緒論：寫作既是個人情感的抒發(fā)，也是對學(xué)術(shù)真理的探索，歡迎閱讀由發(fā)表云整理的11篇數(shù)學(xué)中的反證法范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發(fā)。

篇（1）

有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃.在數(shù)學(xué)里這種方法叫反證法.

反證法不但在實(shí)際生活和初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也具有特殊作用.數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)論，從最基本的性質(zhì)、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的.即：提出假設(shè)――推出矛盾――肯定結(jié)論.

“反證法”雖然是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但對數(shù)學(xué)的其他各部分內(nèi)容，如代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用.下面通過具體的例子來說明其應(yīng)用。

一、否定性命題

證明：假設(shè)AB，CD不平行，即AB，CD交于點(diǎn)P，則過P點(diǎn)有ABEF，且CDEF，與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線垂直于已知直線”矛盾.假設(shè)錯誤，則AB∥CD

否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測的，也沒有一個機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn)，有的甚至是捉摸不定的.一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn).因此在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾.只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束.

篇（2）

一、什么是反證法

反證法也稱作歸謬法，通常人們是這樣定義反證法的：“證明某個命題時，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果。從而證明了結(jié)論的否定不成立，間接地肯定了原命題的結(jié)論成立。這種方法就叫做反證法。”在使用反證法的時候，通常通過以下步驟：“否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾結(jié)論成立。”反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較淺顯的題目，在高中數(shù)學(xué)中使用得較為廣泛，在解決較難的問題的時候，反證法更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。

二、反證法解決的常見題型

反證法雖然簡單方便，但是任何方法的使用都有它成立的條件，都有它適用的范圍。如果超越了使用的范圍就會出現(xiàn)解題錯誤，解題方法也就不再適用，同樣，也就會影響解題的成功率。因此，我們應(yīng)該學(xué)會正確使用反證法來解題。

1.否定性問題

例題1：如果a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，求證：，，不成等差數(shù)列。

分析：因為題目所證的結(jié)論是一個否定性的結(jié)論，如果直接證明的話讓人有點(diǎn)無從下手，但是采用反證法就顯得容易多了。

證明：假設(shè)，，成等差數(shù)列，則=+=，

由于a，b，c成等差數(shù)利，因此2b=a+c①，那么，==，即b=ac②，由①②得出，a=b=c，與a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)矛盾。故，，不成等差數(shù)列。

點(diǎn)評：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果出現(xiàn)以下幾種情況可以考慮使用反證法來解題：第一，題目是用否定形式敘述的；第二，題目選擇使用“至多”、“至少”等文字?jǐn)⑹龅模坏谌}目成立非常明顯，而直接證明時所用的理論較少，且不容易說明白的；第四，題目呈現(xiàn)唯一性命題特征；第五，如果題目的論證從正面較難入手證明，可以選擇使用反證法。

2.某些存在性命題

例題2：假設(shè)設(shè)x，y∈（0，1），求證:對于a，b∈R，必存在滿足條件的x、y，使|xy-ax-by|≥成立。

分析：本題主要是探索某些存在性問題，可以嘗試用反證法。

證明：假設(shè)對于一切x，y∈〔0，1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0，y=1，則|b|＜令x=1，y=0，得|a|＜令x=y=1，得:|1-a-b|＜，但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=產(chǎn)生矛盾，故欲證結(jié)論正確。

例題點(diǎn)評：在證明此類存在性命題的時候，使用反證法只要其中一個結(jié)論，就可以論證題目當(dāng)中的結(jié)論的合理性，比直接證明省掉了一個證明的步驟，顯得更為簡單、明了。

3.結(jié)論為“至多”、“至少”的命題

雖然反證法是一種很積極的證明方法，用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如適用范圍廣、思想選擇的余地大、推理方便等。但是并不是每一道題都能用反證法來解的。比如對以下兩個例題的分析。

例題3：若z，y均為正整數(shù)，且z+y>2．求證：＜2或＜2中至少有一個成立。

分析：一般而言，如果題目中出現(xiàn)“至少”或者“至多”的字眼，選擇使用反證法要簡單一些。

證明：假設(shè)≥2與≥2同時成立，因此，x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，1+y≥2x。

將以上兩式相加得z+y≤2，這與已知條件z+y＞2矛盾，因此可以證明這個假設(shè)不成立。

因此，可以得出＜2或＜2中至少有一個成立。

例題4：如果對任何正數(shù)p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)，試證之。

證明：假設(shè)a＞0，則二次函數(shù)y=ax+bx+c+p的圖像是開口向上的拋物線，顯然可見，當(dāng)p增大時，拋物線就沿y軸向上平移，而當(dāng)p值增大到相當(dāng)大的正數(shù)時，拋物線就上開到與x軸沒有交點(diǎn)，則對這樣的一些p值，二次方程的實(shí)數(shù)根就不存在。因此，a＞0，這一假設(shè)與已知矛盾。

同理，a＜0，也不合題意。

綜上所述，當(dāng)a＞0和a＜0時均不合題意。因此，a=0。

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯了。因為，本題的題設(shè)條件為對任意正數(shù)p，y=0有兩個正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是a=0，但本題的題設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的。

當(dāng)a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數(shù)p，它只有一個根；在b=0時，僅當(dāng)p=-c＞0的條件下，它有無數(shù)個根，否則無根，但總之不會有兩個根。題設(shè)條件和結(jié)論矛盾。

因此，本題不能用反證法來處理。

但是，如果原題改為“如果對于任何正數(shù)，只存在正實(shí)根，則系數(shù)”，就能用反證法證明了。

點(diǎn)評：通過分析例題3、例題4，可以得出對于下列命題，較適用反證法來解決：

第一，對于結(jié)論是否定形式的命題；

第二，對于結(jié)論是以“至多”，“至少”或“無限”的形式出現(xiàn)的命題；

第三，對于結(jié)論是以“唯一”或“必然”的形式出現(xiàn)的命題；

第四，對于可利用的公理定理較少或者較以與已知條件相溝通的命題。

三、結(jié)論

牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧！狈醋C法之所以有效是因為它對結(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的。對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一。

參考文獻(xiàn)：

［1］趙杰.反證法――化難為易的法寶.中學(xué)生數(shù)理化（高二版），2010，（3）.

篇（3）

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0068-01

數(shù)學(xué)的證明方法主要分為直接證明和間接證明。反證法是間接證明的一種，在數(shù)學(xué)證明中有著獨(dú)特和重要的作用，不管是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，反證法的應(yīng)用都十分廣泛。反證法能將一些正面復(fù)雜的問題簡單化，即避開問題的正面，從反面尋求解決辦法。任何問題都能一分為二，其中一面復(fù)雜，另一面自然相對簡單。這是反證法的直觀理解，下面給出嚴(yán)格的定義。

一 反證法的概念及一般解題步驟

1.定義

反證法指的是從反面的角度，對問題進(jìn)行思考的一種證明方法。換言之，就是對題設(shè)肯定，卻對結(jié)論否定，在這個過程中推出明顯的矛盾（主要包括與題設(shè)的矛盾，與已知定理、公理、定義和性質(zhì)的矛盾），從而得出原命題成立。

2.邏輯依據(jù)

反證法的證明方法之所以可靠，其邏輯依據(jù)就是邏輯學(xué)中的矛盾律和排中律。人們在實(shí)踐中得出這樣的規(guī)律：對于任何一個命題，它要么是真命題，要么是假命題，不可能出現(xiàn)既真又假，不真不假的情況，也即是說不可能有第三種情況的存在。這就體現(xiàn)了邏輯學(xué)中的矛盾律和排中律。

3.一般的解題步驟

反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。

歸謬：從這個命題出發(fā)，經(jīng)過推理證明得出矛盾。

結(jié)論：由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。

二 實(shí)變函數(shù)教學(xué)中適用反證法的幾種問題

證明某些存在性問題，這類問題需要證明存在即可，從正面去證需要一一驗證，有時不容易做到，這時可以運(yùn)用反證法，否定結(jié)論得出矛盾會容易一些。

例1，若 的基數(shù)為c，證明：存在n0，使得An0的

基數(shù)也是c。

證明：由于 =c，我們不妨設(shè) 。用反證法，

若

=pi（Ai），i=1，2，…，則 ≤

所以對每個i，存在εi∈R＼ 。于是ε=（ε1，ε2，…，εn，…）

∈E∞。下證 。事實(shí)上，若 ，則存在i，使

得ε∈Ai，于是εi=pi（ε）∈pi（Ai）= ，這與εi∈R＼

矛盾，所以 ，這又與ε∈E∞矛盾，所以至少存

在某個i0，使 。

對于存在性的問題，從反面證明比正面證明容易下手，證明過程也比較簡單，所以對于這類存在性問題的教學(xué)，采用反證法會起到很好的效果。

1.證明某些集合相等或包含命題

這一類命題，當(dāng)從正面很難推導(dǎo)出集合之間的包含關(guān)系時，則考慮從反面運(yùn)用反證法證明。

例2，證明（AB）′=A′。

證明：因為A?AB，B?AB，故A′?（AB）′，B′?（AB）′，從而A′′?（AB）′。另一方面，假設(shè)P?（AB）′，則必有P?A′′。否則，若P ? A′′，那么將有P ? A′且P ? B′，因而有P的某一鄰域（P），在（P）內(nèi)除P外不含A的任何點(diǎn)，同時有P的某一鄰域（P），在（P）內(nèi)除P外不含B的任何點(diǎn)，則由鄰域基本性質(zhì)知，存在（P）?（P）（P），在（P）中除P外不含AB的任何點(diǎn)，這與P?（AB）′ 的假設(shè)矛盾。

在這個題目中，如果直接證明，由于P?（AB）′ 不能直接推出P?A′或P?B′，所以直接證明行不通，只能轉(zhuǎn)化為反面才能證明。由此可以看出反證法在證明集合相等方面的重要性。

2.證明某些函數(shù)列收斂命題

這類命題的特點(diǎn)是，正面直接推導(dǎo)時，沒有相關(guān)的定理或性質(zhì)作為依據(jù)，即所給的條件不滿足已知的定理。此時，需要從問題的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，得出與條件的矛盾。

例3，設(shè)mE

證明在E上依測度收斂于f（x）。

證明：若在E上，fn（x）不依測度收斂于f（x），則存在

δ0>0，使得 mE[| fn-f |>δ0]≠0，從而可知，存在ε>0以及

子函數(shù)列{ fnk }，使得mE[| fn-f |>δ0]>ε>0。又可知，存在{ fnk }

的子函數(shù)列{ fnkj }在E上a.e.收斂于f，由于mE

三 結(jié)束語

由以上幾個簡單的小例子可以看出，反證法在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，應(yīng)該要求學(xué)生掌握這種證明方法。并且，在講解時，重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握這種證明方法的思想和內(nèi)部邏輯依據(jù)，這樣才能真正達(dá)到教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

篇（4）

通常，人們在做數(shù)學(xué)論證時，往往習(xí)慣于用直接法正向求證，由條件逐步推出結(jié)果，然而，有時候?qū)δ骋恍?shù)學(xué)問題，根據(jù)已知條件很難推出所要求的結(jié)論，這就要求我們必須嘗試用另一種方式進(jìn)行間接論證，這就是我們通常所説的反證法。

看下面例子：

例1 把1600顆花生分給100只猴子，證明：不管怎樣分法，至少有四只猴子得到的花生一樣多。

解法探析：假設(shè)至多有三只猴子分得的花生數(shù)相同，我們從所需花生最少的情況考慮：

3只猴子各分得0顆花生，

3只猴子各分得1顆花生，

3只猴子各分得2顆花生，

、、、 、、、

3只猴子各分得32顆花生，

最后一只猴子分得33顆花生。

這樣，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（顆）

這與題設(shè)只有1600顆花生矛盾，故原命題成立。

通過以上例子，對這類用直接證法難以下手的題目，用反證法求解時則十分簡便，那么究竟如何運(yùn)用反證法呢？

（一）　通常來說，用反證法時有三個步驟：

ⅰ　反設(shè)

“反設(shè)”就是正確的否定結(jié)論。由于它是反證法的出發(fā)點(diǎn)，所以如果反設(shè)出現(xiàn)錯誤，將導(dǎo)致全盤皆錯。關(guān)于“反設(shè)”應(yīng)注意：

1　首先要弄清題目的條件和結(jié)論；

2　強(qiáng)調(diào)“反設(shè)”是對結(jié)論的全否定。

例如 求證：若a，b為自然數(shù)，且a×b是奇數(shù)，則a，b都是奇數(shù)。

結(jié)論的反面應(yīng)是：“a，b不都是奇數(shù)”。而不是：“a，b都不是奇數(shù)”。

ⅱ　歸謬

以“反設(shè)”為出發(fā)點(diǎn)，題設(shè)條件為根據(jù)，通過正確推理，得出矛盾。這是反證法的核心。

由于反證法推出矛盾的類型很多，出現(xiàn)矛盾的情形又比較復(fù)雜，因此在進(jìn)行歸謬時，經(jīng)常會陷入困境，甚至對自己的正確推理產(chǎn)生疑惑，因此，舉例説明推出矛盾的主要類型：

①與客觀事實(shí)矛盾

例 高一有400名學(xué)生，求證：這400名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生的生日是相同的。

證明：假設(shè)400名學(xué)生的生日都不相同，那么一年將有400天，這與客觀實(shí)際相矛盾，故原命題成立。

②與公理，定理矛盾

例 如果兩直線都平行與第三條直線，則這兩條直線也相互平行。

證明：假設(shè)這兩條直線不平行，則必然相交于一點(diǎn)。這樣就得出：過直線外一點(diǎn)，能做出兩條直線與該直線平行的直線。這與平行公理矛盾。

③與題設(shè)矛盾

例如 前面猴子分花生的例子，由假設(shè)求出的結(jié)果共需花生1617顆，而題設(shè)只有1600顆花生，矛盾。

④與反設(shè)矛盾

ⅲ　存真

由所得矛盾肯定原命題成立。

（二）反證法的適用范圍

什么類型的數(shù)學(xué)命題可以用反證法證明呢？一般來説，對于“若A則B”一類的數(shù)學(xué)命題，都能用反證法來證明，但難易程度不同，就多數(shù)題來説，直接證法比較簡捷。因此在證題時，首先應(yīng)考慮使用直接證法。當(dāng)用直接證法無法下手甚至不可能時，可考慮使用反證法。

通常來說，下列情況可以考慮使用反證法：

（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；

（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時；

（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時；

（4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；

（5）命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時；

（6）關(guān)于存在性命題；

（7）某些定理的逆定理．

總之，正難則反，直接的東西較少、較抽象、較困難時，其反面常會較多、較具體、較容易．反證法有時也用于整個命題論證過程的某個局部環(huán)節(jié)上．

以上簡單列出了運(yùn)用反證法推出矛盾的主要類型，方便我們參考，應(yīng)該注意的是，一個數(shù)學(xué)命題，究竟使用那種證明方法更方便一些，要具體問題具體分析，切不可生搬硬套。

參考文獻(xiàn)

1 “正難則反”好思路　峰回路轉(zhuǎn)現(xiàn)通途

作者：朱浩； 福建中學(xué)數(shù)學(xué)2009年第05期

反證法完全解讀

作者：陳素珍 中學(xué)生數(shù)理化（高二版）2010年第02期

篇（5）

一、非命題

非命題是高中數(shù)學(xué)的簡易邏輯中出現(xiàn)的概念，而在實(shí)際生活中，非命題類的語句也經(jīng)常用到.“非”是否定的意思，對命題進(jìn)行否定得出的新命題，我們稱之為非命題.所以，當(dāng)某一個命題為真命題時，將之否定得到的就是假命題，同樣，若一個命題為假命題時，將之否定則是一個正確的命題，即真命題.一般情況下的這樣兩個命題稱為一組“互非命題”.

我們來看一句話，為表述方便，把它記為A：“0的倒數(shù)是0.”這句話可以判斷真假，我們稱之為命題，又因為1/0在初等數(shù)學(xué)中沒有意義，所以命題A是假命題，那么，將之否定將得到真命題，也即非A命題：“0的倒數(shù)不是0”是真命題.這是數(shù)學(xué)上的推理，然而在我們的日常口語習(xí)慣中，0的倒數(shù)既然沒有意義，也就是前提不存在，那么結(jié)果無論是等于0還是不等于0都是不正確的.數(shù)學(xué)與邏輯有矛盾嗎？

數(shù)學(xué)是頭腦的體操，是邏輯的推演，結(jié)論是確定的、可控的，我們說“數(shù)學(xué)的世界里沒有騎墻派”，當(dāng)然不會產(chǎn)生矛盾.我們把剛才的命題數(shù)學(xué)化，寫成條件命題的標(biāo)準(zhǔn)形式，若p則q形式，改寫如下：若x=0則1/0=0；那么非命題為若x=0則1/0≠0，我們將1/0≠0理解成：這個整體可能根本不存在（無意義），也可能取某一個非零的值.換言之，它不僅包括原命題的反面內(nèi)涵（也即非零值），還包括與之相關(guān)聯(lián)、相和諧的一系列的相關(guān)外延.正是這一系列內(nèi)涵與外延的獨(dú)立，才使得利用逆否命題可以證明原命題.

二、反證法

反證法可以用來證明任何學(xué)科領(lǐng)域的命題.一般的，由證明若p則q形式，轉(zhuǎn)而證明非q推出一系列結(jié)論，從而推出一個全新結(jié)論t，其中t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定非p為假，推出p為真命題.證明的一般步驟一般有三個：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.下面對這三個步驟詳加說明.

步驟一：正確地作出反設(shè).否定結(jié)論是正確運(yùn)用反證法的前提，需注意所作出的反設(shè)必須包括與結(jié)論相反的所有情況，而提出否定假設(shè)相當(dāng)于增加了一個已知條件.

步驟二：推出矛盾是用反證法證明命題的關(guān)鍵.在證明和推導(dǎo)過程中，已知的一些定義、定理、已知條件都正常應(yīng)用，提出的反設(shè)也作為一個已知條件參與證明和推導(dǎo).需要注意的是如果否定事項只有一個，我們只要把這個反面駁倒，就能肯定原命題成立，如果否定事項不止一個時，就必須將結(jié)論所有否定逐一駁倒，才能肯定原命題成立.

步驟三：矛盾判定.需要針對具體問題看待矛盾，一般情況下，是與已知條件矛盾，特殊情況下，雖與已知條件相符（已知條件可在步驟一中參與推理），但與其他定義、定理、公理、事實(shí)等矛盾.

步驟四：既然產(chǎn)生了矛盾，必須推究產(chǎn)生的原因，因為在步驟二中的推演是合乎邏輯的正常推導(dǎo)，所以問題只能出在步驟一上，換言之，其反設(shè)有問題，由錯誤的條件產(chǎn)生的矛盾的結(jié)論，從而證明了原命題的正確.

三、逆否命題

在邏輯中的命題除了陳述和判定的語氣、結(jié)構(gòu)外，有些是在一定條件下的判斷，也即：

在某種條件下成立某一結(jié)論，這種情形通俗點(diǎn)說就是“如果怎樣則結(jié)果如何”，在數(shù)學(xué)上稱為“若則命題”，一般表示為“若p則q”，而與之等價的命題為“若非q則非p”，這種命題將原命題的條件用非命題的形式作為新命題的結(jié)論，將結(jié)論的非命題作為新命題的條件，我們稱之為原命題的逆否命題.

在本質(zhì)上講，原命題與逆否命題的等價性是反證法證明的邏輯基礎(chǔ).原命題為“若p則q”，則反證法的第一個步驟尋找反設(shè)，也即是認(rèn)定非q的過程，步驟二的推導(dǎo)，也即“若非q則非p”的過程，步驟三的矛盾判定，實(shí)際就是非p的判斷，步驟四本質(zhì)上就是原命題與其逆否命題的等價認(rèn)定過程.

綜合以上，我們知道，邏輯判斷過程中的逆向思維是以“非命題”形式作為基礎(chǔ)，以“逆否命題”作為橋梁，以“反證法”作為實(shí)踐手段實(shí)現(xiàn)的，而且，在逆向思維的應(yīng)用中，已知的情況以及使之成立的一切條件和與之相符相伴相和諧的一切都在逆向判斷的范疇內(nèi)，所以邏輯是思維的過程，而數(shù)學(xué)是思維發(fā)展的產(chǎn)物，邏輯與數(shù)學(xué)是共生共存的關(guān)系，并且兩者會相互促進(jìn)、共同發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]顧銀麗.反證法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（15）.

篇（6）

在目前的數(shù)學(xué)教育中，人們普遍認(rèn)為中國學(xué)生善于解決常規(guī)問題，而不善于解決非常規(guī)、開放性問題，這一觀點(diǎn)在國內(nèi)外多項研究中都得到了驗證。顧泠沅教授組織的青浦實(shí)驗在1990年和2007年分別對八年級學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平進(jìn)行了大樣本的測試。這兩次測試的結(jié)果表明，學(xué)生在“計算”、“概念”、“領(lǐng)會”水平上已經(jīng)取得了較大的突破，但是在“分析”水平上，不但幾乎沒有任何進(jìn)步，反而還有倒退的跡象。解決非常規(guī)、開放性問題和顧泠沅教授所劃分的“分析”水平，均屬于高層次數(shù)學(xué)認(rèn)知。因此，什么是高認(rèn)知層次數(shù)學(xué)任務(wù)，以及如何在課堂教學(xué)提高學(xué)生高水平數(shù)學(xué)認(rèn)知亟待解決。

對此，鮑建生等人根據(jù)青浦實(shí)驗小組的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架，認(rèn)為“分析”水平應(yīng)包括以下五點(diǎn)高認(rèn)知層次數(shù)學(xué)任務(wù)：

（1）發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題：從各種情境中發(fā)現(xiàn)所包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系或結(jié)構(gòu)，提出合適的數(shù)學(xué)問題；

（2）解決非常規(guī)的和開放性的數(shù)學(xué)問題；

（3）提出猜想與構(gòu)造模型：分析條件和結(jié)論間主要關(guān)系或重點(diǎn)步驟，形成假設(shè)或初步的數(shù)學(xué)模型；

（4）特殊化與一般化：全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進(jìn)行推廣或特殊化；

（5）數(shù)學(xué)推理與證明：用數(shù)學(xué)語言形成結(jié)論并給出嚴(yán)格的證明。

本文將以此為框架，對一節(jié)具體的九年級數(shù)學(xué)課進(jìn)行課堂實(shí)錄研究。

1.《反證法》內(nèi)容及教材分析

本節(jié)課是華東師范大學(xué)版初中九年級教材下冊29.2節(jié)《反證法》，在教學(xué)中，學(xué)生需要體會反證法的含義，掌握反證法的步驟與綜合法的根本區(qū)別，并且能用反證法證明一些較簡單的命題。反證法是一種常用的數(shù)學(xué)證明方法，但是，對九年級學(xué)生來說，反證法需要較高的數(shù)學(xué)思維水平，且反證法是他們從來沒有接觸過的證明方法，因此讓學(xué)生理解反證法的含義和掌握證明步驟成為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。同時，尋找問題的反面是本節(jié)課的難點(diǎn)。

2.教學(xué)過程分析

表1 各數(shù)學(xué)任務(wù)用時分布情況表

本節(jié)課包括：情境引入、方法形成、反證法證明過程的分解練習(xí)、例題、練習(xí)、擴(kuò)展練習(xí)、總結(jié)7個部分，將每個部分細(xì)化，與上述框架對應(yīng)，筆者發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課教師對其中四點(diǎn)落實(shí)較好，但較少涉及解決非常規(guī)和開放性的數(shù)學(xué)問題。具體過程如上表：

2.1形成并發(fā)現(xiàn)合適的數(shù)學(xué)問題。

這節(jié)課在情境引入和方法形成的第一步中，教師幫助學(xué)生形成并發(fā)現(xiàn)合適的數(shù)學(xué)問題。

首先，引入課題的是兩個現(xiàn)實(shí)生活中的情境，這兩個問題用反證法更容易解釋得清楚，但教師直接讓學(xué)生解釋，在學(xué)生解釋不清的時候，再提示學(xué)生從結(jié)論的反面入手。這樣的做法給了學(xué)生充足的思考時間，這就幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題，即，什么樣的問題需要用反證法證明？反證法的好處是什么？怎么用反證法證明？在方法形成的第一步中，教師同樣做到了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和形成數(shù)學(xué)問題，請看第一步的教學(xué)實(shí)錄：

師：我們看一個具體的數(shù)學(xué)問題。在一個ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.這個命題是真命題嗎？

生：是。

師：這是什么？

生：勾股定理。

師：這就是我們熟悉的勾股定理。接下來教師把他改一改我把剛才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，這是真命題嗎？

生：是。（回答人數(shù)不多，學(xué)生有些猶豫。）

師：是。為什么呢？

師：思考一下，這個問題很難直接回答，那我們是不是也可以從它的反面來講一講。想想看我們這個命題是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？

生：a■+b■=c■.

師：那么我假設(shè)a■+b■=c■，你會得到一個什么結(jié)果？

生：∠C=90°.

師：為什么會得到∠C=90°呢？

生：因為勾股定理的逆定理。

師：也就是說因為勾股定理的逆定理知道這是一個直角三角形，因為C是斜邊，所以∠C=90°。這與已知條件中∠C≠90°矛盾。一旦出現(xiàn)矛盾，說明假設(shè)還成立嗎？

生：不成立。

師：那么就是導(dǎo)致了a■+b■=c■這個命題不成立，也就是a■+b■≠c■，這個命題是一個真命題。

這個過程中，教師一直在引導(dǎo)學(xué)生，給出提示，讓學(xué)生自己說出結(jié)果。雖然處理方法與情境引入相似，但情境引入是兩個生活實(shí)例，而這個問題是一個純粹的數(shù)學(xué)問題。如果在情境引入中教師能啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并形成數(shù)學(xué)問題，那么在這個問題中，教師希望學(xué)生自己能發(fā)現(xiàn)這個問題與情境引入中問題的相似，從而自己發(fā)現(xiàn)問題中包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系和結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)問題。

2.2解決非常規(guī)和開放性的數(shù)學(xué)問題。

在本節(jié)課的最后，進(jìn)行完例題與習(xí)題的講解，教師給出了一個有趣的問題，如下：

討論問題：有A，B，C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A，B都撒謊，則C必定是在撒謊，為什么？

這是一個非常規(guī)和開放性的數(shù)學(xué)問題，在之前的授課中，學(xué)生練習(xí)的均為常規(guī)的程序性數(shù)學(xué)問題，這道非常規(guī)開放性的數(shù)學(xué)問題有利于拓寬學(xué)生思路，同時加深對反證法的理解，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。但是可惜由于時間關(guān)系，教師僅僅用自己提問然后自己回答的方式，證明了一下C必定撒謊這一結(jié)論，整個過程用時很短，從課堂反應(yīng)上看，學(xué)生似乎對此問題的理解不夠。

2.3提出猜想與構(gòu)造模型。

在方法形成的第二步，教師引導(dǎo)學(xué)生提出了勾股定理的否命題，便在黑板上板書了反證法的詳細(xì)證明步驟。值得一提的是，教師并沒有自己歸納，而是請一名同學(xué)回憶上述問題的證明過程，自己歸納。這便做到了提出猜想與構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。對具體問題的證明和抽象出一般的證明方法之間有著較大跨度，讓學(xué)生自己歸納有利于培養(yǎng)學(xué)生分析條件和結(jié)論之間主要關(guān)系或重點(diǎn)步驟，形成初步數(shù)學(xué)模型的能力。

2.4特殊化與一般化。

在形成一般化的證明方法以后，教師適時地按照證明步驟回顧了情境引入和勾股定理否命題這兩個問題的證明。這樣的做法正好符合了一般化與特殊化的原則，全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進(jìn)行推廣或特殊化。回顧例子的過程有利于讓學(xué)生把程序化的證明方法和證明過程的實(shí)際聯(lián)系起來，深化對反證法證明過程的理解。

接著進(jìn)行了對反證法證明過程的分解練習(xí)，具體做法如下：

第一步：練習(xí)如何進(jìn)行假設(shè)。讓學(xué)生說出“a//b”、“∠A不小于60度”、“線段AB，CD互相平分”、“至少有一個”這四個命題的反面是什么。

第二步：給出證明的大致框架，讓學(xué)生填空。

在ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C。

分解練習(xí)對于初學(xué)者來說有一定的必要性，教師由于有較多的教學(xué)經(jīng)驗，知道學(xué)生對于反證法的薄弱環(huán)節(jié)在于第一步“假設(shè)”。“假設(shè)”其實(shí)是對結(jié)論進(jìn)行否定，而對于初中學(xué)生來說，對“不大于”、“至少有一個”這樣的命題進(jìn)行否定存在比較大的困難，教師第一步進(jìn)行假設(shè)的練習(xí)解決了學(xué)生普遍存在的這一類問題。在第二步中，給出證明框架，讓學(xué)生填空的做法，是給予了學(xué)生一個對反證法整體思路的熟悉過程。這種循序漸進(jìn)的教學(xué)方法對于學(xué)生的接受有積極作用。同時，上述的第四點(diǎn)特殊化與一般化要求：全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進(jìn)行推廣或特殊化；而這兩步分解練習(xí)是對模型（反證法的證明步驟）中的各個要素進(jìn)行分解和詳細(xì)闡釋，為學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行特殊化做好了鋪墊。

分解練習(xí)之后，又講解了兩道例題，并請同學(xué)在黑板上板書了一道習(xí)題。這同樣也是對反證法證明模型的進(jìn)一步運(yùn)用，通過分解練習(xí)和例題的講解，學(xué)生在練習(xí)中反應(yīng)較好。

2.5數(shù)學(xué)推理與證明。

以上進(jìn)行例題的講解和練習(xí)的過程同時也是數(shù)學(xué)推理與證明的過程。教師多次強(qiáng)調(diào)證明的格式規(guī)范，學(xué)生也能夠?qū)λo習(xí)題進(jìn)行嚴(yán)格證明。

3.教學(xué)建議與反思

綜合對本節(jié)課以上五個方面的考察，筆者認(rèn)為，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注意以下方面。

3.1在發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題之初，教師應(yīng)留給學(xué)生足夠的思考時間。

就本節(jié)課而言，反證法這種證明方法很可能是學(xué)生從來沒有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸過的，因此，對于情境引入中的實(shí)際問題，即使他們明白其中道理，并且發(fā)現(xiàn)從正面去解釋存在困難，他們也想不到用反證思想。這個時候，教師應(yīng)適當(dāng)提示，步步引導(dǎo)，并且在此過程中給予學(xué)生充足的思考時間。如果這個時候教師急于說出答案，那么讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和形成合適的數(shù)學(xué)問題就變成了老師給出合適的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生從一開始對該問題中包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系和結(jié)構(gòu)認(rèn)識的不夠深刻，這會影響學(xué)生掌握和運(yùn)用該知識。

3.2在課堂中，教師應(yīng)適當(dāng)增加非常規(guī)和開放性數(shù)學(xué)問題的比例。

篇（7）

既然反證法是間接證法,那么反證法也是通過證明原命題的等價命題從而證明原命題的。反證法是指:“證明某個命題時,先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立,然后從這個假設(shè)出發(fā),根據(jù)命題的條件和已知的真命題,經(jīng)過推理,得出與已知事實(shí)(條件、公理、定義、定理、法則、公式等)相矛盾的結(jié)果。這樣,就證明了結(jié)論的否定不成立,從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立。”這種證明的方法,叫做反證法。運(yùn)用反證法證題一般分為以下三個步驟。

1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立;

2.從這個結(jié)論出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾;

3.由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確。

即:提出假設(shè)―推出矛盾―肯定結(jié)論。

反證法在線性代數(shù)解題中的應(yīng)用非常廣泛,但什么時候應(yīng)該使用反證法,證明哪些命題適宜使用反證法,都沒有一定的規(guī)律可循。原則上說,應(yīng)該因題而異、以簡為宜。首先從正面考慮,當(dāng)不易證明時,再從反面考慮。當(dāng)由假定原命題結(jié)論的否定成立去推出矛盾比證明原命題更容易時,就應(yīng)該使用反證法。

二、反證法在解線性代數(shù)題時的應(yīng)用

1.對于結(jié)論是否定形式的命題,宜用反證法。

由于定義、定理等一般是以肯定的形式出現(xiàn),因此用它們直接證明否定形式的命題可能會有困難。但否定的反面是肯定,因而從結(jié)論的反面入手,即用反證法來證會比較方便。

例1.設(shè)矩陣A的特征值λ≠λ,對應(yīng)的特征向量分別為α、α,證明:α-α不是A的特征向量。

證明:假設(shè)α-α是矩陣A的特征向量,則存在數(shù)λ,使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由題設(shè)條件可知Aα=λα、Aα=λα,于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα,則有λα-λα=λα-λα,即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是屬于不同特征值的特征向量,故α、α線性無關(guān),則λ-λ=λ-λ=0,也即有λ=λ。與題設(shè)λ≠λ矛盾,所以α-α不是A的特征向量。

2.對于證明結(jié)論是“肯定”或“必然”的命題,宜用反證法。

即命題結(jié)論中出現(xiàn)“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式,而且從反面較易入手解題時,可考慮使用反證法。

例2.若λ不是A的一個特征值,則矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

證明:用反證法,即設(shè)矩陣λE-A不可逆,則行列式|λE-A|=0,說明λ是特征方程|λE-A|=0的根,也即說明λ是A的一個特征值,與已知矛盾。所以矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

例3.設(shè)β可由α,α,…,α線性表出,但不能由α,α,…,α線性表出,證明α一定可由β,α,α,…,α線性表出。

證明:用反證法,由題設(shè)可知,存在一組常數(shù)k,k,…,k,使得β=k,α+kα+…+kα。假設(shè)k=0,則存在一組常數(shù)k,k,…,k,使得β=kα+kα+…+kα成立,所以β可由α,α,…,α線性表出,這與題設(shè)矛盾,即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α,即α一定可由β,α,α,…,α線性表出。

3.對于證明結(jié)論是“惟一”或“必然”的命題,宜用反證法。

即命題結(jié)論要求證明某元素是“惟一”或某種表示方式是“惟一”的,而直接去找某個元素或某種表示方式比較困難時,則可考慮從其反面入手。

例4.設(shè)向量β可由向量組α,α,…,α線性表出,證明:表示式惟一的充分必要條件是向量組α,α,…,α線性無關(guān)。

證明:由題設(shè),存在常數(shù)k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=β(1)。

證明充分性:設(shè)向量組α,α,…,α線生無關(guān),來證β由α,α,…,α的線性性表示式惟一。

假設(shè)β由α,α,…,α的線性表示式不惟一,設(shè)還有線性表示式為lα+lα+…+lα=β(2)。則k≠l(i=1,2,…,m),則(1)式與(2)式相減得:

(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。

由于α,α,…,α線性無關(guān),故得k-l=0,即k=l(i=1,2,m)。這與k≠l(i=1,2,…,m)矛盾,即β由α,α,…,α線性表示式是惟一的。

證明必要性:設(shè)線性表示式(1)惟一,來證α,α,…,α線性無關(guān)。

假設(shè)α,α,…,α線性相關(guān),則存在一組不全為0的數(shù)λ,λ,…λ,使得λα+λα+…+λα=0(3)。則(1)式與(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因為λ,λ,…,λ不全為0,從而存在β的兩種不同表示方法,這與β由α,α,…,α的線性表示式惟一矛盾,因此向量組α,α,…,α線性無關(guān)。

4.對于證明結(jié)論是“至少什么”或“至多什么”的命題,宜用反證法。

例5.試證:向量組α,α,…,α(其中α≠0,s≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是至少有一個向量α(1≠i≤s)可以被α,α,…,α線性表出。

證明充分性:設(shè)有向量α可以由α,α,…,α線性表出,則α,α,…,α線性相關(guān)。由于α,α,…,α是α,α,…,α的一個部分組,所以α,α,…,α線性相關(guān)。

證明必要性:用反證法,假設(shè)每個α(1≠i≤s)都不能由α,α,…,α線性表出。我們接下來來證明α,α,…,α線性無關(guān),設(shè)有一組數(shù)k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=0(1),

則必有k=0,否則k≠0時,α可由α,α,…,α線性表出,與假設(shè)不符。這樣(1)式成為kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0,…,k=0,因此(1)式成為kα=0。

又已知α≠0,故得k=0。所以向量組α,α,…,α線性無關(guān),與必要性的題設(shè)矛盾,假設(shè)不成立。即至少有一個向量α可以由α,α,…,α線性表出。

5.對于某些逆命題的正確性,可用反證法。

當(dāng)原命題與其逆命題都成立時,其逆命題的正確性可用反證法來證明。

例6.設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣。試證:r(A)=n的充分必要條件是存在矩陣B,使AB+BA是正定矩陣。

證明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩陣,取B=A,則有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E為正定矩陣。

證明充分性:用反證法,假設(shè)r(A)≠n,則n元齊次線性方程組AX=0有非零解,即有X≠0,使AX=0,也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA,說明AB+BA是實(shí)對稱矩陣。

上述X≠0時,f=X(AB+BA)X=0,與AB+BA是正定矩陣矛盾,所以r(A)=n。

參考文獻(xiàn):

[1]錢椿林.線性代數(shù)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]王中良.線性代數(shù)解題指導(dǎo)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2004.

篇（8）

        二、克服反證法教學(xué)心理障礙

        學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程包括圖式—同化—順應(yīng)—平衡等四個過程。當(dāng)一個新知識出現(xiàn)時，學(xué)生首先是用舊的認(rèn)識結(jié)構(gòu)對其進(jìn)行解釋與吸收，將新知識納入原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)之中。當(dāng)原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)不能解釋，不能容納新知識時，則內(nèi)部系統(tǒng)及對原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新改組，擴(kuò)大。使之足以包攝新知識，達(dá)到新的平衡。學(xué)生在以往學(xué)習(xí)的只是直接證明方法，推理中的每一步在感知上和邏輯上都不會與原有的知識系統(tǒng)和認(rèn)識圖形相互矛盾。他們在具體證明某一題目時，只須將題目具體內(nèi)容“同化”到他們原有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)或演繹體系中去。這種感知上與邏輯上的一致性已經(jīng)形成了他們進(jìn)行演繹推理的心理基礎(chǔ)，成為他們達(dá)到心理平衡的依據(jù)。運(yùn)用直接證明方法時，也有心理障礙存在，但那是由于在錯覺影響下，或在下意識作用下的原因所造成的。而學(xué)習(xí)反證法時，推理過程中出現(xiàn)的是感知與邏輯上矛盾的情形，與錯覺或下意識是不同的。要使學(xué)生真正掌握反證法。不將學(xué)生原有的演繹體系提高到更高的層次，也就是進(jìn)行“順應(yīng)”的過程，是不可能的。反證法的教學(xué)，不應(yīng)拘泥于教材，宜采取分散難點(diǎn)，逐步滲透，不斷深化的方法。有步驟、有計劃地落實(shí)到教學(xué)之中，著重培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行形式演繹的能力。

        結(jié)果，指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時，一定要突出兩點(diǎn)：一是要將結(jié)論的反面當(dāng)成新的已知條件后，才能由此推出矛盾的結(jié)果，否則就不能導(dǎo)致矛盾。二是推理要合乎邏輯，否則即使推出了矛盾后，也不能斷言假設(shè)不成立。也就是說在“歸謬”的過程中其推理應(yīng)是無懈可擊的，其矛盾的產(chǎn)生并非別的原因，只因反設(shè)不成立所致。同時，導(dǎo)致矛盾又有如下幾種情況：一是與已知條件矛盾。

        二是與已學(xué)定義、公理、定理相矛盾。三是與題設(shè)相矛盾。

        3、“結(jié)論”的練習(xí)：“反證法”中的結(jié)論是指最后得出所證命題的結(jié)論。教學(xué)時，一定要嚴(yán)格要求“結(jié)論”準(zhǔn)確。否則，將前功盡棄。

        （四）比較辨析，恰當(dāng)運(yùn)用“反證法”

        “反證法”在幾何、代數(shù)、三角等方面都能應(yīng)用。教學(xué)時，為了擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生積極性，可適當(dāng)補(bǔ)充這方面的練習(xí)題。另一方面，學(xué)生學(xué)了“反證法”之后，企圖什么證明題都想用“反證法”來證，結(jié)果使一些簡單問題復(fù)雜化了，以致弄巧成拙。教學(xué)時還應(yīng)強(qiáng)調(diào)，什么時候用“直接證明法”，什么時候用“反證法”，應(yīng)依所證命題的具體情況恰當(dāng)使用。

原則上是“以簡

  （一）淺顯事例引入“反證法”的基本思想

學(xué)生剛接觸“反證法”時，對于此法中根據(jù)排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教學(xué)時，可通過學(xué)生已有實(shí)踐體會的淺顯的生活方面的事例讓學(xué)生逐步領(lǐng)會。開始將“反證法”用于解題時候，也宜于用學(xué)生已掌握的而且也是最淺顯的例子引入。

        （二）精講例題，找出“反證法”的基本規(guī)律

有前面的基礎(chǔ)，就要注意講好每一個具有代表性的例題。特別是重要講好建立新概念或引出新方法時的第一個例題。教學(xué)時，宜于運(yùn)用具體的幾何實(shí)例。逐步說明證明的過程，并啟發(fā)學(xué)生沿著思維規(guī)律進(jìn)行思考，得出“反證法”的一般步驟和規(guī)律：

        1、反設(shè)：將結(jié)論的的反面作為假設(shè)。

        2、歸謬：將“反設(shè)”作條件，由此推出和題設(shè)或者和公理、定義、已證的定理相矛盾的結(jié)果。

        3、結(jié)論：說明“反設(shè)”不成立，從而肯定結(jié)論不得不成立。

        （三）加強(qiáng)練習(xí)，培養(yǎng)用“反證法”證題的基本能力

在學(xué)生初步領(lǐng)會“反證法”的基本思想，掌握“反證法”的基本方法以后，還應(yīng)靠足夠的練習(xí)來逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“反證法”證題的能力。練習(xí)要有針對性，要重點(diǎn)突出，根據(jù)“反證法”的特點(diǎn)，練習(xí)的著重點(diǎn)應(yīng)放在“反設(shè)”、“歸謬”、“結(jié)論”三個方面。

        1、“反設(shè)”的練習(xí)：“反設(shè)”即為“否定結(jié)論”，它是反證法的第一步，它的正確與否，直接影響著“反證法”的后續(xù)部分，學(xué)生初學(xué)時，往往去否定假設(shè)，教學(xué)時，應(yīng)注意糾正。要突出“反設(shè)”的含義就是“將結(jié)論的反面作為假設(shè)”。在思考途徑上可指導(dǎo)學(xué)生按以下幾步進(jìn)行：第一要弄清所證命題的題設(shè)和結(jié)論各是什么。第二找出結(jié)論的全面相反情況，注意不要漏掉又不要重復(fù)。第三否定時用“不”或“不是”加在結(jié)論的前面，再把句子化簡。

        2、“歸謬”的練習(xí)：“歸謬”即“假定結(jié)論的反面成立，而導(dǎo)致矛盾。”就是說將結(jié)論的反面作為條件后，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這不但是反證法的主要部分，而且也是核心部分。學(xué)生初學(xué)時，為宜”。一般來說，用“直接證法”的時候居多，但遇下列情況可考慮用“反證法”。

        1、當(dāng)直接證明某個命題有困難或不可能時，可考慮使用“反證法”。

        2、否定性問題：在此類問題中，結(jié)論的反面即可能就更為具體，常常可以由此去推出矛盾，從而否定可能，而肯定了不可能。

        3、唯一性問題：此類問題中，結(jié)論的反面是不唯一的，那么，至少可有兩個不同者，由此去推出矛盾，來否定不唯一，從而肯定唯一。

篇（9）

數(shù)學(xué)離不開解題，掌握數(shù)學(xué)的一個重要標(biāo)志是善于解題，在解題過程中的有意識比賽或無意識競爭逐漸形成了現(xiàn)在的數(shù)學(xué)競賽。本文將介紹競賽數(shù)學(xué)的一些基本解題方法。

一、構(gòu)造法

解題常在問題的給定系統(tǒng)里由題設(shè)推得結(jié)論。但對有些問，如存在性問題、條件與結(jié)論相對較遠(yuǎn)的問題等，直接推理不能順利進(jìn)行，因此不得不找尋某種中介工具，建立條件與結(jié)論的聯(lián)系。解題的這種中介工具通常隱含在題設(shè)之中，需要去發(fā)現(xiàn)、解釋并構(gòu)造。通過構(gòu)造題目所沒有的解題中介工具―實(shí)例、數(shù)學(xué)模型或?qū)?yīng)關(guān)系去解決問題的方法就是構(gòu)造法。

1.存在性問題的構(gòu)造性解法

存在性問題，就是指結(jié)論中含有“存在”這一詞的問題。是研究某一數(shù)學(xué)對象是否存在，或某種數(shù)學(xué)對象是否具備某一性質(zhì)的問題。解決存在性問題的方法有構(gòu)造性和非構(gòu)造性兩種。非構(gòu)造性的解決方法是利用排中律（例如反證法）論證。反證法在構(gòu)造證明中起著非常重要的作用。

例1.證明：一個奇數(shù)c為合數(shù)的充要條件是存在自然數(shù)a≤■-1，使（2a-1）2+8c為平方數(shù)。

證充分性較簡單，證明略。下面證必要性。必要性為存在性問題，可用構(gòu)造法。

設(shè)c為奇合數(shù)，則c能分解為兩個大于1的奇數(shù)之積，較小的記為2k-1，較大的記為m，即c=（2k-1）m，k≥2，m≥2k-1。令a=m-k+1，則a=■-k+1≤■-1≤■-1，

且（2a-1）2+8c=（2m-2k+1）2+8（2k-1）m=[2m-（2k-1）]2+8m（2k-1）

=[2m-（2k-1）]2

例2.對于任何自然數(shù)，在整點(diǎn)平面上是否存在一個圓，使它的內(nèi)部恰好有個整點(diǎn)？

解討論型的存在性問題，假設(shè)題中的圓存在，只要找出一點(diǎn)使得它到平面上的各個整點(diǎn)的距離都不等。點(diǎn)P（■，■）是符合條件的點(diǎn)。用反證法證明猜想正確。

否則，平面上有兩個不同的整點(diǎn)M（a，b）、N（c，d），到P點(diǎn)的距離相等，即（a-■）2+（b-■）2=（c-■）2+（d-■）2

化簡整理，得c2+d2-a2-b2+■（b-d）=02（a-c）=0可推出a=c，b=d這與假設(shè)矛盾。我們把平面各整點(diǎn)到點(diǎn)P的距離按由近到遠(yuǎn)排列為P1，P2，…Pn，…，選擇r，使■

2.構(gòu)造數(shù)學(xué)模型

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是指反映特定問題的數(shù)學(xué)對象及其關(guān)系結(jié)構(gòu)的映像系統(tǒng)，是具體的、直觀的、典型的模式。構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是一種創(chuàng)造性的思維，但也離不開對題目結(jié)構(gòu)的深刻認(rèn)識。

例3.已知a，b，c是ABC的三邊，求證

a2（b+c-a）+b2（a+c-b）+c2（a+b-c）≤3abc

分析：將求證式左邊變形得

a（b2+c2-a2）+b（a2+c2-b2）+c（a2+b2+c2）（*）

能夠聯(lián)想到余弦定理，并且將（*）式轉(zhuǎn)化為三角問題，利用已知的三角不等式cosA+cosB+cosC≤■可證明結(jié)論成立。

二、反證法

數(shù)學(xué)證明有直接證明法和間接證明法兩種。反證法為間接證法的一種，是數(shù)學(xué)證明的大法。許多歷史上著名的命題都是用反證法證明的。反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的一種武器”。

例4.{an}為正數(shù)列，滿足（ak+1+k）ak=1，k=1，2，…，求證對一切k∈N，ak為無理數(shù)。

證假設(shè)存在ak=■（p，q為互質(zhì)自然數(shù)），則得ak+1=■，即ak+1也是有理數(shù)，令Sk表示ak的分子與分母的和，則Sk=p+q，Sk+1=q-（k-1）p。

因為k≥1，故Sk≥Sk+1，從而Sk>Sk+1>Sk+2>…

因為Sk，Sk+1，Sk+2，…都是整數(shù)，故一定存在Sk+1

三、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法也是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的方法之一，在數(shù)學(xué)各分支里都有廣泛的應(yīng)用。需用數(shù)學(xué)歸納法證明的一般是與自然數(shù)有關(guān)的命題，但并不是所有的與自然數(shù)有關(guān)的命題都可以，只有可以遞歸的命題才可用數(shù)學(xué)歸納法證明。

例5.m，n∈N求證2mn>mn

證：①顯然當(dāng)m=1，n=1時，不等式成立。

②對任意的自然數(shù)k，l，假設(shè)2kl>kl與2kl>lk成立，則

2（k+1）l=2kl2l>kl2l=（2k）l≥（k+1）l及2k（l+1）=2kl2k=（2l）k≥（l+1）k

即p（k+1，l）和p（k，l+1）都成立，命題得證。

篇（10）

在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中常采用的反證法和公式、定理的逆用等都是運(yùn)用了逆向思維，以下本文將簡單介紹如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和應(yīng)用逆向思維。

一、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

逆向思維的重要意義就是要打破學(xué)生的思維定式，解除學(xué)生固有的思維框架，逆向思維就是在思考問題時思維發(fā)生突變和跳躍，從而獲得全新的解題思路和方法，逆向思維是建設(shè)新理論、發(fā)展新科學(xué)的重要途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中常應(yīng)用的假設(shè)需求解變量為x，即逆向思維在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用，其原理就是把原本需求解的未知數(shù)假定為x代入算式中，視x為已知，利用關(guān)系式反推而最終求出x的值。早在19世紀(jì)逆向思維就被應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而得出了“非歐幾何”，20世紀(jì)的“模糊數(shù)學(xué)”也是逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的典型事例。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的開發(fā)和鍛煉

關(guān)于如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開發(fā)和鍛煉學(xué)生的逆向思維，筆者有以下兩點(diǎn)建議。

1.將逆向教學(xué)滲入基礎(chǔ)知識的教學(xué)中

數(shù)學(xué)是初中教育的基礎(chǔ)學(xué)科之一，在重視學(xué)生對基礎(chǔ)知識熟練掌握和應(yīng)用的同時，將逆向思維、逆向教學(xué)引入，不但可以加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的了解，還能夠開拓學(xué)生的思維能力和思考方式。在概念等基礎(chǔ)知識的教學(xué)上應(yīng)著重加強(qiáng)逆向思維的教育。例如在概念中存在很多的“互為”關(guān)系，如“互為相反數(shù)”“互為倒數(shù)”等，教師可以利用這樣的概念來引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個方面分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，幫助學(xué)生建立雙向的思維模式。如果教師能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)、適時地引導(dǎo)學(xué)生從命題的反面來思考問題，那么學(xué)生的逆向思維能力就會在基礎(chǔ)知識的教學(xué)中逐漸被開發(fā)出來。

2.強(qiáng)化逆向思維在解題方法上的滲透

①分析法。分析法注重由結(jié)論倒推需要得出解題答案的條

件，倒推過程中會發(fā)現(xiàn)解題需要的充分條件都在已知條件中，分析法可以幫助學(xué)生認(rèn)識到解題過程是可逆的，有助于學(xué)生逆向思

維能力的培養(yǎng)。②反證法。反證法就是利用已知條件推理論斷來證明命題的相反面不成立，從而證明命題成立，反證法屬于間接求證的方法，數(shù)學(xué)中的很多命題從正面得出結(jié)論是非常難的，這時一般都會采用反證法，加強(qiáng)學(xué)生對反證法應(yīng)用的鍛煉，有助于開發(fā)學(xué)生的逆向思維、拓展學(xué)生思維的深度和廣度。③舉反例法。在解決數(shù)學(xué)問題時，若要證明某個命題是錯的，除直接證明外，還可以采用舉反例的方式來證明。即找出一個符合命題的條件，但是在該條件下命題結(jié)論并不成立的例子，這樣就證明這個命題是錯誤的，舉反例法需要學(xué)生從逆向來看待問題、解決問題。因此，加強(qiáng)學(xué)生舉反例的鍛煉，也可極大地開發(fā)學(xué)生的逆向思維能力。

數(shù)學(xué)作為一門重要的學(xué)科之一，學(xué)生十分有必要學(xué)好數(shù)學(xué)，

這樣學(xué)生才能更好地發(fā)展自身的學(xué)業(yè)。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的推動下，逆向思維的應(yīng)用對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來講尤為重要。學(xué)生只有掌握好逆向思維的應(yīng)用，才能更好地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，拓展想象力，進(jìn)而有效拓展新的解題思路。

參考文獻(xiàn)：

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1、配方法。所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、換元法。換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

3、判別式法與韋達(dá)定理。一元二次方程 （a、b、c屬于實(shí)數(shù)，a≠0）根的判別， ，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。

韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。

4、待定系數(shù)法。在解數(shù)學(xué)問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

5、構(gòu)造法。在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程（組）、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于問題的解決。

6、反證法。反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反面不只一種）。

用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論。

反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有（n一1）個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。

7、面積法。平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

面積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

8、幾何變換法。在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動中的研究結(jié)合起來，有利于對圖形本質(zhì)的認(rèn)識。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對稱。

9.客觀性題的解題方法。選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，知識復(fù)蓋面廣，評卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析判斷能力和計算能力等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計算、嚴(yán)密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。

（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。

（2）驗證法：由題設(shè)找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當(dāng)遇到定量命題時，常用此法。

（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。