緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇數學除與除以的區別范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

在數學教學中，不少教師和學生把名數與單位名稱等同起來，其實它們是有區別的。對于列式解決應用題后在計算結果后面需要寫上“單位名稱”，是在二年級上冊教材“加和減”這個單元出現的。“不要忘了寫單位”是數學教師經常掛在嘴邊的一句話，目的在于提醒學生在列式解決實際問題時，不要忘了寫得數后面的單位名稱。但細細一想，“單位”是“單位名稱”的縮寫嗎？“不要忘了寫單位”這句話在闡述上對嗎？說到這里，就不得不提提“單位”、“單位名稱”和“名數”這三個概念的含義以及它們之間的關系。

數學中的“單位”一詞，是指測量某個物理量時用來進行比較的標準量。比如，測量長度用1米做為單位，計量質量用1千克做為單位，計算時間用1秒做為單位，測量液體的多少用升或毫升為單位。1米、1千克、1秒、1升這些都是“帶有名稱的單位”，它們的“單位名稱”分別是米、千克、秒、升等。

“名數”，是指帶有單位名稱的數，即量數和單位名稱合起來叫做名數。如5升、7千克、6米、13噸20千克等。“名數”有“單名數”和“復名數”之分。“單名數”是只含有一個單位名稱的名數，如5升、7千克、6米等；“復名數”是含有兩個或兩個以上的同類單位名稱的名數，如13噸20千克、5小時30分17秒等。

知道什么是“單位”“單位名稱”和“名數”，就可以弄清它們之間的聯系和區別。有“單位”的數，不一定都有“單位名稱”，也不一定都是“名數”。“名數”一定具有相應的“數”和“單位名稱”。

因此，在實際應用中要防止混淆概念，不能把忘記寫“單位名稱”，說成是忘記寫“名數”或忘記寫“單位”。

誤區二：“因數”“約數”的概念不清

小學四年級上冊第七單元是“因數和倍數”，這里的“因數”就是指原來的“約數”，新教材中不再出現“約數”這兩個字。

其實，在“數的整除性”中，約數和因數是兩個重要的概念。在小學數學中，接觸因數是在整數乘法時，所有的乘數對于積來說，都是因數。約數是在“數的整除性”中出現的，它與倍數是在“整除”概念的前提下，同時建立起來的概念。以6÷3=2為例，6能夠被3整除，也能被2整除，因此，對6來說，3和2都是它的約數。如果換成乘法算式：3×2=6，對于乘積（6）來說，3和2都是它的因數。由此可見，只有在“整除”的范疇內，才能談得上約數，而在乘法中，因數早已經存在了。

約數與因數的另一個區別，還在于各自的應用范圍上。約數的應用范圍是有限的，它只存在于“數的整除性”這部分知識當中。因數的應用范圍則比較廣泛，無論整數、小數、分數、百分數，以及到中學后所接觸到的負數，只要出現了乘法，就存在著因數的概念。

例如：在小數中2.4×0.8=1.92，2.4與0.8都是1.92的因數。

為了減少學生不必要的名詞記憶，很多新教材中不出現約數這個名詞。雖然新教材中不出現“約數”了，但由于一些老教師或家長還是按以前的說法來輔導學生，一些練習冊中也要經常出現“約數”，學生還是會混著說的。我們應該盡量去規范學生的說法，但也告訴他們，在遇到“約數”時，應該知道指的是“因數”。

誤區三：綜合算式的讀法不規范

篇（2）

教師出示“整理與復習”中的第2題。

147÷20= 312÷50= 720÷70=

147÷21= 312÷53= 720÷72=

147÷29= 312÷58= 720÷68=

師：請同學們觀察一下這些題目，有什么共同特點？

生：都是三位數除以兩位數。

師：你們會算嗎？請大家先算一算第一組的三道題。

學生計算后，集體校驗每道題的結果。教師統計全班學生的練習情況，剖析練習中的錯誤，并板書：

①147÷20=7……7

②147÷21=7

③147÷29=5……2

師：第一組題中，你可以幫這三道題分分類嗎？

小組同學之間相互討論、反饋。

生：我想把第①②題歸為一類，第③題為另一類。

師：你們知道他這樣分類的理由嗎？

生：因為第①②題可以直接試商，而第③題需要調商。

師板書：調商。

生：我想把第①③題歸為一類，第②題另為一類，因為①③兩題都有余數，而第②題沒有余數。

師：沒有余數的除法怎么驗算？有余數的除法呢？請你從中各選一題驗算一下。

學生驗算后，師生共同總結除法的驗算方法。

師：大家觀察得真仔細，那么你還有什么發現嗎？

生：被除數都是147。

生：除數20、21、29，變得越來越大。

生：被除數相同，除數越小，商越大；反之，被除數相同，除數越大，商越小。

師：第①②題的商都是7呢，你又能發現什么呢？

生：被除數相同，如果商一樣，那么余數越大，除數就越小；反之，被除數相同，如果商一樣，那么余數越小，除數就越大。

師：回憶一下，剛才你們是怎樣計算三位數除以兩位數的？

生：筆算三位數除以兩位數的除法時，通常把除數看作與它接近的整十數來試商，計算時從被除數的高位除起，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位上面，除得的余數必須比除數小。

師：那也就是說兩位數可以分成非整十數和整十數兩類，我們還要把非整十數轉化為整十數來試商，這里還滲透了轉化的思想，幫助我們解決了難題。

教師根據學生的小結，順勢板書：非整十數，整十數，轉化。

師：根據同學們剛剛所說的方法，請大家完成第二組的三道題目，比一比誰做得既快又準確。

學生計算后，集體校驗每道題的結果。教師反饋全班練習的情況，并板書：

④312÷50=6……12

⑤312÷53=5……47

⑥312÷58=5……22

師：這一組題，結果都有余數，那你覺得可以怎么分類呢？

生：把④⑥分成一類，⑤分成另一類，因為④⑥試商以后，不需要調商，而⑤試商以后需要調商。

師追問：這組中的⑤312÷53=5……47與第一組中的③147÷29=5……2都需要調商，那它們在調商的時候有什么不同呢？

學生獨立思考。

生：第⑤題是把53看做50，用6試商，發現不夠減，說明商太大了，要調小；而第③題是把29看做30，用4試商，發現余數比除數大，說明商太小了，要調大。

師：調商的規律，我們總結成一句話――看小調小，看大調大。

師板書：看小調小，看大調大。

師：至此，我們一起總結了調商的方法，同學們的概括能力、語言表達能力都不錯。請同學們完成第三組的三道題目，比一比誰做得既快又準確。

學生計算后，集體校驗每道題的結果。教師反饋全班練習的情況，并板書：

⑦720÷70=10……20

⑧720÷72=10

⑨720÷68=10……40

師：你在做這組題的時候，發現與第一組題有什么不同嗎？

生：我發現第⑦題除到被除數的個位時，個位上不夠商1，要用0占位。第⑨題也是這樣。

師：請大家比較一下第一組題和第三組題的商，都是三位數除以兩位數，你又發現了什么？

生：三位數除以兩位數，商可以是一位數，也可以是兩位數。

師：為什么第一組的商是一位數？而第三組的商是兩位數呢？

生：先看被除數的前兩位，第一組，被除數前兩位比除數小，就要看前三位，商寫在個位上，所以第一組的商是一位數；而第三組，被除數前兩位等于除數或大于除數，所以第三組的商寫在十位上，是兩位數。

師：總結得太好了。通過這三組題，我們總結出了整數除法的計算法則――先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要用0占位。我們還學會了三位數除以兩位數的調商的方法――看小調小，看大調大。

師板書：商是一位數，商是兩位數。

板書：

【課后分析】

第一，教材為什么要編制這一題組？

筆者認為備課時有必要對教材進行深入解讀與分析。這一單元主要目標是讓學生經歷探索三位數除以兩位數算法的過程，會筆算三位數除以兩位數。在“整理與復習”中安排這一題組，除了變化形式為學生提供筆算三位數除以兩位數的機會外，還有更重要的目的：通過思考，把握題目之間的聯系和區別，主動發現計算規律，在更高層次上理解算法、運用算法，發展數學思考能力。從上述教學過程中，看出了執教者如何體現“引導學生在計算過程中積極思考”。

第二，學生的認知Y構是否得到必要完善？

篇（3）

小學生由于生活接觸面窄，社會實踐經驗少，感性知識比較貧乏，空間想象力差，采用比較的方法進行教學，可使學生對感性知識獲得較深刻的印象。如在教學毫米和分米的認識（人教版小學數學第五冊）時，因為學生已經認識了“1厘米”，為了使學生對“1毫米、1分米”有比較正確的認識，可以讓學生拿著尺子，對著“1毫米”和“1厘米”的刻度進行比較，再拿“1分米”和“1厘米”比較，然后讓學生用手勢表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的長度，最后讓學生填空：課桌寬大約是60（），一塊橡皮的長大約是30（），數學教本的長度大約是2（）。通過這樣的比較，學生對這些長度單位就有了比較深刻的印象。同樣，用比較的方法教學面積單位、體積單位，也會取得很好的教學效果。

二、運用比較法，理解內涵，掌握概念

為了使學生正確地理解和掌握概念，就要揭示概念的本質屬性，充分理解其內涵，而對事物進行比較是揭示概念本質屬性和理解內涵的重要學習方法。如教學“整除”這個概念時，讓學生對一些除法算式進行比較，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道單有“商是整數而沒有余數”這個條件，還不能判斷一個數能被另一個數整除，還必須有“被除數和除數都是整數”這個條件才行。通過比較，學生正確地理解了整除的含義。再如教學“求比值”和“化簡比”，要從意義、方法和結果三方面進行比較，“求比值”也就是求商，而“化簡比”是把一個比較復雜的比化成一個最簡單的整數比；“求比值”和“化簡比”的方法可以通用，都可以用除法計算；“求比值”和“化簡比”的結果是不同的，“求比值”的結果是一個“數”，可以寫成分數、小數，有時能寫成整數，而“化簡比”的結果則是一個“比”，可以寫成真分數或假分數的形式，但是不能寫成帶分數、小數或整數。比較以后，學生才能充分理解“求比值”和“化簡比”的內涵。

三、運用比較法，新舊知識聯系，形成知識網絡

在教學一個新知識點時，如果能與以往學過的舊知識相聯系，進行比較，弄清新舊知識的聯系與區別，不但容易學會新知，還鞏固了舊知，并且使知識系統化，形成知識網絡。如教學“比的意義”時，將“比”“除法”和“分數”進行比較，可列表如下：通過這樣比較，使學生明確比和除法分數的關系和區別，把比、除法、分數聯系起來，形成知識網，為后面學習“比”的應用打下基礎。

四、運用比較法，區別應用題的結構

正確選擇解法在應用題的教學中，經常應用比較的方法來區別應用題的結構，以便分析數量關系，選擇正確的解題方法。如低年級的加減法應用題、乘除法應用題、高年級的分數乘除法應用題。如教學應用題：（1）池塘里有12只鴨和4只鵝，鵝的只數是鴨的幾分之幾？（2）池塘里有12只鴨，鵝的只數是鴨的13，池塘里有多少只鵝？（3）池塘里有4只鵝，正好是鴨的只數的13，池塘里有多少只鴨？通過比較，學生知道了應用題在結構上的相同點和不同點，使他們懂得第（1）題，根據分數的意義和分數與除法的關系，要用除法來計算。第（2）題，根據一個數乘分數的意義，用乘法計算。第（3）題，根據一個數乘分數的意義，列方程解答，或根據除法的意義直接用除法計算。通過比較，使學生了解了分數乘除法應用題的結構和思路的異同，從而能正確解答分數乘除法應用題。

五、對比練習，異同結合

學習新課之后，不僅要集中練習所學的內容，還要練以前學過的內容，特別要練習與新學內容相似而容易混淆的題目，使學生既能深刻理解新的知識，又能掌握新舊知識之間的“同”和“異”，區別應用。如練習“歸一應用題”，應帶練“歸總應用題”；學完“連除應用題”后的練習，也應有“連乘應用題”的題目。通過比較它們的解題思路，明確它們之間的相互聯系，可使各個零碎的知識串成線、聯成網，從而構建起完整的知識結構。這樣的對比練習也便于學生辨別和鞏固所學的數學知識，培養學生分析問題、靈活運用知識解決實際問題的能力。

篇（4）

在除法運算中，被除數與除數在除法運算中，是不可回避的兩個重要概念。在除法算式中，由于混淆這兩個概念，在實際解題時常常出現錯誤。學生為什么會對看似簡單的概念分辯不清呢？怎樣防止學生混淆這些概念呢？筆者以下談談自己的粗淺認識。

一、對比除法與減法，重視類比思想在辨析概念中的作用

小學數學中的概念是小學數學的基本知識，必須讓學生理解和掌握。然而許多概念的含義相近，本質屬性又有所不同，既有共同點又有不同點，學生往往容易混淆。學法之前，學生對減法已經有了比較全面的認識，對被減數與減數這兩個重要的概念能夠理解并加以辨別。學生在大腦中已經建立起“被減數-減數=差”關系的數學模型結構，甚至部分學生在回答三者的關系時是脫口而出，學生對被減數與減數的認識，會遷移到日后對被除數與除數的認識，所以這是一個重要的時間節點，要讓學生真正理解被減數與減數的概念。在學法時，隨意列出一個減法算式，讓學生辨別出減法中被減數與減數，目的是把被除數與被減數、除數與減數建立起對應的關系，加強學生理解被除數與除數的關系是作用與被作用的關系。被除數是在除數這個條件的作用下，平均分后產生的結果。

二、提高學生的綜合素質，建立數學與其他學科之間的聯系

小學數學的學習不是孤立的，學生的理解能力直接或間接地影響到學生數學學習的程度，因此，我們要重視學生的語文閱讀水平，對學生理解概念以及理解數量之間的關系帶來極大地促進作用。前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基曾經說過：“學生學習越感到困難，他在腦力勞動中遇到的困難越多，他就越需要多閱讀。（《給教師的建議》第51頁）”。在語文教學中，把字句與被字句是語文的基本常識，如果學生對被字句中的有關知識掌握得好，也會幫助學生認識被除數與除數之間的關系，加深對被除數與除數的概念的理解。例如，漢語中對被字句的解釋：被字句是現代漢語的一種句式，用介詞“被”構成的表示被動意義的句子。其陳述的形式一般是：甲被乙怎么樣。被字句的成立條件：（1）主語是受事，“被”字后的名詞是施事。（2）動詞必須是及物動詞。有時“被”字直接用在動詞之前，即施事者省略，過去被字句一般用于表達不幸或不愉快的遭遇，后來突破了這種局限。口語中常用“叫”“讓”“給”替代“被”，仍稱被字句。例如，張三被李四打傷了；小飛的衣服被雨水淋濕了等。學生在學法時，如果有了這些知識基礎，會對理解除數與被除數的兩個抽象概念起到潛移默化的作用。

三、揭示概念的本質屬性，深刻理解概念的內涵

在四則運算中，除法的定義是：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫做除法。換句話說，若ab=c（b≠0），已知a（或b）與c，求b（或a），這種運算就是除法，用算式表示成：c÷a（或c÷b），其中，c叫做被除數，a（或b）叫做除數，運算的結果b（或a）叫做商。

如果在除法中被動地讓學生從除法算式中，死記硬背“÷”前的的數是被除數，“÷”后的數是除數，只是從表面上認識概念，達不到理解除法概念的的本質，日后可能會造成在認識被除數與除數兩個概念時的隱患。所以，對除法要有深刻的理解，強調除法是建立在平均分的基礎上，除法有兩種情況：一是把一個數量等分成若干份數，求一份是多少；一是把一個數量分成若干份，知道其中一份是多少，求分成的份數。這樣全面、系統、完整地學法，理解了概念的本質屬性，厘清了被除數與除數之間的關系，增強了對概念的辨析能力。

還應該注意，在學法時，不能脫離乘法，單純地為學法而學習，除法的概念是建立在乘法的基礎上。我們常說，除法是乘法的逆運算。為更進一步地增強對除法的認識，教學中要抓住除法與乘法之間的關系，用連線的方法把除法算式中的被除數、除數與乘法中的因數連接起來，讓學生充分感受到除法中的被除數、除數與乘法算式中的的因數的對應關系，把新舊知識連點成線、穿線結網，從根本上理解除法中被除數與除數的概念內涵。

篇（5）

中考數學復習提綱數學中考復習提綱(實數與數軸)

1、數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。

原點、正方向、單位長度是數軸的三要素。

2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一個實數都可以用數軸上的唯一的點來表示。

實數和數軸上的點是一一對應的關系。二、實數大小的比較

1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

2、正數大于0;

負數小于0;正數大于一切負數;兩個負數絕對值大的反而小。 三、實數的運算 1、加法：

(1)同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加;

(2)異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結合律。2、減法：減去一個數等于加上這個數的相反數。

3、乘法：(1)兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

(2)n個實數相乘，有一個因數為0，積就為0;若n個非0的實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正;當負因數為奇數個時，積為負。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 (2)除以一個數等于乘以這個數的倒數。(3)0除以任何數都等于0，0不能做被除數。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。

無論何種運算，都要注意先定符號后運算。

數學中考復習提綱(有效數字和科學記數法)

1、科學記數法：設N>0，則N= a×10(其中1≤a

2、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數，到精確到的數位為止，所有的數字，叫做這個數的有效數字。

精確度的形式有兩種：(1)精確到那一位;(2)保留幾個有效數字。

數學中考復習提綱(分式方程)

(1)分式方程的解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。特殊方法：換元法。

(2)檢驗方法：一般把求得的未知數的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程的根;使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數的值代入原方程檢驗。四、方程組

1、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：?a1x?b1y?c1(a1,a2,b1,b2,c1,c2不全為0) 解法：代入消遠法和加減消元法a2x?b2y?c2

解的個數：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數的解。 一、一元二次方程的解法 1、(1)用直接開方法解;(2)用公式法;(3)用因式分解法2、(1);先化為一般形式，再用公式法解;(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 二、分式方程的解法：分析：(1)用去分母的方法;(2)用換元法 解：略三、根的判別式及根與系數的關系 四、方程組 1分析：(1)用加減消元法消x較簡單;(2)應該先用加減消元法消去y，變成二元一次方程組，較易求解。[規律總結]加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數的系數最簡單就先消那個未知數。 1.在解方程2A.2xC.2x

2分析：(1)可用代入消遠法，也可用根與系數的關系來求解;(2)要先把第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。[規律總結]對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程組成兩個方程組來求解。

一、列方程(組)解應用題的一般步驟

1、審題：2、設未知數;3、找出相等關系，列方程(組);4、解方程(組);5、檢驗，作答;

數學中考復習提綱(列方程(組)解應用題常見類型題及其等量關系)

1、工程問題

(1)基本工作量的關系：工作量=工作效率×工作時間

(2)常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

(3)注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題 2、行程問題

(1)基本量之間的關系：路程=速度×時間 (2)常見等量關系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及問題(設甲速度快)：

同時不同地：甲的時間=乙的時間;甲走的路程–乙走的路程=原來甲、乙相距路程 同地不同時：甲的時間=乙的時間–時間差;甲的路程=乙的路程3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度; 逆流速度=船在靜水中的速度–水流速度 4、增長率問題：

常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量;增長的量=原來的量×(1+增長率); 5、數字問題：

基本量之間的關系：三位數=個位上的數+十位上的數×10+百位上的數×100

數學中考復習提綱(不等式及不等式組)

一、不等式與不等式的性質

1、不等式的性質：

(l)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數，不等號方向不改變，如a> b， c為實數?a+c>b+c

(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號方向不變，如a>b， c>0?ac>bc。(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號方向改變，如a>b，c

1、能使一個不等式(組)成立的未知數的一個值叫做這個不等式(組)的一個解。

不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式(組)的解集的過程叫做解不等式(組)。

三、不等式(組)的類型及解法 1、一元一次不等式：

(l)解法：

與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊同乘以(或除以)一個負數時，不等號方向要改變。 2、一元一次不等式組：

(l)概念：含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。注：求不等式組的解集一般借助數軸求解較方便。

數學中考復習提綱(圖形與變換)

知識要點

1.軸對稱(軸對稱、折疊)

(1) 軸對稱和軸對稱圖形的區別與聯系

區別：軸對稱是指兩個圖形間的位置關系;軸對稱圖形是指一個具有特殊形狀的圖形。 聯系：

(a) 它們都延某一直線折疊,圖形重合

(b) 如果把兩個軸對稱圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形;反過來,把軸對稱圖形的兩部分當作兩個圖形,那

么這兩個圖形成軸對稱。

(2) 線段的垂直平分線及其性質

性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等

與一條線段的兩個端點舉例相等的點在這條線段的垂直平分線上。 (3) 軸對稱的性質：

(a) 如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應點連線的線段垂直平分線; (b)軸對稱圖形的對稱軸是任意一對對應點連線的線段垂直平分線; (c) 軸對稱的兩個圖形全等

(d) 軸對稱的兩個圖形，他們對應線段或其延長線相交，交點在對稱軸上。

(4) 軸對稱變換

考點：利用坐標表示軸對稱(做關于坐標軸及原點的對稱點)解析：點(x，y)關于x軸對稱的點的坐標為(x，-y);關于y軸對稱的點的坐標為(-x，y)，關于原點對稱的點的坐標為(-x，-y)歸納：關于誰對稱誰不變，關于原點對稱全改變

(5) 軸對稱的圖形：等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，拋物線，雙曲線，圓 2.中心對稱(中心對稱、旋轉) (1)中心對稱及中心對稱圖形

(a)關于中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線經過對稱中心，而且被對稱中心平分; (b)關于中心對稱的兩個圖形全等。

(2) 中心對稱圖形：線段、相交線、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓 (3) 中心對稱與軸對稱的區別聯系

(a) 區別：關于直線對稱和關于點對稱 (b) 聯系：都是旋轉180°得到的 (4) 圖形的旋轉

(a) 圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫旋轉，點O叫旋轉中心，轉動的角叫旋轉角。

(b) 圖形在旋轉有旋轉中心和旋轉角決定，旋轉中心在旋轉過程中式不動的，旋轉不改變圖形的大小和形狀。 (c)特征：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前后的圖形全等。 (d) 旋轉作圖步驟

(i) 根據題意確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角 (ii) 找出圖形的關鍵點 (iii)連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到這些關鍵點的 對應點; (iv) 次連接這些關鍵點的對應點，得到旋轉后的圖形。 3.位似

4.投影與視圖

投影 (1)投影：用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影：有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影(3)中心投影：由同一點(點光源發出的光線)形成的投影叫做中心投影(4)正投影：投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影。

數學中考復習提綱(三視圖)

(1)三視圖：是指觀測者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。

將人的視線規定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所見物體的輪廓用正投影法繪制出來該圖形稱為視圖。一個物體有六個視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖——能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物體的左面形狀，三視圖就是主視

中考數學復習建議認真學習，研究教材，研究考試，把握老師教學的要求，了解老師教學中的重點和學生學習中的難點，提高自身的業務素養。另外也要根據當前教改的要求、學生的實際，研究老師教學方法，達到提高老師教學效率的目的。

篇（6）

1．根據算式的讀法來敘述的。

如：6除24得多少？23減去3與4的積，差是多少？

2．根據算式中各部分的名稱來敘述的。

如：被減數是65，減數是34，差是多少？兩個因數分別是0.45與3.5，積是多少？

3．根據四則運算的要求來敘述的。

如：6個105的和是多少？5.9除以3.94加上6.6的積，商是多少？

4．根據上述幾個方面綜合來敘述的。

如：什么數加上35是150？450加上135除以3的商乘以40的積，和是多少？

二、強化基礎訓練，扎實抓好文字題教學的幾個關鍵環節

1．扎實訓練，使學生學會運用準確的數學語言來讀式題。

如（52+48）×6，有的學生往往讀成“括號52加上48括號，乘以6”，這就沒有準確地使用數學語言，應該讀成“52與48的和乘以6，積是多少”。只有少數學生能夠準確地讀出式題，并準確地把文字題轉化為正確的算式。

對于比較復雜的一些四則混合運算式題，一次讀不完的，也可分為幾個層次來讀。如［5.3-1.6×（4.5-3.5）］÷7.4，可以讀成：①中括號內的運算結果除以7.4，商是多少？②中括號內，5.3減去1.6乘以小括號內運算結果的積，差是多少？③小括號內，4.5減去3.5的差是多少？

2．加強引導，使學生學會用多種方法來讀題。

在教學中，教師可讓學生從計算意義、各部分名稱、順逆順序上用準確的數學語言讀式題，使學生能夠熟練地將文字題轉化為式題，將式題與文字題融為一體。如“375÷25”，從算式的意義去讀“把375平均分成25分，每份是多少”“375里包含有多少個25”“375是25的多少倍”；從各部分名稱上去讀“被除數是375，除數是25，得數是多少”“除數是25，被除數是375，商是多少”“兩個因素的積是375，其中一個因數是25，求另一個因數”；從順逆關系上去讀“375除以25，商是多少”“25除375得多少”……

3．分類指導，使學生學會分析文字題的縮句方法。

文字題也跟應用題一樣，要使學生學會分析題意的方法。如教學生“看尾、縮句、抓關鍵”的方法，可讓學生先看文字題末尾要求的是什么，抓住關鍵詞語縮句寫出關系式，再列式計算。如：“54除以0.7的商，加上0.6與5的積，和是多少？”先看尾，確定是求“和”，再抓住“商”“積”這兩個關鍵詞，縮句為“商加上積，和是多少”，寫出關系式“商+積=？”。然后再找出是哪兩個數的商和哪兩個數的積，最后列式為54÷0.7+0.6×5。教學中，教師還可以讓學生進行將應用題縮寫成文字題的訓練，使學生進一步認識應用題與文字題的聯系和區別。如“食堂原有大米65公斤，又買來8袋大米，每袋25公斤。食堂一共有大米多少公斤”，可縮寫成“65加上25與8的積，和是多少”。

4．多方點撥，使學生通過比較，進一步認識、理解并熟練掌握運算順序。

我們可以編一些數字相同、運算順序不同、計算結果也不相同的四則混合運算式題，讓學生在對具體題目的辨析中，進一步理解并熟練掌握運算順序。如把“5.9÷（3.94+6.86）×0.8”的運算順序改變為：①先算除，再算加，最后算乘，讓學生列出算式（5.9÷3.94+6.86）×0.8。②先算乘，再算加，最后算除，讓學生列出算式5.9÷（3.94+6.86×0.8）。③先算加，再算乘，最后算除，讓學生列出算式5.9÷[（3.94+6.86）×0.8]。

三、注重指導，教給學生解答文字題的思考方法

1．一般情況下，可以引導學生順著題目的敘述方式來思考列式。

如：“6.54減去8與1.7的積，差是多少？”可以引導學生這樣想：從6.54里面減去兩個數的積，所以列式為6.54-8×1.7。再如：“6.54與0.27的差乘以它們的和，結果是多少？”可以讓學生這樣想：兩個數的差乘以兩個數的和，這兩個數是6.54與0.27，所以列式為（6.54-0.27）×（6.54+0.27）。

篇（7）

新改版的人教課標版五年級上第三單元在學習了用四舍五入法求商的近似值后，安排了例10（1）小強的媽媽要將2.5kg香油分裝在一些玻璃瓶里，每個瓶子最多可裝0.4kg。需要準備幾個瓶子？（2）王阿姨用一根25m長的紅絲帶包裝禮盒。每個禮盒要用1.5m長的絲帶，這些紅絲帶可以包裝多少個禮盒？根據生活需要，一道題用“進一法”求近似值，一道題用“去尾法”求近似值。教學中首先要讓學生清楚這兩種方法與“四舍五入”的區別，第（1）小題多數學生都會列式計算：2.5÷0.4=6.25（個），有些學生知道6個不夠用，用6+1=7（個），有些學生約等于6個，有些學生就等于6.25個。這時可展開討論，讓學生說說哪種答案正確，為什么，最終大家都能理解6個瓶子不夠裝，剩下的油不能扔掉，所以需要多準備一個瓶子。但剩下多少油呢？部分學生比較困惑，有些學生認為剩下0.25千克的油，如何讓學生理解到底剩多少油呢？我認為可以用以下兩種方法：

一種方法可以讓學生算算6個瓶子能裝多少kg的油，用6×0.4=2.4kg，再用2.5-2.4=0.1kg。另一種可以借助學生剛才的除法算式，觀察 余下的0.1才是香油的重量，而不是余下的

0.25kg。同樣的方法第（2）小題中，25÷1.5=16.666…的含義是不夠17個包裝盒，到底余下多少紅絲帶可以模仿第（1）小題求得。

余數給學生帶來的困惑還不止這些，這不禁讓我想起在蘇州大學培訓時徐文斌教授給我們講的一道有余數的問題：在教授三年級下冊“除法”練習課時，補充了“612÷2÷4”一題。同學們的解題方法歸納起來有以下三種：

[解法一] 612÷2÷4=306÷4=76……2

[解法二] 612÷2÷4=612÷8=76……4

[解法三] 612÷2÷4=153÷2=76……1

同樣一道題，為什么會有不同答案呢？我一時茫然，按說只是不同的解題方法，答案應該是一樣的呀，為什么會出現余數不同的結果呢？以前似乎沒有遇到過類似問題，也沒有認真思考過，聽徐文斌教授講完才知道，余數是相對于除數而言的，這三個算式余數都是除數的一半，化成分數都是1/2，或小數0.5，其實結果相同，只是表達形式不同而已。如果改成應用題可以更好地幫學生理解余數的意義。612個同學，按三個算式的分法來分，最后余幾人是否相同呢？按第一種分法，先平均分成2大組，每組再平均分成4小組，每大組余2人，2大組共余4人。而按照第二種分法，直接分成8組，共余4人。按照第三種分法，先平均分成4大組，每一大組再平均分成2小組時都余1人，4大組共余4人。看來總共余4是一樣的。關鍵是要分清余數是相對除數幾而言的，這點非常重要，我們再教學有關余數問題時應引起老師們的注意，除了讓學生認識到“余數比除數小”以外，還應該讓學生認識到這樣一個問題，余數與相應的除數有關，余數隨著除數的變化而變化，讓學生真正理解余數的本質。

余數問題在小學數學中非常重要且應用廣泛，余數有如下一些重要性質需要我們了解：（其中a，b，c均為自然數）

（1）余數小于除數。

（2）被除數=除數×商+余數；除數=（被除數-余數）÷商；商=（被除數-余數）÷除數。

（3）如果a，b除以c的余數相同，那么a與b的差能被c整除。例如，20與14除以3的余數都是2，所以20-14能被3整除。

（4）a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）。例如，28，21除以5的余數分別是3和1，所以（28+21）除以5的余數等于3+1=4。注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數。例如，28，24除以5的余數分別是3和4，所以（28+24）除以5的余數等于（3+4）除以5的余數。

（5）a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）。例如，28，21除以5的余數分別是3和1，所以（28×21）除以5的余數等于3×1=3。注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以c的余數。例如，28，24除以5的余數分別是3和4，所以（28×24）除以5的余數等于（3×4）除以5的余數。

運用這些性質，可以巧解很多題目，下面我僅舉三道實例：

例1.5122除以一個兩位數得到的余數是66，求這個兩位數。

分析與解：由性質（2）知，除數×商=被除數-余數。5122-66=5056，5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到5056=26×79。由性質（1）知，除數應大于66，再由除數是兩位數，得到除數在67～99之間，符合題意的5056的約數只有79，所以這個兩位數是79。

例2.有一個整數，用它去除70，110，160得到的三個余數之和是50。求這個數。

分析與解：先由題目條件，求出這個數的大致范圍。因為50÷3=16……2，所以三個余數中至少有一個大于16，推知除數大于16。由三個余數之和是50知，除數不應大于70，所以除數在17～70之間。由題意知（7+110+160）-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數有29和58。因為110÷58=1……52>50，所以58不合題意。所求整數是29。

例3.求478×296×351除以17的余數。

分析與解：先求出乘積再求余數，計算量較大。根據性質（5），可先分別計算出各因數除以17的余數，再求余數之積除以17的余數。478，296，351除以17的余數分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余數是1。

篇（8）

在小學數學教學工作中，不少小學生對分數除法的實質及運用理解不透，導致數學學習困難，拉大了數學成績的差距。如何通過教學工作讓學生真正理解并掌握分數除法的知識呢？下面，我們就以小學數學分數除法教學工作中常見的分月餅的教學為例，分析設計教學步驟和內容，以期達到最好的教學效果。

一、明確教學內容，目標和重點

分數與除法是小學數學教學中的一個重點，同時也是較難為學生所理解的一個教學難點，這部分內容承接了之前有關分數的意義、分數單位等知識，進一步要求學生了解分數與除法的關系內涵，并能夠根據分數與除法的關系掌握如何計算一個數是另一個數的幾分之幾的實際問題。學生在真正掌握了這部分內容后，能夠進一步了解分數的意義。根據具體教學內容，我們可以確定以下教學目標：（1）引導學生理解并掌握分數與除法的關系，了解一個數除以分數的計算法則，學會用分數表示兩個數相除的商。（2）通過實際教學道具操作，使學生理解3的就是。培養學生的分析、推理能力。教學重點和難點：3的與1的的含義。

二、教學設計及具體難點解析

1.從簡入難地引入問題

利用課件出示一塊餅，提問：把這一個月餅平均分給四個人，每個人能分到多少？引導學生說出每份是四分之一塊，板書出1÷4和，并讓學生重點了解除法算式和分數表示的區別。繼續提問：這里的是把誰看作了那個整體1？小組討論，分析，回答問題。讓大家觀察板書，概括分數與除法的關系，分數的分子相當于除法中的被除數，分母相當于除法中的除數。明白除法是一種運算，分數則是具體的數量。

2.提出進一步的問題

如果把3個月餅平均分成4份，每份是這些月餅的四分之一，每一份是多少塊？提問，板書出算式：3÷4。拿出圓形紙板，以小組為單位，每組四張，讓學生親自剪一剪，再拼到一起看一看，看看結果到底是什么？小組合作、交流，提問：幾種分法，每個人能分多少？學生回答并用紙板演示過程。第一種分法：按照3個月餅，均分4份，每人一份，把每個圓形紙板各分為4等份，然后每個紙板拿其中的一份，三份拼到一起，再與完整的紙板對比，是完整紙板的。第二種分法：把三張圓形紙板疊放到一起，同時剪成4等份，拿出其中重疊的一份，拼到一起，再與完整的紙板對比，占完整紙板的。對兩種方法做出比較，將兩種方法下的紙板拼接好，放到一起進行對比，發現是一樣大的，都是整塊紙板的，也就是說，每人能分到個餅。

3.帶領學生一起歸納總結兩種分法的區別與聯系，概括分數與除法的關系

要讓學生明白，按照兩種不同的分法，3個月餅的就是個餅，而1個月餅的也是個餅，即：3的與1的相等。使學生體會到分數的表示具體數量的含義。

4.課堂內容結束時進行總結，鞏固練習，課后拓展和延伸

利用實際生活中的各種分數和除法問題，帶領學生進行多個具體問題的分析計算。課堂內容結束后，為學生布置適量的課后鞏固練習，并鼓勵大家思考一個數除以分數，如果這個數是分數而不是整數怎樣計算。

三、教學心得體會

從事教學工作的教師要具備足夠的耐心和責任心，認真進行備課及課堂教學。在教學設計時，要盡可能多地增加直觀演示，利用各種教學道具，課件、圖片等直觀地對教學內容進行演示。在進行新知識內容的講解時，要合理地提出疑問，巧妙地進行引導，結束講解時，要及時全面地對所有知識點進行歸納總結，帶領學生梳理知識脈絡。同時，還應努力培養學生發現出問題的意識與能力。學習不單單是對已有知識的熟練掌握，更是發現新問題并努力解決的過程，所以，努力培養學生的創新精神，也是我們日常的教學工作關鍵。例如，在上面的實例中，我們不但要為學生講清楚課本知識的內涵，更要鼓勵大家積極地觀察身邊的實際生活，并進行發散思維，思考學習內容中的新問題。

參考文獻：

篇（9）

小學數學是重要的基礎課程之一，在數學教學過程中，合理的運用比較法教學，可以讓學生在輕松的學習環境、氛圍中很快的掌握知識，突出教學重點，突破教學難點，培養學生的辨別能力，有助于教學質量的提高。

一、通過比較，認識概念

在數學教學中，我們可以引導學生對新舊知識進行比較，探尋新舊知識的相同與不同之處，找出他們內在的聯系，將新舊知識相結合，使學生能夠主動尋找新的知識點，認識并掌握概念的本質屬性。

如在教學“數的整除”時，由于整除這一概念出現在本章之前，而且貫穿于整章內容之中，如果沒有理解整除的概念，下面的內容就無法進行教學，而且概念本身也比較抽象，學生不易理解。因此，可以讓學生首先口算下列題目：（1）56÷8=7（2）7÷5=1.4（3）0.6÷2=0.3（4）27÷3=9（5）28÷4=7（6）10÷3=3.333……然后讓學生觀察題中的被除數、除數和商的特征，找出這些算式中哪些是可以除盡的？哪些是除不盡的？在除盡的算式里被除數、除數和商都是整數的有哪些？通過逐層揭示，得出整除的本質屬性――數a除以數b，除得的商正好是整數而且沒有余數，我們就說數a能被b整除，從而使學生復習了除盡和除不盡的概念，知曉了他們與整除三者之間的聯系和區別。

二、通過比較，分清概念

在教學“比的概念”時，因為教材用“除”來定義“比”，因此，學生容易把“比”“除”“分數”概念等同。筆者在教學完“比”的定義后，設計了如下判斷題：

1.因為兩個數相除又叫做兩個數的“比”，所以，比式也是除式。（ ）

2.因為比可以寫成分數形式，所以比也是分數。（ ）

在學生思維達到憤悱狀態時，再讓學生討論比較：

1.a÷b，a：b，a/b（b≠0）各表示什么意義？

2.在計算a÷b這個式子時，可以寫成a：b嗎？

3.一個長方形面積是8.1平方分米，長5.4分米，寫出它的面積和長的比，并簡化。

通過以上具體題目的討論，學生認識到：比、除和分數各自表示的意義不同，除式的含義較寬，比號不能代替除號，分數可帶單位，比值不帶單位，從而對“比”這個概念認識得更加清楚。

三、通過比較，促進遷移

學生通過比較可以發現不同知識的共同點和內在聯系，從而促進知識的遷移，加深聯系。因此，在教學過程中，通過比較找出知識的共同點，這對于學生系統地掌握這些既有區別又有聯系的各部分知識，具有很大的幫助作用。如教學“求一個數是另一個數的幾分之幾的應用題”時，同整數中的“求一個數是另一個數的幾倍的應用題”比較，使學生明確數中的“幾倍”與分數中的“幾分之幾”都是表示一個數與另一個數的倍數關系，只是倍數大于“1”，我們習慣說成“幾倍”，如果倍數小于“1”，我們習慣說成“幾分之幾”而已。所以，“求一個數是另一個數的幾分之幾”其解題方法與“求一個數是另一個數的幾倍”是相同的。

四、通過比較，揭示規律

兩數相比，有標準數已知和未知兩種情況，因此就出現了“多幾”用加，“少幾”也要用加的應用題。學生對這樣的應用題，往往根據“多”加“少”減來確定算法，造成錯誤。教學時，我將兩數相比的題目歸成兩類：標準數已知和標準數未知的，引導學生通過比較，揭示它們的規律。凡標準數已知的題目，“多幾”用加，“少幾”用減；而標準數未知的題目，“多幾”反而用減，“少幾”反而用加。這種比較，由特殊上升到一般，可把學生對知識的領會引向深化，達到應有的水平。

五、通過比較，靈活解題

學生能從多角度、多側面去思考問題，并能通過比較從中找出解題的最佳途徑，是思維靈活性和創造性的表現。如“某工廠生產一批零件，原計劃每天生產500個，6天可以完成，結果只用5天完成，實際每天比原計劃多生產多少個零件？”

解法1：

計劃生產零件的總數：500×6 =3000（個）

實際每天生產零件的個數：3000÷5=600（個）

實際每天比原計劃多生產的個數：600-500=100（個）

解法2：

設實際每天比原計劃多生產x個。

列方程，得500×5+5x=500×6

解得 x =100

解法3：

實際生產只需5天，即比原計劃提前一天，這樣若將原計劃一天生產的任務分攤給其他各天，就正好是實際比原計劃多生產零件的個數。

即 500÷ 5 =100（個）

根據以上三種解法，引導學生分析比較，得出第三種解法既簡明，又有創造性，開拓了學生的思維。

六、通過比較，認識圖形

在學習各種空間圖形時，我認為用比較法，效果也比較好。比如，長方形和正方形的區別，梯形與多邊形的區別……從而鞏固對它們表象的認識。同時，在學習計算圖形面積和體積公式的時候，我也常常采用這種方法，先出示前面學過的圖形的面積和體積，回憶它的計算公式，然后引起探究欲望，“那今天我們這種圖形的面積又該怎么計算呢？請根據你對這種圖形的認識，利用前面公式的推理方法，自己先想一想，然后在小組內交流一下。”這樣學生在探究的過程中就有了基礎，推理出公式以后，兩個公式再進行比較，從而讓學生記憶更牢固。

【結語】：

總之，在現代數學教學中，比較法是一種較為常用的方法，在教學中，靈活運用比較法教學，對于培養學生學習興趣，鞏固舊知識，更好地學習新知識，以及提高學生的思維能力和解題能力，都有很大的幫助。教師要熟練掌握比較教學的比較教學方法，幫助學生更好的培養學生的自主學習的興趣，更好的掌握并運用數學知識，以完成教學任務，達到預期的教學目標。

參考文獻：

篇（10）

演繹推理具有“三段論”的形式，它是由大前提（一般的判斷）、小前提（特殊的判斷）、結論（最后的判斷）這三個判斷組成的。例如，一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數（大前提）；258各位上的數字和15是3的倍數（小前提）；所以，258是3的倍數（結論）。

2 合情推理，是從特殊到一般的思想，通過研究一些具體、特殊的情況，達到認識一般規律的目的，它是人們認識未知的一種重要思想。歸納推理就是一種從特殊到一般的推理，它是一種合情推理，是在觀察分析問題的幾個簡單、特殊情況，從中總結規律，發現一般問題的解答的思想方法。

例如，六年級下冊第94頁第3題，（1）多邊形內角和與它的邊數有什么關系？（2）一個九邊形的內角和是多少度？通過學生思考三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和，由三角形內角和是180°×（3—2），四邊形內角和是180°×（4—2），五邊形內角和是180°×（5—2），從中發現多邊形內角和與它邊數的關系，推出規律：內角和的度數=180°×（邊數—2）。這是一種不完全歸納推理，不完全歸納推理是在研究某個事物或現象的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎上，對這一事物或現象作出一般結論的。不完全歸納推理所得到的結論可能是正確的，也可能是錯誤的。例如，由4是偶數，4也是合數；6是偶數，6也是合數；8是偶數，8也是合數；推得一切偶數都是合數，這個結論就不正確。雖然不完全歸納推理得到的結論可能正確也可能錯誤，但是它能幫助人們迅速地去發現事物的規律，提供研究的線索和方向。

有時在解決問題中，從特殊到一般和從一般到特殊這兩種思想方法需要結合使用。

例如，3586除以5的余數是多少？如果你一心一意想把586個3連乘，企圖得到它們的積，再把積除以5求余數，盡管你的整數乘法基本功很好，也是難以求得答案的，因為這是一個天文數字。正確的思考方法是：1.先把問題一般化：問3n（n表示自然數）除以5的余數是什么？如果能夠解答這個一般問題，那么當n=586時，便是本題的答案。2.使用歸納法，從n=1，2，3，……入手，探求一般問題的結論。當，n=1時，31=3，除以5的余數是3；當n=2時，32=9，除以5的余數是4；當n=3時，33=27，除以5的余數是2；當n=4時，34=81，除以5的余數是1；當n=5時，35=243，除以5的余數是3；當n=6時，36=729，除以5的余數是4……從上面可以看出，當，n從1開始按順序取值時，3n除以5的余數依次以3、4、2、1周期反復出現。這就是上述一般問題的解答。3.使用演繹法，從一般規律求當n=586時本題的解答，因為586被4除余2，所以3586除以5的余數是4。

3 類比思想，從特殊到特殊的思想。人們研究魚為什么在水中能自由浮沉，設計發明了潛水艇；從雞蛋殼的結構，發明了薄殼建筑等，這些都是人類模仿生物特性創造發明的成果，使用的思想方法就是類比思想。

類比思想是小學數學常用到的思維方法。例如，由整數的運算定律遷移到小數、分數的運算定律，解決問題中數量關系相近的問題的類比等。小學數學中的類比推理除了能有效地促進知識的遷移，還能進一步加強新舊知識間的聯系，引導學生從知識點形成知識鏈，并進一步形成知識面，完成知識的系統化。例如，整數四則運算與小數四則運算的類比，還能幫助學生有效地掌握運算法則。

類比推理并不是論證，由類比推理所引出的結論并不一定是正確的，例如由“a×3=b×3，則a=b”；類比推出“a×0=b×0，則a=b”，后者就不一定正確，但是類比思想在科學假設中常常能起到很大的作用。

二、從數學間的區別和轉化的角度看

1 分類的思想。分類是一種重要的數學思想，分類思想是根據對象本質屬性的共同點和差異點，將屬性對象按一定的秩序區分為不同種類的思想，它以比較為基礎，能夠揭示數學對象之間的聯系與區別，有助于更準確完整地認識事物。學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類（整數、小數、分數：奇數、偶數；質數、合數、1等）、圖形的分類（角的分類、三角形的分類等）。在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解分類標準是多樣的，不同的分類標準會有不同的分類結果。例如，《三角形的分類》一課。制定教學目標時，一方面要求讓學生牢固掌握三角形角的特征，另一方面還應重點讓學生去感悟抽象或分類的數學思想。教學的具體實施，更要時刻圍繞著這樣的目標去展開。比如，當學生不能正確分類時，可以引導學生去觀察角的特征，使分類得以進行：當學生出現將三角形按角分成直角三角形和沒有直角的三角形（斜三角形）兩類或直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三類時，則可以引導學生去對比其中的聯系，使學生認識鈍角三角形、銳角三角形都是在斜三角形基礎上的細化分類，都完全符合概念分類的原則，都完整地展現了分類的結果。這樣不僅直觀體現了分類的思想，還能夠有效地支撐學生進一步明確概念之間的邏輯關系。

學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決數學問題。例如，等腰三角形中有一個角是80°，它的另外兩個角分別是多少度？就要將問題分兩類未思考：①當頂角為80°時，另外兩個角分別為50°，50°。（②當底角為80°時，另外兩個角分別為80°，20°。

2 化歸的思想。在許多情況中，我們遇到的數學問題所蘊含的模式難以檢索到相關的數學知識，就常常需要將原有的數學問題進行一定的轉化，這在數學上稱為化歸，化歸也是普遍使用的一種數學思想。其基本思想就是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。其基本方法是：在考察待解決的問題時，能意識到與對象有內在聯系的其他諸多對象，將原對象化歸為一個較為熟悉的另一個對象，最終達到對原問題的解答。

化歸思想作為最基本的數學思想之一，在學習數學和解決數學問題的過程中無所不在。例如，六年級上冊的“雞兔同籠”的教學。由于“雞兔同籠”問題解決的特殊性，許多問題都可以化歸為“雞兔同籠”問題。人教版教材“做一做”和練習中安排了類似的一些習題，讓學生拓寬對“雞兔同籠”問題的認識，讓學生進一步體會到這類問題在日常生活中的應用。同時這些問題通過轉化，都可以將其歸結為已經解決的“雞兔同籠”問題類型，從而進一步求解，這就是化歸。

在計算以及解決問題時，有時就需要把條件進行變更、化歸，使原問題變更為一個更容易解決的問題。例如，解決問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年共織布680千米，其中甲車間比去年增產48%，乙車間比去年增產20%。今年甲、乙兩個車間各織布多少千米？這道題中兩個百分率所表示的單位1不同，難以下手進行直接轉化。但我們可以將原問題進行非等價變形，使它變成一個比較簡單的問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年甲、乙兩個車間都比去年增產20%。今年共織布多少千米？先解化歸后的問題，今年共織布520×（1+20%）=624（千米）。現在將結果與原問題進行比較，發現比原問題中少織布680—624=56（千米）。而這56千米的差是由于甲車間增產的48%變為20%所致，所以甲車間今年的織布數為56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙車間今年織布數為680—296=384（千米）。非等價變形指化歸前后兩個問題并不等價。但是，當解決了化歸問題之后，就能為解決問題提供解題線索和程序。解題思路是：假設兩個車間多織的百分率相同一找出織布千米數的差與對應百分數的差一求出對應百分數所在單位1的千米數。

篇（11）

筆者以為，設計課前預習“學案”，應包括兩個內容，一是學習要點。依據教學目標，列出一節課的知識要點。教師先示范性地列出一兩點，然后主要由學生在預習時自己歸納。學生在預習過程中歸納出知識要點，這也是一個學習、研究的過程，既能促使學生認真自學，又有利于培養學生閱讀理解的能力。二是問題思考。針對學習目標，結合學習內容，設計1～2個問題，引領學生結合預習的內容思考問題，要求學生寫出答題要點；也可以要求學生“預習本課內容后，提出2～3個小問題”，引領學生自己提出問題、設計問題，這樣有利于促進學生認真研讀教材，培養學生分析歸納問題的能力。

那么，如何設計預習“學案”呢？設計時，需要注意哪些方面呢？

一、 立足學生的認知起點，組織學生回顧舊知

建構主義認為：學生總是帶著已有的知識經驗對新知進行同化和順應，完成內部認知結構的重構。因此，教師在設計“學案”時，不能無視學生已有認知的存在，必須基于學生現實的認知起點，貼近學生認知的最近發展區。因為現在的學生學習知識的渠道不再僅僅是通過教師和教材實現的，他們從父母長輩、課外讀物、媒體、網絡等學習渠道中已經接觸了很多的數學信息，他們已有的知識儲備有時遠遠超出教師的想象，所以許多課本上尚未涉及的知識，學生已經有所了解。但是，這樣的學習是不系統的、模糊的、淺層次的，同時課外知識的積累也無法替代課堂學習，這就意味著學生原有的知識狀況對于教師來說，是一個有待了解而且必須了解的未知數。因此，我設計的“學案”中第一部分一般為“知識準備”，這一部分是在充分了解學生，把握學生的認知起點基礎上，依據數學知識的邏輯結構，引導學生在自學嘗試之前，實現知識的初步建構，組織學生回顧舊知。

例如，在“三位數除以一位數有余數的除法”一課“學案”的“知識準備”部分，先讓學生回顧兩位數除以一位數有余數的除法及三位數除以一位數能整除的除法的計算方法，通過計算13÷6和126÷6回顧，再以127÷6=21……1為例讓學生嘗試計算三位數除以一位數有余數的除法，在計算過程中，通過“導學提示”比較三個算式的異同，讓學生體悟到：三位數除以一位數有余數的除法的計算方法是在復習回顧的兩個問題的基礎上學習的。這樣，通過嘗試學習、閱讀教材，進行認知遷移，形成知識的初步建構。

二、 把握新知的生長點，啟迪學生探究新知

當新舊知識之間有緊密的邏輯關系或所學知識與舊知識之間沒有實質性的變化，只是認知結構中原有知識的特例時，就要以原有知識為生長點，直接由舊到新，即從學生已有的知識和經驗出發。學生自學的過程也是知識系統不斷建構的過程。學生在完成“學案”的過程當中，體現出自學的自主性。一方面，是對知識的自主激活。如，前面提到的“三位數除以一位數有余數的除法”一課的“學案”時，因為要以前面兩位數除以一位數有余數的除法及三位數除以一位數能整除的除法計算為基礎。這就要對以上知識進行激活。另一方面，是對知識的自主探究和自主建構。學生在完成“學案”中，通過 “以前學過的知識，我還會”和“導學提示”的引導，逐步完成對知識的初步建構。

學生對知識的建構過程是一個復雜的動態生成的過程，在這個過程中學生不斷養成閱讀的習慣，動手的習慣以及思考的習慣，逐步形成自學探究的能力，自主完成知識的初步建構。設計“學案“時要幫助學生架起“認知橋梁”， 找準新知識的生長點，使之與學生的認知結構中相應的背景與經驗產生聯系，給學生以前后貫通的感覺，為學生創造主動探究的條件。

三、 找準新、舊知的聯結點、區別點，幫助學生有效建構

數學知識具有較強的系統性，每個新的知識點必然是從與它相關的舊知識點上生發出來的，但是與原有舊知也有所區別，有所不同，不同點也就是新知識的新意所在。數學課堂就是要在新舊知識的聯結點處進行點撥，引導學生由舊知識過渡到新知識，促進知識的遷移。在初步了解新知之后，還要注重引導學生對新舊知識加以對比，突出新舊知識的異同點，從而實現有效的建構。

例如教學蘇教版五年級下冊《分數加減混合運算》時，我在“學案”中設計了準備題：紅山小學校園里有一個48平方米的花園，其中月季花的面積是12平方米，杜鵑花的面積是16平方米，其余是草坪。草坪的面積是多少？課前讓學生解答，并寫出數量關系式。然后讓學生預習例題：紅山小學校園里有一個花園，其中月季花的面積占14，杜鵑花的面積占15，其余是草坪，草坪的面積占幾分之幾？我首先讓學生在“學案”上比較例2和準備題：這兩道題有什么相同之處？有什么不同之處？啟迪學生想到數量關系相同，而給出的數據不一樣；再讓學生在“學案”上用不同方法嘗試解答例2；然后再次比較例2和準備題，這兩道題在解法上有什么相同之處？有什么不同之處？學生通過比較就會發現新知和舊知在數量關系和計算順序上是一樣的，區別在于準備題是整數加減混合運算，而例題是分數加減混合運算，從而實現有效的建構。

學習新知前復習與之相關的舊知或已有經驗，既可以起到搭橋鋪路、分散難點的作用，又可以起到突出新知，有效建構的作用。設計“學案”時，找準新舊知識的聯結點，巧作鋪墊，促成舊知的正遷移，有利于學生準確、快速地建構知識。

四、 立足學生個性差異點，鼓勵學生質疑問難

課前，學生要完成預習“學案”，必須要先自學教材，自學之后知道了一些新知識，再加上已有的知識經驗，才可以完成“學案”。由于每個學生已有的知識經驗和學習能力基礎不同，對自主完成“學案”的質量就有所不同：有的對新知識理解不夠透徹，嘗試練習會有錯誤；有的理解不了的，做不起來的；有的都會做，卻說不清道理。這些都是正常的現象。我們教師對“學案”不能強求每個學生都達到一樣的水平 。但教師要有意識地、預見性地了解學生的預習難點，讓學生在“學案”中將預習的疑問記錄下來，使得學生明確自己在預習中的不足，在課堂上進行質疑問難，并通過同伴互助、教師引領從而將自己的疑問加以消除，久而久之，就會逐步培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力。

五、 凸顯教學內容的重難點，鼓勵學生自我評價