關(guān)重要的.可以說，正是概念串聯(lián)起了一個(gè)又一個(gè)的章節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).本文對小學(xué)數(shù)學(xué)概念的思考與教學(xué)實(shí)踐的考量都只是一個(gè)開始，而真正具體的操作還需要戰(zhàn)斗在一線的人民教師多多探索，多多實(shí)踐.如此，才能真正培養(yǎng)出具有數(shù)學(xué)思維的學(xué)生.