緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇高等函數的概念范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

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【中圖分類號】O13

引 言

高等數學是所有數學分支的基礎，可以當作整個數學的樹干.但是，大部分學生覺得此課程枯燥，難以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數學中函數可積與存在原函數這兩個概念進行探討，希望給學生有益的啟示.

一、函數可積與原函數存在沒有必然的聯系

本節首先給出與函數可積及原函數存在這兩個概念相關的三個定理.

定理1 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上可積；

（Ⅱ）若有界函數y=f（x）在區間[a，b]上僅有有限個間斷點，則y=f（x）在[a，b]

上可積；

（Ⅲ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，則y=f（x）在區間[a，b]上可積.

定理2 若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上原函數存在.

定理3 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上含有第一類間斷點，則y=f（x）在區間[a，b]上

不存在原函數；

（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上有無窮間斷點，則y=f（x）在[a，b]

上不存在原函數.

二、通過反例揭示函數可積與存在原函數兩者互不蘊含

本節將通過反例揭示函數可積與存在原函數這兩個概念互不蘊含.

1.可積不一定存在原函數

2.存在原函數不一定可積

三、小 結

本文通過比較函數可積與存在原函數這兩個概念，給出兩個經典反例，揭示了二者互不蘊含的關系.希望通過本文的探討，給學生有益的啟示，提升學習高等數學的興趣.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

篇（2）

高等數學極限思想的歷史悠久，它可以追溯到我國先秦時期著名的哲學家、思想家、道家主要創始人之一的莊子，其著名著作《天下篇》有云：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，體現了我國最早的極限思想。西方有約公元前490-425古希臘芝諾的阿基里斯追龜悖論和約公元前480-410的古希臘安蒂豐的用內接正多邊形逼近圓的面積的極限思想等，這些極限思想只是哲學上的思想，如今，人們已經把極限從理論運用到實際中。而且，作為高等數學教學的重要組成部分，極限的教學普遍受到人們的關注。

一、高等數學極限求解的若干方法的思考

極限是高等數學的重要組成部分，數列和函數的極限又是高等數學極限的兩個最重要的組成部分。目前，數列和函數的極限在計算機、經濟、通信和自動化等許多領域有著普遍的應用。關于高等數學極限求解的方法在基礎數學教材或者高等數學基礎教材中只做了簡單介紹，經過參考各類高等數學極限求解的文獻，文章總結歸納了以下幾種方法。

（一） 利用連續函數的性質求解高等數學極限的方法思考

連續函數的性質是連續函數在某一點處的極限值等于該點函數的函數值。例如：如果f（x）=x+1，那么

這種極限求解法完全是利用f（x）中x在2處的極限值直接帶入求解的，這種方法簡單明了，可以一眼看出該函數求解的過程和極限求解的結果。當然這只是正對簡單函數的求解，對于復雜的函數極限求解，利用連續函數的性質求解極限這一方法就行不通了。例如：如果f（x）=x+1，求復雜函數 的極限值，這樣的復雜函數如果也用上述連續函數的性質求解，那么分母是零，而列數求解中分母是不能為零沒有意義的，所以基礎數學或者高等數學基礎中分數的分母不能為零。所以，運用連續函數的性質在該函數的某一點的極限值等于該點的函數值這個方法來求解 這個復雜函數是行不通的。但是可以先運用通分法再運用分子分母約分法，最后用連續函數的性質求解這個復雜函數的極限。例如： = ，到這里運用分子分母式子相同約分法，那么這個復雜函數就被簡單化了，這個復雜函數簡化為 ，然后運用連續函數性質求解函數極限，例如： = =2+3=5

（二）利用有界函數與無窮小的乘積仍然為無窮小來求解極限的方法思考

雖然運用通分法、約分法和連續函數的性質法的結合可以求解許多復雜函數的極限，但是還是有許多函數是以上方法所不能解的，例如： 對于這個函數的極限，以上方法是不能求出它的極限的。那么，可以運用有界函數與無窮小的乘積仍然為無窮小來求解這個函數的極限。

三角函數是高等數學函數極限求解最常見的函數極限求解，而常用的有界函數就是三角函數，如f（x）=x+1和f（x）= 都屬于有界函數。例如： 這個極限函數中的x為x到0時的無窮小，xsin 為x到0的有界函數，按照方法有界函數與無窮小的乘積仍然為無窮小來求解這個函數的極限，xsin 仍是x到0的極限，所以這個極限求解出來就是0。

（三）利用極限的運算法則和恒等變換來求解極限的方法思考

極限的運算法則主要是四則運算法、無窮小的性質等法則，而恒等變換則包括通分、約分、比較最高次冪、變量替換等等法。

1、無窮小的性質

無窮小的性質是有限個無窮小的和，乘積仍然為無窮小。例如： a（x+x2+x3）的極限值仍然為0。

2、極限的四則運算法則

極限的四則運算法則的公式是如果 =A， =B，那么 [f（x）+g（x）]= + =A+B。用具體數字舉例說明是 f（x）=3， g（x）=4，那么 [f（x）+g（x）]= f（x）+ g（x）=3+4=7。

3、約分法和通分法

約分法和通分法通常是結合起來運用的，約分法是約去式子中等于0的因子，通分法是通過通分把函數化簡為連續函數進行求解。約分法試用于分子是0分母也為0型的極限的求解，而通分法則試用于∞±∞的極限求解。例如： 這個函數在極限求解過程中同時運用了約分法和通分法兩種方法。

4、分子分母有理化

分子分母有理化比較適合分子、分母中存在根號的情況，它是通過分子分母有理化分解后，運用約分法約去0因子的方法求極限的。例如： = = = = = 2

5、比較最高冪法和拆項消去法

比較最高冪法和拆項消去法一般比較適用于數列求極限。比較最高冪法是通過比較分子分母的最高次冪來求解極限的，在求解極限運用中一般是分子的最高次冪高就是無窮大，如果是分母的次冪高就為0，如果兩者的最高次冪相同，那么該式子的極限為最高次冪的系數之比。拆向消去法一般結合分析通項約除中間項來求式子極限，這種極限求解法常運用在數列無窮項求和的問題中。

例如：（1） ， = ， （比較最高次冪法）

（2） = （拆向消除法）

（四）金蟬脫殼法

金蟬脫殼在孫子兵法書上是指通過布置障眼法先穩住敵人，在敵人的視野內留一小部分老弱病殘的軍隊，把自家的主力悄悄抽走，使之脫離敵人設計的陷阱。而在高等數學極限求解中金蟬脫殼主要是運用兩個重要極限的過程中，保留式子的形式達到相同因子約去的方法來求解極限的。例如：

（1）如果 =1，那么 = =

（五）夾逼法則

夾逼法則主要用來求解分母按遞增或者遞減次序排列的無窮數列求和的極限求解。

例如：（1）求極限 （夾逼法則求解）

因為 ，且 = =0所以這個極限的值就是0。

在以上幾種高等數學極限求解的方法，是依據基礎數學和高等數學教材和其它資料總結歸納出來的，在高等數學極限求解中往往需要幾種方法聯合起來才能進行極限求解，要想在極限求解中得心應手多加練習方為上策。

二、高等數學極限求解的教學方法

極限思想是人們探索有限、無限問題不斷深化過程中取得的，從無限思想萌芽到現在的完善，歷經了將近2000年的時間，可以稱的上是數學史上一次跨千年漫長的旅途。對于現在職業學院的學生來說，學好高等數學，對學生的各方面都有好處甚至有利于學生的心理健康發展。而極限求解作為高等數學至關重要的組成部分，又是一個比較難的部分，如果學生學會了這部分，對學生的高等數學的學習會起很大幫助，如果學生不能把握這部分，會對高等數學失去學習的興趣。作為高等數學的教師如何教學生學好極限求解這部分內容至關重要。由于高等數學的枯燥乏味，很多學生不喜歡數學這門學科，其中女生占大多數。對此，職業學院的教師引進極限求解興趣教學法對學生學習極限求解這部分會大有助益。

（一）數學史極限概念

學生往往比較喜歡聽故事，數學教師可以在講解極限教學之前翻閱一些資料，把數學史的極限概念的形成過程編成一個接一個的小故事，在課堂上講給學生聽，在故事中參雜極限求解的概念和極限求解的方法。多講歷史故事，少講定義，是一種比較吸引學生的教學方法，教師利用學生的這個興趣點，展開自己的教學，在極限求解這部分中，能幫助學生盡快的掌握這部分知識。這種教學方法，正是驗證了我國春秋時期偉大的教育家、儒家學派創始人孔子的“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”的名言。比如：教師可以從戰國時期的莊子一直講到現代極限求解的現實運用。讓學生了解歷史的同時還了解到極限在日常生活中的實際應用，這樣學生就可以在趣味中不知不覺學習數學史極限的概念了。

（二）用極限簡潔、嚴格精美的語言描述

極限的概念一般的人會認為是維爾斯特拉給出的。1717-1783年，法國數學家達朗貝爾明確的提出極限就是微積分的基本概念。到了19世紀，一些數學家根據以前的研究，重建了微積分的基礎，如極限、函數的連續性等都被重新構建。但是，這種構建并不完善，因而引來了許多數學家的質疑，后來18i5-1897年，德國數學家維爾特拉斯完善了極限的概念，成功實現極限概念的代數化。有了極限概念后，無窮小量的問題才得到解決。

（三）用極限概念蘊藏的人生哲理啟示學生

很多東西學精之后，發現世界的萬事萬物都是相通的，高等數學極限概念中也蘊含了深刻的人生哲理。從極限的概念可以看出很多哲理，比如：不要小看每天一點點的改變，時長日久，水滴也可以穿石，每天小的積累一直堅持下去會有大的收獲。數學教師可以告訴學生極限教大家的哲理就是做任何事情一定要堅持，如果感覺學極限求解比較難，那么每天堅持進步一點點，永不放棄，最終會學會高等數學的極限部分。在哲學上的量變質變規律揭示了事物發展變化形式上具有的特點，從量變開始，質變是量變的終結。這是極限概念所表達的最高境界，也是教師教書育人的最高境界。

三、結束語

極限求解作為高等數學的重要組成部分，先后受到多層人士的重視，作為高等數學的教學，也須對極限求解這部分高度重視。文章先詳細闡述了利用連續函數的性質求解高等數學極限、利用有界函數與無窮小的乘積仍然為無窮小來求解極限、利用極限的運算法則和恒等變換來求解極限、金蟬脫殼法四個求解高等數學極限的方法，結尾簡單闡述了幾個其它方法，最后又從三部分探討了極限興趣教學法。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系，高等數學[M].高等教育出版社.2007.

[2]陸子芬，李重華.高等數學解析大全[M].遼寧科學技術出版社，1991.

[3]齊民友.數學的教育的改革要遵循數學科學的發展[J].數學通報，2006，49（9）.

篇（3）

經過調研了解到，2003年3月教育部頒發的《普通高級中學數學課程標準》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數學與大學數學的聯系，高中教材中安排了大學數學課程里的一些基本概念、基礎知識和思維方法。試圖從教學內容方面解決高中數學與大學數學的銜接問題。但是，大學數學與高中數學教材內容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學數學課程的教學質量，對大學新生盡快適應大學數學學習形成了障礙。高等數學與初等數學教材內容的有效銜接亟待解決。

1 “函數與極限”的銜接

函數，是高中數學的重點內容，高考要求較高，學生掌握也比較牢固。高等數學教材中的這部分內容基本相同，但內涵更豐富，難度也提高了。

（1）函數概念：在原有內容中，增加了幾個在高等數學中經常用到的實例，如取整函數、狄利克雷函數、黎曼函數、符號函數等。因此，在學習中，函數概念部分可以簡略，重點學習這幾個特殊函數即可。

（2）初等函數：反三角函數要求提高，新增加了“雙曲函數”和“反雙曲函數”等內容。反三角函數的概念在高中已學過，但高中對此內容要求較低，只要求學生會用反三角函數表示“非特殊角”即可。而高等函數中要求較高，此處在學習中應補充有關內容：在復習概念的基礎上，要求學生熟悉其圖像和性質，以達到靈活應用的目的。新增加的“雙曲函數”和“反雙曲函數”在高等數學中經常用到，故應特別注意。

（3）函數極限：“數列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數學重用的是“”定義，此處是學生在高等數學的學習中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學中應注意加強引導，避免影響函數極限后面內容的學習。新增內容“收斂數列的性質”雖是新增內容，但比較容易理解和掌握，教學正常安排即可。“極限四則運算”處增加了“兩個重要極限”，要加強有關內容的學習。

2 “導數與微分” 的銜接

高中新教材中的一元函數微積分的部分內容，是根據高等數學內容學習需要所添加，目的是加強高中數學與高等數學的聯系，讓中學生初步了解微積分的思想。

（1）導數的定義：高中數學和高等數學教材中，這一內容是相同的，不同的是學習要求。高中數學要求：了解導數概念的某些實際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的概念和導數的幾何意義；理解導函數的概念。也就是說，盡管極限與導數在高中已經學過，但主要是介紹概念和求法，對概念的深入理解不作要求。到了大學，概念上似懂非懂、不會靈活運用，成了夾生飯。但高等數學要求學生掌握并熟練應用，這是高等數學的一個重要內容，在此處應用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學中應給與足夠的重視。

（2）導數的運算：高中新課標教材要求較低：根據導數的定義會求簡單函數的導數；能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，會求簡單的復合函數導數。重點考察利用導數的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。

高等數學教學大綱對這部分內容要求：掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法；掌握初等函數的一、二階導數的求法，會求分段函數、隱函數、參數方程所確定的函數的一階、二階導數；了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數；了解微分的概念與四則運算。

建議：高中學過的僅僅是該內容的基礎，因此需重新學習已學過的內容，為本節后面更深更難的內容打好基礎。

（3）導數的應用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系，并通過實際的背景和具體應用事例引導學生經歷由函數增長到函數減少的過程，使學生了解函數的單調性，極值與導數的關系，要求結合函數圖像，知道函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求不超過三次的多項式函數的最大最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的應用。

高等數學對這部分內容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式，然后嚴格證明函數的單調性和曲線的凹凸性，給出函數的極值、最值的嚴格定義，及函數在一點取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎上，討論求最大最小值的應用問題，以及用導數描繪函數圖形的方法步驟。

建議：由以上分析比較可知，高中數學所涉及的一元微分學雖然內容差別不大，但內容體系框架有很大差異，高等數學知識更系統，邏輯更嚴謹。學習要求上，對于導數的幾何意義，導數的四則運算法則及簡單函數的一階導數，利用導數判斷函數單調性和求函數極值都是高中數學課程標準中要求的重點，是重點強化訓練的知識點。而在高等數學教學中建議一點而過，教學重點應放在用微分中值定理證明函數單調性的判定定理、函數極值點的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點等內容上。

以上主要分析比較了高中數學與高等數學的重復知識點。除此之外，二者之間以及高等數學與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。

3 高中數學與高等數學知識的“斷裂帶”

高考對平面解析幾何中的極坐標內容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學教材中，極坐標知識是作為已知知識直接應用的，如在一元函數微分學的應用中求曲率，以及定積分的應用中求平面圖形的面積等。建議在相應的地方補充講解極坐標知識。

初等數學與高等數學除了在教材內容上的銜接外，在學習思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學生剛開始學習高等數學，不能很好地銜接，教師在教學中要注意放慢速度，幫助學生熟悉高等數學教與學的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關系，在備課時，了解中學有關知識的地位與作用及與高等數學知識內在的密切聯系，對教材做恰當的處理；上課時教師要經常注意聯舊引新，運用類比，使學生在舊知識的基礎上獲得新知識。

總之，努力探索搞好初等數學和高等數學學習銜接問題，是學好高等數學的關鍵之一。

篇（4）

高等數學的很多概念是中學數學的延續，命題者往往以高等數學中的基本概念為切入點，命制一些高中數學教材中涉及到而未給出具體定義的，或是直接給出高等數學中的新概念的試題。學生需閱讀題目中所包含的信息，并將高等數學的信息與初等數學知識靈活地結合來解決問題。

例1 （2004年復旦大學）若存在M，使任意 為函數 的定義域），都有 ，則稱函數 有界，問函數 在 上是否有界。

解析：否。取 ，則 當 趨向于正無窮時，趨向于正無窮。

評析：本題是以高等數學中的有界函數概念作為背景，來判斷函數是否為有界函數的一類試題。從所給的信息知道，判斷f(x)是D上的有界函數，是否存在M（M＞0且對任意x∈D），求|f(x)|的值域，要求學生有較強的知識轉化能力。此題是通過取特殊值，確定函數 在 上可以趨向于無窮大，從而確定其不是有界的。

例2 (2010年復旦大學)設集合 是實數集 的子集，如果點 滿足：對任意 ，都存在 ，使得 ，則稱 為集合 的聚點。用 表示整數集，則在下列集合： (1) ； (2)；(3) ；(4)整數集 中，以0為聚點的集合有()

A. (2) (3)B. (1) (4) C. (1)(3)D. (1)(2)(4)

解析：“聚點”這個概念根據定義，應理解為以任意無窮小為半徑，以 為圓心的圓內都至少有 的一個元素（不包括 ）。對集合（1） ，若取 ，則不存在 滿足 。顯然（2）、（3）是以0為聚點。對（4），若令 （不是唯一的取法，也可取 ，只要 均可），則也不存在 使得 ，綜上，應選A。

評析：直接定義高等數學中“聚點”的概念，解此類新定義型題時應在仔細閱讀分析材料的同時，要認真領會定義的實質，尤其是定義中隱含的或特殊情形，結合所學的數學知識和方法，通過對定義的仔細推敲和概念的全面認識使問題獲解。

二、性質型

以高等數學有關性質為背景的自主招生試題經常出現，例如函數圖像的凹凸性、拉格

朗日中值定理以及極限思想等。

例3 （2010年華中師范大學）已知當 時，函數 的圖像如圖1所示。

（1） 設 ，試用 的圖像說明

當 時，不等式 ①成立。

（2） 利用（1）中不等式證明：若 ，則

對于任意的正數 ，不等式 ②成立。

（3）當 ，且 時，求 的最小值。

解析：對于（1）要求利用圖像解釋不等式①成立，這就需要將代數語言轉化成幾何語言。在 的圖像中解析 的幾何意義，再利用這些幾何意義說明不等式①成立，從而有如下解法：

設 ，由圖2可知，當 時，有

即

對于（2）要求用不等式①證明不等式②，此時要求

學生明確不等式①成立的條件，并將不等式②與不等式①

作比較分析，選擇適當的代數變形方法。由于不等式①成立的條件是 ，將②式兩邊 次冪，則不等式②等價于 ③

由于 ，由①易得③。

對于（3），可由不等式①求解，

將 做適當的代數變形即有：

所以 等號當且僅當 時成立。

還可由不等式②求解：

因為 故有 ，從而 等號當且僅當 時成立。

評析：所謂“高等背景，初等解法”，沒有現成解法或套路可模仿，要靈活運用所學知識。

三、結論型

在高等數學中很多結論與中學數學比較靠近，這些既是中學數學的重要知識，也是高等數學中的基礎知識，其中某些結論只要稍加敘述和改造，就可以以中學數學的形式出現，這樣的試題既可以考察學生能力，又有利于高等數學與中學數學的緊密結合。

例4(2010年南開大學)求證：

解析：令

單調遞增。

又 ，

則 單調遞增。

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[中圖分類號]G420[文獻標識碼]A[文章編號]2095-3437（2014）16-0071-02

一、訓詁學與高等理工教學的聯系

高等理工教育中的文化教育的重要性已得到了社會的普遍認同和接受，我國著名教育學家楊叔子先生[1-2]多次提出“教育的宗旨是素質教育，教育的方式是文化教育”的觀點，尤其強調了民族文化的重要性，提出了“民族文化就是民族的基因”的真知灼見，對于“大學有無民族文化，有無民族精神，即有無真正的中國特色”進行了深入的剖析。

如今，深入挖掘中國傳統文化，將中國特色的文化底蘊與現工高等教育教學過程相結合是一項具有深遠意義的工作。高等理工教學中，包括大量的名詞概念，很多概念艱澀而抽象，名詞的定義往往占據較大篇幅，并輔以大量的練習加深對概念的理解和記憶。而訓詁學是我國傳統文化的瑰寶，是文字學的重要研究內容，將古代的話加以解釋，使之明白可曉，謂之訓詁[3]，即指疏通解釋古代典籍文獻和研究古代語言文字的意義。嚴格的說，只有訓釋古語古字的用義才能稱為“訓詁”，而隨著時代的發展，訓詁學應不斷更新觀念，運用科學方法，走多向的現代化發展之路[4]，訓詁學要從“經學附庸”的舊框子里解放出來，密切聯系今天大、中學校的教學[5]，使這一古奧艱深的學問成為服務于現代教學的利器。

基于此，本文引入訓詁學的方法論，提出在高等理工教學過程中對名詞概念——以數據擬合為例——的思想淵源及與之密切聯系的概念進行分析，使之達到望文生義的效果，易于理解和記憶，為相關的研究和教學提供參考。

二、訓詁學釋義示例

（一）數據“擬合”的訓詁學釋義

數據擬合是數值分析教學中的重要概念，也是教學難點。為了繞開復雜的理論推證過程，形象、直觀的對這一概念的含義進行理解，從概念的字面含義入手，探求其字面背后蘊含的意義。

從訓詁學的角度講，“擬”（繁體為“擬”），為形聲字，從手，以聲，本義為揣度，猜測，后又有類比，效仿，打算，起草、初步確定等意。其中，擬人是一種文學作品中常見的修辭手法。“合”，會意字，從亼，三面合閉，從口，本義：閉合，合攏。

基于上述，“數值擬合”可以解釋為：初步確定或草擬（擬）某一函數，調整此函數的參數，使得該函數與已知數據（實驗數據）的分布趨勢最大限度的重合（合）。如此，通過對“擬合”這一名詞概念的訓詁學解釋，建立名詞概念的內涵與字面含義的聯系，達到望文生義的效果，將較大程度的有助于對概念內涵的理解和記憶。

（二）“擬合”訓詁釋義的聯系與拓展

訓詁學釋義可以簡單直觀的解釋名詞概念的內涵，還可以根據釋義的表述，推斷和界定概念的特征與概念之間的聯系，從而進一步有助于對概念的理解和記憶。在本文所給的示例中，通過對“擬合”的訓詁學解釋的表述，可以歸納和引申出如下兩點數據擬合計算的基本特征：

1.擬合函數需根據數據的分布趨勢“擬”定，并非完全精確的函數或真實函數本身；

2.所求擬合函數與已知數據最大限度的“合”攏，但不會完全重合。

通過對上述“擬合”概念的訓詁學解釋，并結合數據擬合計算的基本過程，可知對初步擬定的函數，需要代入已知點，形成方程組，將本屬于方程變量的參數替換成已知量，求解各個參數，從而確定出擬合函數的具體形式。求解方程系數的過程，其實質是待定系數法。

利用已知點形成含待定系數的方程或方程組，通過解方程或方程組求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法。[6]一般用法是，設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利用兩個多項式恒等時同類項系數相等的原理或其他已知條件確定這些系數，從而得到待求的值。[7]可見，待定系數法的基本思想是將本屬于方程變量的參數替換成已知量，從而建立成只包含未知系數的方程組，使得未知系數成為方程組的未知數，從而求解方程組得出未知系數。

雖然擬合函數中多項式系數的確定需通過待定系數法，但與傳統意義的待定系數法也存在著差別。首先，根據上述擬合的訓詁學解釋可知擬合需要假定函數形式，與已事先給定函數形式的待定系數法不同。

擬合算法通常設擬合函數由一些簡單的“基函數”（例如冪函數，三角函數等等）φ0（x），φ1（x），…，φm（x）的線性組合來表示[8]：

f（x）=c0φ0（x）+c1φ1（x）+…+cmφm（x）

通常取基函數為1，x，x2，x3，…，xm，要確定出系數c0，c1，…，cm，從而確定函數的具體形式，其方法是代入m組實驗數據，（x1，y1），（x2，y2），…（xm，ym）組成m個方程的方程組：

求解上述m個方程中的個未知數c1、c2、…、cm即可確定函數形式。

其次，由于函數的基本形式并不是理論上精確的，而是通過c1、c2、…、cm系數值的調整從而盡可能的逼近真實函數（與真實函數“合”攏），加之擬合函數多為非線性多項式，所以方程組的系數c1、c2、…、cm理論上很難求取精確解，其求解精度一般在最小二乘的約束下取得，即使得min[f（xi-yi）]2達到最小。

（三）相關概念的比較

通過上述基于訓詁學示例的釋義及由其釋義引申出的概念特征與聯系，可見訓詁學能夠更加深入的揭示概念的內涵與外延，更容易甄別概念內涵的共性與差別。本文給出的示例中，待定系數法與數據擬合的最基本思想都是利用已知點確定函數中的系數，從而實現函數形式的精確確定，因此存在基本思想的共性。但二者之間也存在差異，為了簡明，將上述對二者的特性討論總結成表1的形式如下：

篇（6）

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.01.021

同濟六版《高等數學》是一部經典的工科類本科數學基礎課程教學的教材，適合當前我國各類高校工科類本科專業根據不同的教學要求分層次教學的需要。但是，再完美的教材鑒于作者的認知方式也有不盡如人意的地方。概念、符號、解題方法對于高等數學來說是精髓，是靈魂，本文就同濟六版《高等數學》的幾個問題做了注記，以資借鑒和提高。

1 幾個基本概念、符號的說明

對高等數學課而言，學生要想把它學好、學精，離不開對一些基本概念的理解和一些符號的準確掌握，尤其對于初學者。所以，作為教師就要在授課時對學生正確引導，注意區分，多加強調。

1.1 單側極限、單側導數及導數的單側極限的符號

同濟六版《高等數學》第一章第三節（P34）給了單側極限概念，把左、右極限分別記作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一節（P83）給了單側導數概念，把左、右導數分別記作（） = 、（） = ；按照上面這兩種記法，不難想象（）、（）分別表示的就應該是函數 （）的導函數 （）在點處的左、右極限，也就說有（） = （）、（） = （）。

這里以為例說明這些符號的不同。 （）、（）、（）分別代表的就是函數 （）在處的右極限、右導數及導數的右極限，其中（）還蘊含函數 （）在的右鄰域（， + ）內每一點可導。雖然其符號極其相似，但這三個是完全不同的概念，不能混為一談，尤其要引導學生正確書寫和理解不同符號的含義，特別是對于后兩者，很多高等數學的初學者在解題的時候誤認為（） = （） = （），求分段函數在其分支界點處的導數時，用這種方法可能會導致計算結果的錯誤。比如下面這一問題，設，則（0）= = = 0，當≠0時，（） = 2，而（2）不存在，就是（）沒有意義，所以說（）與 （）之間一般不存在相互關系，不要錯誤利用來解題。

同濟六版《高等數學》第二章第一節（P87）給了這樣一道習題：

設函數，為了使函數 （）在 = 1處連續且可導，、應取什么值？

常規的解法應該是： （）在 = 1處連續，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1處可導有 （1） = （1），即 = = ，從而 = 2， = 。

值得一提的是，很多學生在做作業的時候關于 （）在 = 1處的可導性條件是這么用的：當≤1時， （） = ，當>1時， （） = ，由條件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，從而 = 2， = 。很多老師在批改作業的時候就認為學生的這種做法是錯誤的，事實上王金金，任春麗在文獻[3]中已經證明：設函數 （）在[， + ]上連續，在（， + ）內可導，且 （） = 存在，則函數 （）在點處的右導數（）存在，且有（） = （） = （）。

所以，盡管（）與 （）是不同的概念，但是在一定條件下它們之間有聯系，既要引導學生正確區別，同時不要不假思索地給學生的作業判錯，要引以為戒。

1.2 函數微分學的一些符號

同濟六版《高等數學》第二章第三節（P99）給了高階導數的概念，以二階導數為例：

一般的，函數 = （）的導數 = （）仍然是的函數。我們把 = （）的導數叫做函數 = （）的二階導數，記作或，即 = 或 = （）。

其中符號 = = ；表示的二階微分，即是對微分兩次（ = 0）；表示對微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含義，不能混淆，尤其是 = 與≠。比如像有的教材上給出如下的習題：

設 = ，求，，，。

像上述例題中的表達式，就不準確，誤認為 = 與 = 。

1.3 最值與極值的定義

同濟六版《高等數學》第一章第十節（P70）給了函數最值的概念：

對于在區間上有定義的函數 （），如果有，使得對于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），則稱 （）是函數 （）在區間上的最大值（最小值）。

第三章第五節（P154）給出了函數極值的概念：

設函數 （）在點的某鄰域（）內有定義，如果對于去心鄰域內的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就稱 （）是函數 （）的一個極大值（或極小值）。

上述兩個概念是有很大不同的。首先，最值是定義在函數有意義的某個區間上，是一個全局性的概念，而極值是定義在函數有意義的某點的某鄰域范圍內，是一個局部性的概念；其次，最值的定義中“對于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而極值的定義中“對于去心鄰域內的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是嚴格大于或者小于 （）；比如定義在區間[0，2]的常數函數 = 1，在區間[0，2]上能取到最值，區間[0，2]上的每個點都是最值點，但是此函數在區間[0，2]上取不到極值；第三，極值一定是局部的最值，最值卻不一定是極值，極值只能在區間內部取到，而最值可以在區間端點取到。

2 函數的極限的講解方法

從數列極限到函數極限，同濟六版《高等數學》是先介紹自變量趨于有限值時函數的極限，而后介紹自變量趨于無窮大時函數的極限。為了增強對比學習的效果，比照 = 0讓學生討論，從數列極限過渡到時函數極限，接著引出、時函數極限的概念，比如可以從 （） = 的圖像出發，啟發學生類似時函數極限討論時函數極限，以具體實例引出單側極限的概念，從而實現從數列極限到函數極限的自然過渡。

3 常系數非齊次線性微分方程求特解

同濟六版《高等數學》第七章第八節（P341）給出了二階常系數非齊次線性微分方程 + + = （），當 （） = 時不用積分就可求出方程特解的待定系數法。

設 = （），帶入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。當是特征方程 + + = 0的單根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此時（）必須是次多項式，教材上說“可令（） = （）”。很明顯，（）與（）是不同的，二者相差一個常數，不影響最終的結果嗎？事實上，當是特征方程 + + = 0的單根時，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一項（ + + ）（）不起作用，同時（）比（）多出來的那個常數在求導的過程中不影響導數的結果，也就是說令（） = （）或者令（） = （）都能滿足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系數時還少求解一個系數，何樂而不為？當是特征方程 + + = 0的重根時，可令（） = （），是一樣的道理。這一點作為教師必須得清楚。

4 高斯公式的應用中一道例題的解法

同濟六版《高等數學》第十一章第六節（P231）例1：

利用高斯公式計算曲面積分（） + （），其中為柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所圍成的空間閉區域 的整個邊界曲面的外側（如圖1）。

教材上利用高斯公式把曲面積分（） + （）轉化成了（），接下來的計算完全可以發散開來讓學生去想怎么求，因為三重積分的計算他們已經學過并且很熟悉。按照慣常的思維，最直接的解法是把上面的三重積分化成直角坐標下的三次積分，不過不難發現積分區域 在坐標平面上的投影是圓域，所以也可以按照書上把其化成柱面坐標下的三次積分（），同時這個三重積分的計算還可以進一步延伸利用對稱性和截面法轉化為 = = 。

數學被譽為鍛煉思維的體操和人類智慧之冠上最明亮的寶石，高等數學更是很多理工科學科進一步學習的基礎，所以在備課的時候做充分的準備，而授課時盡可能以一種比較易于為學生接受的思維和方式來展開是很有必要的。同濟六版《高等數學》雖然很經典，但是在一些細節處理上還是可以改進的，其中一些沒有點明，被作者略去的內容還是需要教師在授課的時候講到的，最起碼是自己備課的時候應該用心想過的。當然，仁者見仁智者見智，畢竟從學生的實際出發、切合不同專業的需要才是最根本的。

參考文獻

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《復變函數與積分變換》課程是大學本科理工科類專業的一門基礎課。復變函數論主要是在研究流體力學、電力學、空氣動力學、熱力學以及理論物理學中發展起來的，為解決這些學科的一些實際問題起了相當大的作用。復變函數與積分變換理論和數學的其他分支也有密切聯系。復變函數是高等數學的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有著重要的應用；積分變換中的傅立葉變換在微分方程、積分方程、概率與數理統計論、泛函分析學以及數論等學科中都是重要的工具。即使是最簡單的函數，比如多項式函數、對數函數、指數函數、三角函數等，也只有在復變函數中才能體現其本質。另外，作為一種特別有用的工具，復變函數當中的留數理論可以用來解決很多高等數學中難以解決的問題。因此，復變函數與積分變換以它的完美的理論與精湛的技巧成為大學數學的一個重要組成部分。

雖然《復變函數與積分變換》這門課程有著重要的作用，不過大部分高校對此課程設置的課時都比較少，基本上都是三十二學時或者四十八學時，相對于《高等數學》來說，這些課時是非常有限的。在有限的時間內，如何能讓學生充分利用每周的少量課時，理解和掌握這門課程的精髓，并為以后的各門專業課打下堅實的基礎，這一點對于每一位授課老師以及學生來說都是極其重要的。以下根據我任教十幾年來對該門課程的理解，簡單談談我對復變函數與積分變換教學的幾點看法。

1 總結同一概念和性質在復變函數和高等數學中的相似與不同，加強理解和記憶

《復變函數與積分變換》這門課程的內容主要有兩部分，前半部分是復變函數，后半部分是積分變換。其中復變函數以理論為主，積分變換以應用為主。復變函數是以高等數學為基礎，同時也是高等數學中實數域向復數域的擴展，因此復變函數中的大部分概念都是和高等數學的概念類似，性質也基本上都是相同的。其中第一章復變函數的概念中，區域的概念，復變函數的概念，復變函數的極限的概念，復變函數的連續性以及閉區間上連續函數的性質等和實數域中相似；第三章復變函數的積分中，積分的概念和實數域的定積分，重積分的概念一致，都是通過對所求變量按照“分割，近似替代，求和，取極限”這四個過程來定義的；第四章級數中，復變函數的冪級數，泰勒級數也與高等數學中函數的級數，泰勒級數的概念一致。在講授這些內容的時候，任課老師可以先和同學們一起簡單的回憶《高等數學》中的概念和性質，與復變函數結論有區別的地方可以重點說明，接著講解新內容，相似點可以直接類比，對于不同的地方需要重點強調，而且可以啟發學生去思考不同之處的根源。復變函數中的正弦函數和余弦函數是無界函數，指數函數是周期函數，對數函數是多值函數等，這些內容如果任課教師在講臺上只是一味的照本宣科，學生會覺得這是內容的重復，聽起課來肯定興趣不高；如果老師能充分調動學生的積極性，讓他們自己去帶著問題思考，帶著問題聽課，讓他們自己找到相似點和區別，不僅師生之間可以有良好的互動性，學生也會對自己總結的這些知識加深印象。

2 把握側重點，強調課程的特色

《復變函數與積分變換》這門課的課時一般不多，但是它包含的內容卻很多，因此要想在比較少的時間內將所有的內容都詳細的介紹，那肯定是不可能的。授課老師在上課之前應該掌握該課程的側重點，合理的安排好每個章節的授課時間。在第一章復變函數中，復數的輻角和復數的模，復數的三角表示和幾何表示以及復數的運算是以后各章內容的基礎，這部分內容只有講透，學生才能在以后的學習中有個扎實的基礎。復數域中的無窮遠點是唯一的一個點，很多課時少的學校將這部分內容作為選講內容，但我個人認為這是個基礎知識，無窮遠點可以在很多時候簡化計算量，是個很有用的工具，而且在積分變換的內容中也會涉及到這方面的知識，這個知識點需要強調一下；第二章解析函數中，解析函數以及解析函數的充要條件是重點，也是研究復變函數在孤立奇點處留數的前提；第三章復變函數的積分，這部分內容可以簡單介紹原理，為以后介紹洛朗級數和留數做前提；至于用柯西積分公式，柯西古薩定理和高階導數公式去計算封閉曲線的積分可以簡單讓學生理解；第四章級數，洛朗級數是重點，任課老師要讓學生理解洛朗級數和泰勒級數的聯系和區別，并學會如何將同一復變函數在不同點，不同的圓環域內，展開成洛朗級數；第五章留數是個新的概念，也是復變函數的核心，對學生來說是個全新的知識，任課老師在講授這部分內容時可以適當放慢速度，利用解析函數和洛朗級數的相關理論讓學生理解核心概念-留數的定義，掌握利用留數和洛朗級數去解決積分問題的方法。留數是復變函數理論當中一個重要知識點，留數理論也可以用來解決一些高等數學中很難求解的積分問題。這樣學生可以感受到復變函數除了是實數域中理論的拓展，還可以反過來解決實數域中的很多難題。

3 積分變換是一個工具，側重于應用

積分變換中主要有兩個積分變換-傅立葉變換和拉普拉斯變換。這兩個變換是相互聯系又有區別。傅立葉變換是由周期函數的傅立葉級數推廣得到的，拉普拉斯變換是在傅立葉變換的基礎上優化得來的，這一部分的概念可以簡單講解。積分變換部分關鍵是要讓學生學會利用這兩個工具解決一些實際問題，比如在現代信號處理的應用等等；也可以增加一些時尚的和生活實際的應用問題，提高學生的學習興趣。當然這也對授課老師提出了較高的要求，要求教師能夠對積分變換的可能的應用領域以及在其他實際中的用途等多方面的知識都有了解，以方便在教學中隨時可以調動學生的學習積極性。

4 結合多媒體，縮短板書時間；縮短上課的周期，提高效率

復變函數中有部分概念需要很強的空間想象能力，例如基本初等函數的實部與虛部、復數的模與輻角、復球面的概念，函數在孤立奇點處的留數等；積分變換部分，工程上經常出現的單位脈沖函數，這些對于剛剛接觸到這門課程的學生來說，都是是非常抽象的。如果可以通過多媒體軟件展示這些概念，就會直觀的多，學生也容易理解。對工科的大部分學生來說，復變函數與積分變換只是一個解決問題的工具，很多結論沒有必要要求學生去掌握具體原因，只需要學會并熟練運用結論就可以了。比如第三章的柯西-古薩定理，復合閉路定理，柯西積分公式，高階導數公式等這些結論，學生只要能會運用就可以了。但是這幾個結論相對來說都很長，如果授課老師板書到黑板上需要浪費很多時間，如果只是照著課本念一下，學生又沒有什么印象。利用電子ppt，在每次需要用的時候可以直接拿出來，而且可以針對每個結論，對應的舉例說明，那樣就可以節省不少的時間。

最后對于小學時的課程，希望能夠縮短上課的周期，變成前半學期或者后半學期教學。這一點部分高校已經開始實行，一周一次的課程教學效果遠遠有一周兩三次的效果好。

當然授課老師在課堂上為了增加學生的學習興趣，可以適當滲透一些現代的數學思想，為學生進一步學習現代數學知識提供一些接口；聯系其他相關課程的知識和工程實際應用，以加強學生的綜合應用能力。比如利用留數計算積分是復變函數理論中一個重要知識點，課堂上除了詳細介紹這些之外也可以介紹一下留數計算的物理應用，如在數字濾波器性能分析和形狀設計中的應用等，這對于部分同學來說也是激起他們學習興趣的一些理由。

【參考文獻】

篇（8）

隨著高等職業教育的發展，高等數學教學內容的穩定性是相對的，它也在隨著科學、技術的進步而發展，隨著教學體系與觀念的更新而發展，因此高等數學的教學也一定要改革和發展.高職教育主要培養高等技術應用性人才，突出人才培養對當前社會需求的針對性，是我們的畢業生在人才市場上競爭的特色和優勢所在；但由于社會需求具有多變性，要求學生具備一定的適應社會需求變化的可持續發展的能力，這就要求我們高等數學課的教學也要在原來的基礎上不斷更新和發展.

從高職以高等技術應用性人才為培養目標出發，高等數學教學要以應用為目的，以必須夠用為度，把培養學生應用高等數學解決實際問題的能力與素養放在首位.為此，我們就需要對我國傳統的高等數學教學模式進行適當的取舍與更新.

我國傳統的高等數學教學重視演繹及推理，重視定理的嚴格論證，這對培養學生的數學素養確有好處.但從應用的角度講，需要的往往不是論證的過程，而是它的結論.因此我們主張對于高職而言，在高等數學教學中，應淡化嚴格的數學論證，強化幾何說明，重視直觀、形象的理解，把學生從煩瑣的數學推導和不具一般性的數學技巧中解脫出來.這樣做符合“必須夠用為度”.我僅對經管類的高等數學教學的思考與大家商榷.

一、在教材的取舍上，盡量保持高等數學的系統性

系統性的保持可以讓學生對高等數學這門課程的思想和主題有個概念，這對如何應用高等數學這個工具解決實際問題取得主動性.我們的學生在碰到實際問題時，如何找到有效的方法解決問題很茫然，中學很少有要求解這類題型.所以，我們在教學中經常有意識引導學生，讓學生在潛移默化中學會選擇有效的方法解決實際問題的能力.在介紹函數時，重點介紹分段函數的應用，在生活中，我們都一直在使用分段函數，個人所得稅的繳納、話費套餐、出租汽車收費、產品銷售等等問題，都是用分段函數來描述的；在上第二重要極限的內容時，我們會討論復利和連續復利的問題，還可以討論理財產品的收益如何計算、基金的收益等等問題；在講解導數的幾何意義時，學生不僅要理解函數在某個點的導數是曲線在該點處切線的斜率，還要了解其經濟意義，成本函數對產量的導數是邊際成本，它的經濟含義是多生產一個單位的產品所增加的成本；收入函數的導數是邊際收入，它的經濟含義是多銷售一件產品所增加的收入，利潤函數的導數是邊際利潤，它的經濟含義是多生產一個單位的產品所增加的利潤.在講解定積分的幾何意義時，使同學們了解到平面的面積通過積分一定可以求得到.同學們以前只曉得圓的面積是πr2，但是，不知道是怎么來的，∫r-rr2-x2dx=12πr2.

二、在概念引入時，先交代其背景知識，使學生在接受新知識的時候感覺不會太抽象數學的概念是從實際問題中抽象出來的，也就是說，數學是站在一定的高度的概括，我們要活學活用，把抽象出來的精華應用于不斷產生的問題中，解決問題.例如：極限的概念的引入，我們先介紹數列的極限，求圓的面積，圓的面積有公式可以用，圓的面積是正多邊形面積的極限值.這樣一來，極限的概念就容易接受啦.例如：導數的概念，求函數的變化率的極限，可以先介紹求瞬時速度，求曲線在某個點的切線的斜率.例如：定積分的概念的引入，求曲邊梯形的面積，然后所有平面圖形的面積都可以求.了解了微元法的思想，可以解決許多問題.例如：已知總產量的變化率求總產量，由邊際成本求成本函數，由邊際利潤求利潤函數，由邊際收益求收益函數，資本現值與投資問題等等.用微元法的思想還可以求旋轉體的體積，還可以求平行截面面積為已知的立體的體積等等.

三、在例題的選擇上，由易到難，盡量與實際問題接近

例如：函數的表示法有解析法、表格法和圖像法.解析法學生接觸了很多，表格法好像用得就少，實質上，在實際中，表格法我們應用非常廣泛，只是許多學生沒想到它就是函數.其實，數學來源于生活，廣泛應用于生活，我們不知不覺一直在應用.圖像法也是.工程的進度、產量、股票等等大量應用圖像來表示.例如：導數的意義，幾何學上是求曲線在某點處的切線的斜率；在經濟學中，成本函數對產量的導數是邊際成本，利潤函數對產量的導數是邊際利潤，收益函數對產量的導數是邊際收益等等.例如：高階導數的應用，我們可以描繪函數的圖像，可以很快求出函數的極值，可以應用于近似計算.

四、我們在教學中介紹了Mathematica工具軟件

篇（9）

數列、函數極限的概念是高等數學中最基本、最重要的概念之一.導數、微分、不定積分等基本概念都建立在這一概念的基礎上.函數極限的概念是學習高等數學首先遇到的較難理解的概念，正確理解、掌握函數極限的一系列概念是學好高等數學的關鍵.新疆、籍學生，受母語影響較大，因此對極限概念的理解難度也較大.認真研究、深入探討函數極限概念的教學良策是確保高等數學教學質量的前提.本文在分析教學難點的基礎上，從引導學生正確理解函數極限定義入手，給出突破難點的一些教學方法.

1.數列極限概念的教學難點

（1）給出一批有極限的數列，考察這些具體的數列的變化趨勢，分析歸納出它們的共同本質――通項無限接近某個常數A（盡管方式不同），再給出一些沒有極限的發散數列，它們不具有上述特性，即不能與任一實數無限接近，從中得出用普通語言敘述的收斂概念:給定數列{u}，如果當n充分大時，u無限接近某個常數A，則稱A為數列{u}的極限，稱{u}為收斂數列，否則，稱{u}為發散數列.

（2）啟發學生考慮如何用數學語言精確地描述“充分大”，“接近”，“無限接近”等變化過程，尤其是“無限接近”這一動態變化的數學描述，可充分利用數軸、絕對值，距離等工具，在此基礎上提出用“ε-N極限”語方來精確描述極限過程和收斂概念:對于任意給定的正數ε（不管它多么小），總存在一個正整數N，當n＞N時，恒有|u-A|＜ε，則常數A叫做數列{u}當n趨向于無窮時的極限.或說數列收斂于A.記作：u=A，或uA（n∞）.此時，稱數列{u}為收斂數列，否則稱{u}為發散數列.

在這一階段中，主要是通過記憶和模仿以代償思維能力的不足，達到對極限概念的初步認識.

2.函數極限概念的教學難點

（1）基本概念.

定義1：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＞M時，有|f（x）-A|＜ε，

則常數A為函數f（x）當x+∞的極限.記作：f（x）=A.

定義2：如果對于?坌ε＞0，總?堝M＞0，當x＜-M時，有|f（x）-A|＜ε，

則常數A為函數f（x）當x-∞的極限.記作：f（x）=A.

定義3：如果對于?坌ε＞0，總總?堝N＞0，當|x|＞N時，有|f（x）-A|＜ε，

則常數A為函數f（x）當x∞的極限.記作：f（x）=A.

定義4：函數f（x）在x點附近（但可能除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜|x-x|＜δ（x∈U（x，δ））時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當xx的極限，

記作：f（x）=A.

定義5：函數f（x）在［x，x+δ）（也有可能要除掉x點本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當0＜x-x＜δ時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當xx的右極限，

記作：f（x）=A或f（x+0）=A（當xx）或f（x）A（當xx）.

定義6：函數f（x）在（x-δ，x］（也有可能要除掉點x本身）有定義，若對于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，當-δ＜x-x＜0時，有|f（x）-A|＜ε，則稱A是函數f（x）當xx的左極限，

記作：f（x）=A或f（x-0）=A（當xx）或f（x）A（當xx）.

f（x）=A的幾何意義如下:

對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在x的一個δ鄰域（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.

f（x）=A的幾何意義如下：

對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A，y=A+ε，總存在x的一個δ鄰域（x，x+δ）（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.

f（x）=A的幾何意義如下:

對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A-ε，y=A，總存在x的一個δ鄰域（x-δ，x）（除x外），在此鄰域內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.

f（x）=A的幾何意義如下：

對于?坌ε＞0，作兩條直線y=A+ε，y=A-ε，總存在一個區間［-M，M］，在此區間內函數y=f（x）的圖形落在這兩條直線之間.

（2）在極限概念教學過程中，應把握從具體到一般原則.

極限定義難以理解、掌握的原因在于:定義中涉及“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等比較抽象的術語.定義的敘述繁長、文字符號很多，如ε、δ、M等，且它們之間的數量關系錯綜復雜，學生難以掌握.對ε的作用和任意性、給定性，以及ε和N、M、δ間的依賴性，學生不易搞清，對“ε-δ”、“ε-M”極限語言容易混淆.

抽象性思維能力是分析問題和解決問題能力中最重要的部分，是數學本身“高度抽象性與應用廣泛性”辯證統一的必然結果.抽象思維能力的培養是發展創造性思維的前提.由具體到抽象是人們認識事物比較普遍的思維過程，而具體如何飛躍到抽象呢?一般步驟是，提出問題，誘發思考，讓學生逐步領會把實際問題抽象為數學問題的思路和方法，引導學生把問題的特征、本質抽象出來，加以綜合概括.

3.克服教學難點的方法

為了克服以上教學難點，我們可從以下幾點入手.

（1）正確運用“ε-N”“ε-X”“ε-δ”三種語言.對于這三種語言，有的同學提出什么時候應用哪種語言搞不清，其實搞明白以下兩個問題，這個難點就會迎刃而解.

①“ε-N”語言用于數列極限，求解過程是對于任意給定的ε，通過不等式|μn-A|＜ε找到正整數N;而“ε-X”或“ε-δ”適用于函數極限，對于任意給定的ε＞0，通過不等式|f（x）-A|＜ε找到正數δ或X.

②“ε-X”和“ε-δ”語言的區別在于自變量x的變化趨勢不同.前者適用于x∞時的函數極限情形，后者適用于xx時的函數極限情形.

（2）講清極限定義中“ε”的任意性、給定性及其對N、X、δ的依賴性，從而刻畫ε的作用，在極限定義中有“如果對于任意給定的正數ε”這一句話，很多學生不理解，為什么ε是任意的而同時又是給定的呢?因為只有ε是任意的，不等式|f（x）-A|＜ε才能刻畫出函數f（x）與常數A無限接近的意思;而ε又是給定的，如果ε不是給定的就無法確定δ（或N或X）的存在性.其實，給定一個ε就存在一個δ（或N或X），它們是對應的關系.δ（或N或X）是依賴ε而存在的，它們之間具有依賴性.另外，要交代清楚“ε”是任意小的正數，即定義中的“無論ε多么小”，意思就是:ε是“要多小就有多小，想多小就多小”的正數.

注重直觀教學、啟發式教學、漸進式教學及實踐教學有機結合的方式.如我們在高等數學中講授新內容時，一定要用直觀，易懂的實例進行解釋說明.每一個概念和結論，再從一個概念或結論得到啟發，引導學生思考更廣而深入的問題，從而對數學概念和結論有深刻的理解（我們稱這種教學為抓點）；講授新內容之前回憶復習上節的主要內容，課堂結束前，總結該節的內容，并預示下一節的內容；一段內容結束（如一章內容）之后，整體上再總結歸納這一大段中的主要內容，突出重點，加強影響，將前后內容連貫起來.這種往復式（循序漸進式）的有效總結和歸納對學生培養良好學習習慣是非常重要的（我們稱這一過程為提串），這一過程應貫穿教學整個過程.理論總結的同時針對每一個概念、結論和針對作業中存在的問題，做大量的具體題目的講解，及時解決問題和給予提醒.再加強學生的作業質量，要求學生獨立，足量完成.這部分工作主要在習題課上和作業中完成.一些主要概念和方法可以通過做實驗的方式進行：整個高等數學課結束之后，再進行一次總復習，這部分主要用課堂教學，完成綜合性比較好的數學實驗題目的結合進行（這兩部分是實踐教學）.這樣學生不僅能鞏固已學過的高等數學內容，提高高等數學水平，還能鍛煉科學思維方式，提高用數學和計算機解決實際問題的能力，養成良好的學習方法等，進行有益的實踐鍛煉。教學經驗顯示，以上談到的逐步、多層次重疊式（循序漸進式）教學和學習（我們稱抓點提串循序漸進再實踐的學習方法），對增強預科高等數學教學效果有很好的作用，成效顯著.

總之，函數極限概念是所有學習高等數學的學生接觸的第一個最基本的概念，也是高等數學中一個較難理解的概念.在極限概念的教學過程中，應注意由直觀到抽象，由特殊到一般，由舊引新，進而有效地分散難點，以便突破難點.

參考文獻：

［1］華東師范大學數學系.數學分析［M］.北京:高等教育出版社，1991.

［2］李英.淺析數學教育中應培養的數學概念［J］.數學通報，1988，（1）.

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摘要:為了讓大一新生盡快適應高等數學的學習,本人認為加強高等數學中的概念教學是一個起關鍵作用的環節。

 

對于剛邁進大學的理工科的學生來說，高等數學是首當其沖的一門重要的基礎課。很多新生一時還難以適應，常常產生各種各樣的問題。如何幫助學生度過這一“非常時期”，使之盡快適應大學的學習生活學好高等數學這門主要的基礎課？筆者認為，加強高等數學中的概念教學是一個起關鍵作用的環節。

一、正確理解數學概念是學好高等數學的前提

無論是初等數學還是高等數學總是從繁雜紛紜的客觀世界中抽象出一系列的數學概念，然后以這些概念為基礎，進行合理的判斷和推理，引出一些定理和公式，形成一個理論體系，然后把“這些符合論理的結論”應用到新的應用領域或實際問題中，因此可以說，概念是數學的基礎，概念教學應成為高等數學教學的核心與重點，它是教師教好與學生學好高等數學的關鍵。只有當教師深刻全面地理解了概念的內涵與本質之后，才能透徹地講解給出來，學生才能很好的接受，才能以此為基礎進行推理、判斷、分析等思維活動，理解數學理論體系的來龍去脈，掌握運算的技能技巧。從而獲得應用數學方法去分析問題與解決問題的能力。

在初等數學中，大多數概念都比教具體直觀，學生容易接受，再加上課時較多，進度較慢，教師由淺入深，亦步亦趨，使一般學生都不會對接受新概念感到很困難。即使有一些學生不重視概念學習只注意計算方法與技巧，但在長期與大量的練習中，由于反復接觸，潛移默化，不知不覺地對概念由知之不多過度到知之較多，逐步掌握了概念。但在學習高等數學時，情況發生了很大的改變，高等數學是研究變量的數學，常常需要用運動的觀點來討論，因此更顯得抽象、復雜。例如極限、導數、積分等概念都是初學者所不能透徹理解的，加上大學里的教學進度快，反復練習的機會少。難免會使一些新生感到不適應，概念掌握不好，以致于以概念為基礎的理論及計算方法當然也就很難學好。因此能不能用有限的時間加強概念教學就成為提高教學質量的關鍵。

二、注重概念的引入是學習概念的先導

眾所周知，數學概念都是由客觀實際或客觀規律抽象出來的。很多概念都可以在實際中找到它的“原型”。例如：從曲線切線的斜率、變速直線運動的速度的計算等問題抽象出導數概念。從求曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程等問題抽象出定積分的概念，這種方法符合學生的認識規律，學生只有透徹地理解解決這些問題的思路，才能真正地理解概念的實質及價值。因此，教師不能認為花費一定時間講解這些背景是沒有價值的、是在浪費有限的時間，因而便三言兩語草草了事或者根本不講背景，直接拿出定義，接著便是計算，一個例題接著一個例題，這是不妥當的。再者從客觀實例引進概念，也為以后應用這些概念及有關理論去解決應用問題作了一定的準備。

值得注意的是并非每一個概念都要求由實例引入，教師可靈活掌握。對于一些較易理解的概念也可以從已知的概念引出新的概念。例如：無窮小量可由極限概念中當極限值為零時來得到，連續概念也可由極限概念中極限值等于函數值來得到。而原函數的概念自然而然的可由導數的逆運算引出。這些概念對于學生來說都是不難接受的。

總之，不論是由實例抽象出概念還是由舊知識直接引出新概念，教師的主要目的應該放在使學生理解概念的形成，掌握概念的內涵上，所以所用的例子都不宜太復雜或者專業性太強，否則會造成喧賓奪主，反而影響概念的形成與引出。

三、數學概念的定義是概念屬性的體現

高等數學中的概念的具體內涵通常用定義的形式給出，有的概念還同時規定了所采用的符號。當教師以實際問題或學生的原有知識為基礎抽象出概念以后，就應引導學生理解定義所指出概念的本質屬性，從正面和反面等不通角度去反復領會，并利用自己的語言正確地敘述概念。

 以導數的定義為例，教師應該使學生層層深入，理解以下各點：

第一、由于函數 在點 處的導數是函數增量 與自變量增量 之比當 時的極限，所以該函數必須在 處及其一個領域內有定義，否則就不可導，比如： 與 在 處就不可導。

第二、函數增量與自變量的增量有不同的表示法。因此導數定義式也有不同的表示法。如： 在 處的導數可以分別表示為 與 等。當極限不存在時此函數在該點不可導。

第三、定義同時給出了求導數的三個步驟：①求函數增量 ②求函數增量與自變量增量之比 ③求極限 ，告訴學生按照這三步就可以求出一些簡單函數的導數。

    高等數學中有不少概念的定義都明確指出了計算的方法與步驟，除上述導數外，連續概念、定積分概念、級數收斂性概念等都是如此。教師在進行這類概念教學時應該花費一些力氣按定義指明的方法與步驟進行有關的計算，以加強學生對這一概念的理解。同時教師也應向學生指出按定義直接進行計算一般是很困難的，因此有必要研究其性質及別的計算法則，這樣做就可以喚起學生強烈的求知欲望。

    當然高等數學中并非所有的概念都是如此，有些概念的定義只是明確了概念的內涵，而并沒有給出計算方法與步驟，如極限的精確定義、原函數與不定積分等等。教師在這類概念的教學中，為了加深學生的理解，一般都要按定義作一些驗證工作，如：證明 ，證明 和 都是 的原函數。

學生在學習高等數學時往往有一個不良習慣，輕概念重計算，以為學習高等數學無非就是要會計算、會做題。常常有這樣的事情發生，有的學生學完了高等數學也知道 卻說不清楚符號 所表示的確切含義，更有甚者學完了高等數學卻不知道微商是什么。因此從始至終抓緊概念的教學是很重要的，這不僅要熟記定義的條文、定理的條件和結論，更重要的是透徹地掌握其本質。

四、在概念系統中學習概念

教師經常會遇到這樣的情況，有的學生學習一個概念時，以為明白了定義的本質，但是若把這個概念與其它有關概念放在一起時，就糊涂了，比如極限、連續、可導、可微之間的關系，教師都會給學生講清楚，但學生一碰到下面的問題就舉棋不定，不知道從何寫起:

設    

1)             取何值時， 在 處連續？

2)             取何值時， 在 處可導？

3)             取何值時， 的導數在 處連續？

為什么會出現這種情況呢？一方面是學生還沒有真正領會概念的本質，有的學生當時弄清楚了但缺乏鞏固措施，不久就忘了。另一方面是學生習慣孤立地學習概念，不善于把相關概念相比教，找出它們之間的聯系與區別。因此，在進行概念思維時就會出現“斷線”現象，無從下筆，或者寫不清楚。要解決這個問題，教師必須在概念系統中教會概念，學生必須在概念系統中學會概念。數學是由概念與命題等內容按一定的邏輯關系組成的知識體系。概念與概念之間總有一定的內在聯系，特別是一些相近的概念，其聯系更為突出，學生最易混淆。因此，教師在進行概念教學時要不時的將這些概念與前面所學過的相近概念相比教，找出它們的聯系與區別，前面說的極限、連續、導數、可微是如此，在此之后的四個中值定理更是如此。

總之，把概念放在概念系統中教學是教師應當把握的教學規律。教師每講一個新概念，首先必須對這一概念的地位、作用以及與其它概念的聯系做到心中有數，使學生對已學過的概念能做到融會貫通，同時，又為今后要學的新概念埋下“伏”筆。

最后要說明的是，對于工科高等數學中的概念的教學，教師必須掌握分寸。工科數學畢竟不同于數學專業的數學，應該著重于應用，而不宜在純數學理論推導上花費過多的精力，另外專業之間也應該有所區別，這些都是我們從事工科數學教學工作的教師應該注意的。

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首先是初等函數相關問題分析:

1.絕對值函數的概念及性質

絕對值函數是個很廣的概念，可分為兩大部分，一部分是絕對值施加在X上的，另一部分是絕對值號施加在Y上的，如y=|x| |y|=x 就記住絕對值號在誰上頭就把原圖像根據哪一個軸做軸對稱變換，記住這一點，不管多復雜的解析式都可以照此辦理.絕對值函數可以看作初等函數。

1.1絕對值函數的定義域，值域，單調性

例如f(x)=a|x|+b是

定義域：即x的取值集合，為全體實數；

值域： 不小于b的全體實數

單調性：當x<0，a>0時，單調減函數；

> > 增 ；

< < 增 ；

< < 減 ；

1.2絕對值函數圖象規律：

|f(x)|將f(x)在y軸負半軸的圖像關于x軸翻折一下即可，在y軸正半軸的圖像不變。

f(|x|)將f(x)在x軸負半軸的圖像關于y軸翻折一下即可，在x軸正半軸的圖像不變。。

1.3帶絕對值的函數求導，即將函數分段。

2.取整函數的概念與性質

2.1取整函數是：設x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數，并用'{x}'表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為取整函數，也叫高斯函數。任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，+∞）稱為小數部分函數。

2.2取整函數的性質：a 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對任意x∈R,函數y={x}的值域為[0,1).c 取整函數(高斯函數)是一個不減函數,即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個以1為周期的函數.e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x].　g 若n∈N+,x∈R+,則在區間[1,x]內,恰好有[x/n]個整數是n的倍數.h 設p為質數,n∈N+,則p在n!的質因數分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

3.導數的概念與性質

3.1導數，是微積分中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。。不連續的函數一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。導數另一個定義：當x=x0時，f‘(x0)是一個確定的數。這樣，當x變化時，f'(x)便是x的一個函數，我們稱他為f(x)的導函數（簡稱導數）。

3.2求導數的方法

（1）求函數y=f(x)在x0處導數的步驟：① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限，得導數.

（2）幾種常見函數的導數公式： ① C'=0(C為常數函數)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)； ③ (sinx)' = cosx；④ (cosx)' = - sinx；⑤ (e^x)' = e^x；⑥ (a^x)' = a^xlna （ln為自然對數）;⑦ (Inx)' = 1/x（ln為自然對數;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

補充:上面的公式是不可以代常數進去的，只能代函數，新學導數的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加注意。

（3）導數的四則運算法則： ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

（4）復合函數的導數

復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數--稱為鏈式法則。

4.高等函數的概念以及含義問題

4.1一元微分

1）一元微分是設函數y = f(x)在x.的鄰域內有定義，x0及x0 + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) −f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變量X改變為X+X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+X)，如果存在一個與X無關的常數A，使f(X+X)-f(X)和A·X之差是X→0關于X的高階無窮小量，則稱A·X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

2）其幾何意義為：設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

4.2多元微分

1）多元微分的概念：與一元微分同理，當自變量為多個時，可得出多元微分的定義。

2）多元微分的運算法則

dy=f'(x)dx

d(u+v)=du+dv

d(u-v)=du-dv

d(uv)=du·v+dv·u

d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

3）微分表

d(x^3/3)=x^2dx

d(-1/x)=1/x^2dx

d(lnx)=1/xdx

d(-cosx)=sinxdx

d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

高等函數中還有值定理與導數應用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數非齊次線性微分方程、向量代數與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級數等，本文就簡單的函數問題做一總結。

【參考資料】

1.復變函數論.高等教育出版社,2004,01.

2.實變函數簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.

3.高等學校教材——實變函數論. 高等教育出版社,2002,8.