緒論：寫作既是個人情感的抒發(fā)，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發(fā)表云整理的11篇高等數(shù)學講稿范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發(fā)。

篇（1）

引言

當下很多人，包括在校大學生都認為學習數(shù)學沒有用。最近，讓“數(shù)學滾出高考”的網(wǎng)帖持續(xù)升溫。在某微博上參與調(diào)查的網(wǎng)友中，超過七成把票投給了“贊成”。數(shù)學學習真的沒有用么？其實看看歷年全國大學生數(shù)學建模競賽，研究生數(shù)學建模競賽的試題題目，就可以了解到數(shù)學知識的運用無處不在。說學習數(shù)學只是為了“買菜時數(shù)數(shù)錢”更是無稽之談了。

學生總是會問：“這門課程的知識學了有什么用？”對于這樣的問題，老師往往難以給出明確的回答。原因有兩個，一個是傳統(tǒng)的數(shù)學教育主要強調(diào)數(shù)學的基礎知識地掌握，解題能力和技巧地鍛煉，而忽視了數(shù)學自身的運用價值。二是單學科的知識能夠解決的實際問題很少，尤其是對于某些基礎數(shù)學課程更是如此。著名數(shù)學家王梓坤院士說過：“今天的數(shù)學兼有科學和技術兩種品質(zhì)，數(shù)學科學是授人以能力的技術。”在教育改革正在向以培養(yǎng)學生素質(zhì)為宗旨的能力教育轉(zhuǎn)變的當下，在大學高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模的思想和內(nèi)容將會是高校數(shù)學改革的一個勢在必行的趨勢。

1. 高等數(shù)學課程和數(shù)學建模的聯(lián)系

其實數(shù)學模型并不是新生事物，自從有了數(shù)學，在運用數(shù)學解決實際問題時，必定用到數(shù)學語言和數(shù)學公式去刻畫，為了解決這個實際問題，就有了數(shù)學模型。一般來說，數(shù)學建模是通過對問題的實際背景和已知信息（這些信息可以是數(shù)據(jù)、圖片資料或者視頻資料等），對其特有的內(nèi)在規(guī)律進行研究，并運用數(shù)學工具建立一個數(shù)學結構，即用數(shù)學知識可以解釋的某種形式語言體（包括常用符號，函數(shù)符號，謂詞符號等符號集合）。高等數(shù)學中的數(shù)學課程（包括微積分，概率論，線性代數(shù)等等）中講授的知識其實是在人類幾千年的生活、勞作、實驗中總結出來的，千錘百煉的數(shù)學思想。其實也就是最基礎，最精煉，運用最為廣泛的數(shù)學模型。但是怎么讓大學生意識到這個問題，并且能將數(shù)學知識很好的運用到他們今后的學習、工作中，這是目前數(shù)學教學改革中我們必須面對，思考并解決的問題。

2.將數(shù)學建模融入高等數(shù)學教學

將數(shù)學建模的思想方法滲透到高等數(shù)學教學中， 避免了高等數(shù)學課程在授課環(huán)節(jié)中只注重理論方面的傳授，并在動態(tài)展示教學過程的同時通過實例地講解提高學生學習興趣，啟發(fā)學生思維，全面培養(yǎng)學生理解問題、分析問題的能力。將數(shù)學建模和高等數(shù)學結合應該是一個有計劃的，長期的，循序漸進的過程，而不是僅僅開設建模公選課或建模培訓班。結合現(xiàn)在高校高等數(shù)學課程的安排和學習的規(guī)律性，在整個大學學習期間，數(shù)學建模和高等數(shù)學教學相結合的過程可以通過三步實踐。

2.1 在高等數(shù)學教學中穿插數(shù)學軟件的使用

在計算機科技已經(jīng)被廣泛應用到各個鄰域的現(xiàn)代社會，讓大學生還是在脫離智能計算，而僅僅靠手動計算解題的數(shù)學教學模式顯然已跟不上時代的潮流。現(xiàn)存的已經(jīng)開發(fā)的很多數(shù)學軟件，如Mathematics，Matlab，Maple 等等，對于有簡單計算機基礎的大學生來說入門絕不是一件困難的事情。在數(shù)學基礎科目教學的過程中，有針對性的對某個數(shù)學軟件進行講解，讓學生掌握一至兩個常用數(shù)學軟件的運用方法，這樣在增強了高等數(shù)學學習的實際操作性，培養(yǎng)學生的計算機應用能力的同時，也增強了學生應用數(shù)學知識解決問題的能力。

例如微分學應用中關于泰勒中值定理的內(nèi)容是學生在微積分課程中最難接受和理解的內(nèi)容之一。原因有兩點：一是公式比較復雜，二是學生不知道學了有什么用。當然泰勒公式的運用非常廣泛。在學生最開始接觸泰勒公式時，如果我們講清楚泰勒公式在近似計算中的作用，并要求學生做實驗：如用數(shù)學軟件編寫程序，并自制一個函數(shù)值表（如三角函數(shù)表，指數(shù)函數(shù)表，對數(shù)函數(shù)表）。那么學生在記住這個公式的同時，更容易領會泰勒公式近似計算的作用，并且鍛煉了動手能力。

2.2 針對高等數(shù)學中的各個專題引入相應的數(shù)學建模例題進行講解

高等數(shù)學課程中講授的主要問題實際也就是最基礎，最精煉，運用最為廣泛的數(shù)學模型，如微積分中用微元法建立的積分，線性代數(shù)中的線性方程組，概率論中的三大概率分布，等等。當我們講解到這些知識點時，如果能在教學中結合數(shù)學建模的思想和方法，而不是簡單地給學生求解幾個應用題，那么學生對于這些知識點的體會將更深刻，學以致用的教學理念也能夠充分體現(xiàn)在教學之中。

例如在高數(shù)里關于微分方程的教學中，在學生學習完微分方程的初等解法后，引入導彈追蹤問題模型、傳染病模型和經(jīng)濟增長模型等常見的利用微分方程建模和求解的問題進行分析、講解和模擬仿真。這樣可以使得學生在掌握求解微分方程的數(shù)學理論知識的同時，充分了解微分方程的應用背景，提高學習洞察問題，分析問題的能力，增加學生對數(shù)學學習的積極性。

2.3 開設數(shù)學建模課程

大學數(shù)學課程是各個學期單獨開設，這樣在絕大部分學完所有大學數(shù)學課程的大學生腦海里，各門數(shù)學知識是離散的，獨立的，沒有任何聯(lián)系。事實上數(shù)學作為一門大的學術方向，很多內(nèi)容是互通的，可交叉的，需要結合起來共同解決實際問題。而數(shù)學建模正好為此提供了很好的平臺。數(shù)學建模的工作是綜合性的，所需要的知識是綜合各個方面的知識，所研究的問題也是綜合性的，所需要的能力當然也是綜合性的。

針對大學數(shù)學基礎科目已經(jīng)基本完成的學生，開設數(shù)學建模課程。這樣可以將大學期間離散地學習到的各門數(shù)學課程的知識和其它學科知識綜合起來，交叉起來解決實際問題。一方面是對大學數(shù)學的總結和深入，另一方面也培養(yǎng)了學生綜合分析問題，解決問題的能力，使用計算機的動手能力。真正使高校的數(shù)學教育與實際相結合，從而實現(xiàn)高等教育培養(yǎng)高素質(zhì)學生的目標。也可以組織數(shù)學建模培訓班或數(shù)學建模夏令營等活動。這給對數(shù)學建模特別有興趣和擅長的同學提供了更多學習機會和鍛煉的機會。

3.結語

每個大學生都會成為社會一個獨立的個體，學習理應是每個大學生自愿和自發(fā)的事情，老師和家長不可能永遠以任何手段和方式強迫學生學習。只有提高學生的學習興趣，才可以給學生自主學習的動力。而只有讓學生充分認識到他們所學的知識是有用的，能用的，才可以提高學生的學習興趣。將數(shù)學建模融入高等數(shù)學的教學之中，讓學生更深刻全面的了解高等數(shù)學的作用，了解數(shù)學這門學科是人類生活和工作必不可少的基礎知識和重要工具。將數(shù)學建模融入高等數(shù)學教學之中是高校重視數(shù)學教學同實際問題的結合與聯(lián)系的體現(xiàn)，是高校數(shù)學教學改革的一個勢在必行的趨勢。（作者單位：湖北工業(yè)大學理學院）

篇（2）

引發(fā)學習興趣

興趣是學習最有效的動力。孔子說：“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者”。當代著名科學家愛因斯坦也說過：“興趣是最好的老師”。對于學生來說，興趣是推動學習活動的內(nèi)在動力。學生一旦對某一學科有了濃厚興趣，就會產(chǎn)生強烈的求知欲望，誘使其主動地去學習，只有感興趣的東西，才能想方設法去了解它、掌握它。高等數(shù)學被人們認為是嚴格的硬性思維活動，如果教師在課堂上講述數(shù)學家的趣聞軼事、數(shù)學概念的起源和發(fā)展過程、古今數(shù)學方法的對比等數(shù)學故事，就能激發(fā)學生學習的興趣，收到“化腐朽為神奇”的功效，讓學生充分感受到數(shù)學的魅力，提高學習效率。如在《無窮級數(shù)》新課的引入中，先講述蠕蟲與橡皮繩的故事：一條蠕蟲在長為1公里的橡皮繩的一端點上。蠕蟲以每秒1厘米的速度沿橡皮繩勻速向另一端爬行，而橡皮繩以每秒1公里的速度均勻伸長，如此下去，蠕蟲能否到達橡皮繩的另一端點?憑直覺，幾乎所有的學生都認為蠕蟲的爬行速度與橡皮繩拉長的速度差距太大，蠕蟲絕不能爬到另一端。這時，教師給予適當?shù)奶崾荆河捎谙鹌だK是均勻伸長的，所以蠕蟲隨著拉伸也向前位移。1公里等于100，000厘米，所以在第一秒末，爬行了整個橡皮繩的1/100000，在第二秒內(nèi)，蠕蟲在2公里長的橡皮繩上爬行了它的1/200000，在第三秒內(nèi)，它又爬行了3公里長的橡皮繩的1/300000……，所以，在第n秒末，蠕蟲的爬行長度為1/1000001+(1+1/2+1/3+1/4…+1/n)。當n充分大時，這個數(shù)能否大于1？也就是括號里的和式能否大于100000呢？停頓一下，告訴學生，我們可以找到這個正整數(shù)N，使上述結果成立。也就是說蠕蟲在第N秒時已經(jīng)爬到了橡皮繩的另一端點。這時同學肯定議論紛紛，因為這個結論出乎意料，使人無不驚奇。然后問為什么會這樣？引入正題：這是因為無窮數(shù)列是一個發(fā)散數(shù)列，它可以大于任一個有限的數(shù)值。這樣引出課題，枯燥的數(shù)學內(nèi)容就變得有趣、生動，使學生樂于接受，變“要學生學”為“學生要學”，學生興趣盎然，回味無窮，且印象深刻，難以忘懷，學習效率因此而得到了顯著的提高，這樣講效果好得多。

加深對數(shù)學知識的理解

數(shù)學知識引用了大量的數(shù)學語言，這使得數(shù)學知識理解起來相對困難。在數(shù)學教學時講述數(shù)學故事還可以幫助學生克服學習中的畏難情緒、加深對數(shù)學知識的理解。如極限是高等數(shù)學中研究函數(shù)的方法，極限的概念是高等數(shù)學中許多概念的基礎，但是極限的定義卻是擺在所有學習高等數(shù)學的學子面前的一道難題。在講極限的時候不妨講述芝諾“阿基里斯和烏龜賽跑”的故事：烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜提前跑了一段，不妨設為100米，而阿基里斯的速度比烏龜快得多，假設他的速度為烏龜?shù)?0倍，這樣當阿基里斯跑了100米到烏龜?shù)某霭l(fā)點時，烏龜向前跑了10米；當阿基里斯再追了這10米時，烏龜又向前跑了1米，……如此繼續(xù)下去，因為追趕者必須首先到達被追趕者的原來位置，所以被追趕者總是在追趕者的前面，由此得出阿基里斯永遠追不上烏龜。這顯然與生活中的實際情況不相符合。古希臘人之所以被這個問題困惑了兩千多年，主要是他們將運動中的“無限過程”與“無限時間”混為一談。因為一個無限過程固然需要無限個時間段，但這無限個時間段的總和卻可以是一個“有限值”。這個問題說明了古希臘人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“無窮小量”與“很小的量”這兩概念間的矛盾。這個矛盾只有在人們掌握了極限知識之后，才能真正地了解。通過講述極限理論建立過程的故事，使學生對極限定義的產(chǎn)生過程有清楚的了解，同時也認識到極限理論對于微積分的重要性，從而加深了對極限概念的理解。

激發(fā)愛國主義熱情

在講述函數(shù)極限時，可以向?qū)W生介紹我國莊子《天下篇》中“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的記載和三國時期著名的數(shù)學家劉微的“割圓求周”(簡稱割圓術)對極限概念的貢獻的故事；在介紹定積分定義時，向?qū)W生講我國隋代建造的跨度達37米的大石橋——趙州橋，它是用一條條長方形條石砌成，一段段直的條石卻砌成了一整條弧形曲線的拱圈，這也就是微積分中“以直代曲”(“以常代變”)基本思想的生動原型；講授線性代數(shù)線性方程組的求解問題時，向?qū)W生介紹中國古代《九章算術》的歷史成就，它在世界上最早提出線性方程組的概念并系統(tǒng)總結了一次方程的解法，實際上為在線性代數(shù)中用矩陣的初等變換法提供了雛形等。還有我國近代數(shù)學家華羅庚、陳景潤等人的故事等等。由此可以看到，我們的祖國是一個歷史悠久的文明古國，我們中華民族是一個對世界文明的發(fā)展做出許多貢獻的偉大民族。我國在數(shù)學方面所取得的輝煌業(yè)績，必將彪炳千秋，從而激勵學生做一個德才兼?zhèn)洹摇θ嗣裼杏玫娜恕?　樹立辯證唯物主義的世界觀

在數(shù)學的發(fā)生與發(fā)展的過程中，概念的形成和演變，重要思想方法諸如函數(shù)、微積分、公理化、悖論等數(shù)學思想的確立與發(fā)展或重大理論的創(chuàng)立與沿革等，無不體現(xiàn)唯物辯證法的核心思想：發(fā)展、運動與變化，對立與統(tǒng)一。因此講好數(shù)學故事有利于學生形成科學的辯證觀、唯物觀，接受辯證唯物主義思想的教育。

如在無窮小量的教學中，可以講述“數(shù)學的第二次危機”的故事：隨著牛頓萊布尼茨微積分的誕生，一方面給傳統(tǒng)數(shù)學方法帶來巨大的變革，另一方面也給傳統(tǒng)數(shù)學帶來無法理解的概念與方法，突出表現(xiàn)在對“無窮小”概念的理解。1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎——無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求得導數(shù)時，采取了先給x以增量0，應用二項式，從中減去以求得增量，并除以0以求出的增量與x的增量之比，然后又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，“dx為逝去量的靈魂”。這就是貝克萊悖論，微積分由此而變得“神秘”。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？這個問題引發(fā)了數(shù)學的第二次危機，直到一個半世紀以后，柯西把無窮小定義為一個以零為極限的變量才解決。對這個悖論的解釋歸根結底是人們對變量及有限、無限的認識缺陷，這樣通過數(shù)學故事的講述，辯證唯物主義的思想直接深入到學生的頭腦中。

健全人格

“書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟”。任何一門知識的掌握，方法的獲得都必須通過艱苦的努力。如今，我國大學生大部分為獨生子女，在父母的寵愛下，吃苦能力大大降低，刻苦鉆研，積極進取的思想也少了。數(shù)學理論是數(shù)學家們經(jīng)過幾百萬年艱苦卓絕的工作，幾乎是付出了全部的心血乃至整個生命才發(fā)展至今，在教學中結合教學內(nèi)容，適當給學生介紹些數(shù)學家艱苦創(chuàng)業(yè)的故事能幫助學生樹立正確的人生觀、價值觀，健全學生人格。

如講授歐拉公式時，可以穿插歐拉的感人事跡：歐拉是有史以來最著名的四大數(shù)學家之一，他一生共寫了886篇論文和專著，其中400篇左右的論文和《積分運動原理》等經(jīng)典名著是他在失明后的17年中完成的，用這個生動的實例說明“天才就是勤奮”的道理；講述無窮級數(shù)一章中，穿插阿基米德為他的幾何研究付出了寶貴的生命的故事：公元前212年，阿基米德的家鄉(xiāng)敘拉古被羅馬人攻陷。當時，阿基米德仍在專心致志地研究一個幾何問題，絲毫不知死神的臨近。當一個羅馬士兵走近他時，阿基米德讓他走開，不要踩壞了他的圖形，羅馬士兵殘忍地用刺刀殺害了他；講“柯西中值定理”時，介紹柯西的故事；講“拉格朗日中值定理”時，介紹拉格朗日的故事；……通過介紹這些偉大數(shù)學家生平事跡及他們對數(shù)學的貢獻，不僅使學生了解了數(shù)學家的情況，更主要的是數(shù)學家艱苦創(chuàng)業(yè)、獻身數(shù)學研究的光輝事跡，可以給學生以啟迪：每一種數(shù)學方法的提出、數(shù)學定理的證明都凝聚著數(shù)學家們多少辛勤的勞動，多少心血的付出，從而激勵學生在今后的學習及未來工作中刻苦鉆研，敢于開拓，勇于進取。

培養(yǎng)創(chuàng)新意識

創(chuàng)新教育是全面實施素質(zhì)教育的重要組成部分。在數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，已成為當前數(shù)學教學最緊迫的問題。傳統(tǒng)的數(shù)學教學方式往往是“數(shù)學知識的教學”，教師只介紹數(shù)學研究的結果，課堂講的是定義、定理證明、公式、法則及例題，歷史上許許多多精彩的思想方法被排斥于我們的教材和教學之外。學生常常誤認為數(shù)學知識都是靠邏輯推理出來的。這樣的數(shù)學教學只會往學生頭腦里裝知識，學生對知識“只知其然，不知其所以然”。對于學生來說，數(shù)學學習不僅意味著掌握數(shù)學知識，形成數(shù)學技能，而且是在教師引導和幫助下的一種“再創(chuàng)造”的過程。在數(shù)學教學過程中，要逐步實現(xiàn)由傳授知識的教學觀向培養(yǎng)學生學會學習，主動思考轉(zhuǎn)變。德國數(shù)學家與教育家F·克萊因（F·Klein）認為：學生在課堂上遇到的困難，在歷史上一定也被數(shù)學家所遇到。在數(shù)學教學時，教師除了講授定義、定理證明、公式、法則及例題外，還應講述這些理論是如何被發(fā)現(xiàn)的，也就是說不光要講創(chuàng)造的結果更要講創(chuàng)造的過程，這樣可以幫助學生了解教科書中所沒有的數(shù)學創(chuàng)造的真實過程，拓寬學生的視野，對學生創(chuàng)新興趣的引導，創(chuàng)新潛能的開發(fā)，創(chuàng)新意識的培養(yǎng)以及創(chuàng)新能力的提高起到積極的促進作用。

例如，在講定積分時，可以講述“萊布尼茨與牛頓的故事”：萊布尼茨與英國數(shù)學家、大物理學家牛頓分別獨立地創(chuàng)立了微積分學，牛頓建立微積分學主要是從物理學、運動學的觀點出發(fā)，而萊布尼茨則從哲學、幾何學的角度去考慮。今天的積分號∫、微分號d都是萊布尼茨首先使用的。這樣將數(shù)學故事穿插在教學中，不僅使教材內(nèi)容更加生動，而且也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神的好方法。因為通過教師對鮮活過程的敘述與分析，學生從中領悟到抽象的創(chuàng)造性思維的形成及不斷向前推進的過程是怎樣的情形，怎樣進行創(chuàng)造性思維。學生從中可以學到數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造的經(jīng)驗和方法。這正如波利亞所說:“數(shù)學發(fā)現(xiàn)是一種技巧，發(fā)現(xiàn)的能力可以通過靈活的教學加以培養(yǎng)，從而使學生學會發(fā)現(xiàn)的原則并付諸實踐。”

篇（3）

【項目資助】 北京高等學校青年英才計劃項目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）項目編號YETP1382

科學技術是人類社會進步的根本動力.現(xiàn)代社會科技迅猛發(fā)展，數(shù)學科學也隨之有著巨大的發(fā)展和進步，尤其是數(shù)學科學與計算機技術的廣泛結合，更加確立了數(shù)學作為基礎性學科在整個科學技術中的地位.社會對數(shù)學的迫切需要，在未來的發(fā)展中無疑是與日俱增的.相應的，高等教育中的數(shù)學教育也是非常重要的，特別是高等數(shù)學這門課程，大多數(shù)的非數(shù)學專業(yè)中它都是必修課之一，它的應用也滲透到了其他各個學科里.而且，高等數(shù)學對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、分析問題以及解決問題的能力有很大的幫助.因此對于當代的大學生來講，要學好高等數(shù)學這門課程是非常必要的.但從當今高等數(shù)學教學的現(xiàn)狀來看，學生們對高等數(shù)學的認識和誤解卻令人擔憂.面對數(shù)學抽象的符號，嚴密的邏輯，高深的理論，一般人只好望而卻步.他們不理解數(shù)學，害怕數(shù)學.其實，造成這種局面的原因在很大程度上與我們的數(shù)學教育方式有關.

一、高等數(shù)學教學的現(xiàn)狀

1.教學觀念和教學內(nèi)容過于陳舊

當前的高等數(shù)學教學過程中還在某種程度上沿襲著之前的教學觀念，即大多數(shù)教師只重視數(shù)學的系統(tǒng)性、邏輯性以及嚴密性，所以在教學過程中過分的強調(diào)對學生的計算能力的訓練和邏輯思維能力的培養(yǎng)，卻忽略了對他們的應用能力和解決問題能力的提高.致使在高等數(shù)學的教學過程中，高數(shù)教材成為了一本關于抽象符號的語言集成，各種定理以及定義成為了課堂的主角，課堂教學也顯得枯燥乏味.無法使學生輕松、主動的投入到高等數(shù)學的學習中去，也就不會收到好的教學效果.

2.課堂教學的教學語言過于數(shù)學化

高等數(shù)學課程本身就有著抽象、難懂的特點.所以，學生 學習起來相對有些困難和吃力，而教師在課堂教學的過程中也比較容易陷入照本宣科的誤區(qū)中.在高等數(shù)學課堂上，部分教師在講解的過程當中用到的講述語言過度數(shù)學化， 并沒有把講解的過程變?yōu)樽约旱恼Z言，或者轉(zhuǎn)化成學生熟悉的通俗易懂的語言，這樣就會導致學生在學習數(shù)學的過程中覺得枯燥無味，缺乏積極性，甚至出現(xiàn)抵觸情緒.

二、數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學教學的必要性

針對當前高等數(shù)學教學中的問題，教師在教學過程中應注意加強相關學科知識的有機結合和滲透.也就是把數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學的教學中.這是解決目前高等數(shù)學教學弊端的最有效的選擇.

所謂數(shù)學建模，指的就是通過數(shù)學符號和數(shù)學知識來近似地描述或解決實際當中的問題，是一種將實際現(xiàn)象抽象化的數(shù)學思維模式.所以數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學科學與實際問題的紐帶，它能夠溝通和聯(lián)系不同學科的理論知識，是提高學生各學科知識水平、創(chuàng)新能力以及綜合應用能力的重要途徑.將數(shù)學建模的思想融入到高等數(shù)學的教學中，在課堂教學中介紹一些實際問題中有用的應用數(shù)學知識和方法，可以收到良好的教學效果.將數(shù)學建模思想引入到高等數(shù)學教學中的有利于培養(yǎng)和提高學生學習高等數(shù)學的興趣以及學生的解決問題的能力和綜合素質(zhì).

三、把數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學教學過程的建議

針對高等數(shù)學教學的現(xiàn)狀，以下分別從概念、定理、習題這三個方面舉例說明如何將數(shù)學建模思想有效的融入在高等數(shù)學教學中.

1.在數(shù)學概念中融入數(shù)學建模思想

數(shù)學概念是數(shù)學科學中的最基本的理論知識，也是進行數(shù)學推理和論證的前提和基礎.數(shù)學概念的理解和掌握對數(shù)學學習起著決定性的作用.

眾所周知，數(shù)學概念和知識一般都來源于現(xiàn)實當中的實際活動，是由于實際生產(chǎn)生活的需要而抽象出來的，都有其豐富的實際背景.為此，數(shù)學概念教學中就要注意結合其實際背景，既讓學生看到數(shù)學概念的前身即對應的現(xiàn)實問題，又體驗到數(shù)學概念的形成過程，更有助于理解數(shù)學概念中蘊含的數(shù)學思想.這個思想實際上就是數(shù)學建模的思想.

比如，我們在講解數(shù)列極限概念之前，先給出例子.古代數(shù)學家劉徽的割圓術問題.即當時我們還沒有圓面積的計算公式，是用圓內(nèi)接正多邊形面積來推算圓面積.最后當內(nèi)接多邊形邊數(shù)趨向于無窮多時，該多邊形面積近似的等于圓面積.這個問題我們抽象出來的話就是極限思想在幾何上的體現(xiàn).又如春秋戰(zhàn)國時期哲學家莊子對“截丈問題”的一段名言：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，這短短的12個字，隱含說明的也是極限思想.這樣再給出極限定義便會水到渠成了.通過這些實例，不僅使學生對導數(shù)的概念有一個清晰的直觀認識，又讓他們體驗到全新的思維方式.既有助于讓學生輕松深刻的理解和掌握新的概念，又能讓學生體會到，數(shù)學中的抽象概念在實際生活中的意義和應用價值.

2.在數(shù)學定理中融入數(shù)學建模思想

數(shù)學知識的實質(zhì)和精華部分主要體現(xiàn)在數(shù)學思想和數(shù)學方法上.數(shù)學定理是數(shù)學思想和數(shù)學方法的主要載體，因此，讓學生學好高等數(shù)學，定理是非常重要的.而定理的掌握包括定理的證明和應用.教師在這部分的教學內(nèi)容中也可以適當加入數(shù)學建模的思想.因為定理的證明應用過程，本身就是一個建模，求解，應用推廣的過程.通過對各個已知條件的整理、分析，找出證明思路和方法，通過這些方法證明出結論就是建模解決問題的過程.然后在將得證的定理應用到其他的理論或?qū)嶋H問題中就是模型的應用和推廣過程.這樣，在定理的證明、應用過程中既培養(yǎng)和鍛煉了學生的邏輯推理思維能力，同時又加強了他們的分析，解決問題的能力.

3.在課后習題中融入數(shù)學建模思想

通常在理論知識講解結束后，教師都會留一些相關習題，以加深學生對內(nèi)容的理解和掌握.在選擇習題時，注意結合數(shù)學建模思想，適當選擇一些實際應用問題讓學生自己進行分析.比如，在講授函數(shù)最值內(nèi)容后，聯(lián)系物理中的拋射體運動，要求學生用此內(nèi)容建立模型來研究巴塞羅那奧運會開幕式上的奧運火炬被點燃發(fā)射時的發(fā)射角度和初速度問題.要求學生用數(shù)學建模的方法，小組討論合作方式完成，最后作出總結.久而久之，就會使學生養(yǎng)成主動將所學的數(shù)學知識與實際問題聯(lián)系起來的習慣.而在這個過程中不僅使學生的數(shù)學知識得到了豐富，又使他們的綜合能力得到了提高.

四、結 語

數(shù)學建模思想是聯(lián)系數(shù)學科學與實際問題的橋梁和紐帶，也是培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才的一種重要的教學模式.將數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學教學是培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才的需要.實踐表明，將數(shù)學建模思想融入到高等數(shù)學的教學中不僅能夠有效轉(zhuǎn)變學生對數(shù)學的偏見，激發(fā)學生的興趣和積極性，而且能夠使學生了解和體會數(shù)學理論知識的實用價值，開拓他們的思維，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、應用能力以及綜合能力.但是將數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學教學的過程是復雜的，需要教師在實踐中不斷地進行摸索和研究，才能不斷的提高高等數(shù)學的教學質(zhì)量，培養(yǎng)出滿足社會發(fā)展需求的人才.

【參考文獻】

[1] 郭培俊.數(shù)學建模中創(chuàng)新能力培養(yǎng)三部曲[J] .數(shù)學教學研究，2007，（07）.

篇（4）

對文科的學生，學習數(shù)學的目的應更多放在對數(shù)學文化的認同與理解方面，而對數(shù)學知識及方法的掌握要求與熟練程度，均不應列為重點.無論是弘揚數(shù)學文化，還是增進數(shù)學教養(yǎng)，都應該是也只能是學生在學習數(shù)學的過程中實現(xiàn)的，是必須以認真學習數(shù)學知識、嚴格加強數(shù)學訓練作為載體來完成的［1］.在高等數(shù)學學習中，幾何方法在理解概念和尋求計算（證明）思路上具有不可替代的作用.

在2011年浙江省高等數(shù)學競賽（文專類）試題中有大量的問題如果采用幾何的方法，可以很容易尋求到思路求出結果來.

1.曲線的公切線

2011年浙江省高等數(shù)學競賽（文專類）的一道試題:設f可導，且x≤f（x）≤（x+2），求f′（1）.這道題目比較簡單，首先想到的用兩邊夾定理和單側導數(shù)來做.

解:因為1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1.又x-1≤f（x）-f（1）≤（x-1）（x+1）.當x>1時，1≤≤（x+1）1;當x

評注: 從幾何觀點來看，就是y=f（x）夾在曲線y=（x+1）和直線y=x之間，而拋物線y=（x+1）和直線y=x在（1，1）處相切，因此曲線y=f（x）在（1，1）處的切線正好是直線y=x.

事實上，這個結論還可以推廣如下: 曲線y=g（x）在（x，y）處的切線是y=ax+b，而曲線y=f（x）夾在曲線y=g（x）和直線y=ax+b之間，則y=f（x）在（x，y）處的切線就是y=ax+b，即f′（x）=a.此時稱曲線y=f（x）和曲線y=g（x）在（x，y）處具有公切線y=ax+b.

文專類的試題中還有一道題目可以用此方法方便求解:設狄利克雷函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)，0，為無理數(shù)f（x）=xD（x），問：f′（0）是否存在? 若存在，請求其值.

解: 因為0≤f（x）≤x，而y=x和直線y=0在點（0，0）相切，利用上述推廣后的結論可得f（x）=xD（x）在（0，0）的切線就是y=0，即f′（0）=0.

評注:這種幾何方法既直觀又簡潔.當然也可以用導數(shù)的定義直接計算.

另解（用導數(shù)定義）: f（0）=0D（0）=0.

f′（0）===xD（x）

因為x=0，|D（x）|≤1，所以f′（0）=0.證明中主要運用無窮小與有界函數(shù)之積為無窮小這一性質(zhì).

2.曲線的凹凸性

凹凸性是曲線的一種重要幾何特征，根據(jù)凹凸性可以證明很多不等式和等式問題［2］.

2011年文專類競賽壓軸題: 設f（x）≠常數(shù)，若存在常數(shù)a∈（0，1），對x，y∈R有f=af（x）+（1-a）f（y），求a的值.

解: 取x=-y可得

f（0）=af（x）+（1-a）f（-x）

因為x與y地位對稱，也可得

f（0）=（1-a）f（x）+af（-x）.

兩式左右分別做和與差就有

2f（0）=f（x）+f（-x）0=（2a-1）f（x）+（1-2a）f（-x）

如果a≠，則

2f（0）=f（x）+f（-x）0=f（x）-f（-x）

于是f（x）=f（0），這與題設f（x）≠常數(shù)矛盾.因此a=.

評注:這是一個函數(shù)方程問題，來源于文獻［3］中函數(shù)方程一節(jié).從幾何觀點來看，就是說曲線y=f（x）在任何兩點連成的弦中點的縱坐標等于弧中點的縱坐標，因此這條曲線只能是直線.或者由曲線的凹凸性可知，曲線y=f（x）既是凹的又是凸的，因此這條曲線是直線.

3.拋物線的最值

拋物線是中學階段重點學習的一元函數(shù)，其各種幾何特性對于大學生而言都是非常熟悉的，運用拋物線的幾何特征往往可以解決一些比較困難的問題.

2011年文專類的一道計算題:［x］表示不大于x的最大整數(shù)，求?蘩［x-x+1]dx。

評注:取整函數(shù)對于文科生不是難點，可以通過一些特殊的數(shù)字找出規(guī)律.但是取整函數(shù)與拋物線y=x-x+1復合后的取值就是難點了.此時，運用拋物線的圖像可知y=x-x+1開口向上，關于直線x=-對稱，當x∈（0，1）時，≤x-x+1

接下來將積分區(qū)間分割后積分即可.

文專類的另外一道計算題也是如此: 已知f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值為2，求a的值.

評注:如果直接做的話，因為是四次多項式，加上絕對值后對文科生來說比較困難.但是令y=x后，可以將問題轉(zhuǎn)化為一個關于拋物線的問題:g（y）=|y-4y-a|，y∈［0，4］，則g（y）在［0，4］上的最大值為2，求a的值.

因為h（y）=y-4y-a開口向上，關于直線y=2對稱，最小值為-（4+a），所以g（y）=|h（y）|的最大值只可能在y=0，2，4處取到，又g（0）=g（4）=|a|，g（2）=|4+a|.于是2=max{|a|，|4+a|}，如果a≥0，則上式無解，若a

另外一種做法: 令h（x）=x-4x-a，則h′（x）=4x-8x.令h′（x）=0得到駐點，x=0，x=±，又f（x）在［-2，2］連續(xù)，則f（x）只可能在x=0，±，±2處取到最大值，則2=max{|a|，|4+a|}.

高等數(shù)學（微積分）對文科學生來說，一直是一門學習難度較大的科目，一般教師把教學重點放在對基本概念的理解，以及一些簡單應用上，對于較復雜的計算和邏輯證明是不做要求的［4］.浙江省大學生高等數(shù)學競賽旨在提高學生運用數(shù)學知識解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，推動大學數(shù)學教學體系、教學內(nèi)容和方法的改革［5］.文科生的基礎相對薄弱，上述問題的分析過程對高等數(shù)學課程教學有所啟示: 在概念的引導和計算方法的思考方面結合幾何直觀會得出清晰的思路，化難為易.

參考文獻：

［1］李大潛.漫談大學數(shù)學教學的目標與方法［J］.中國大學教學，2009，（1）.

［2］盧興江，金蒙偉主編.高等數(shù)學競賽教程（第四版）［M］.杭州:浙江大學出版社，2011.

［3］裴禮文編.數(shù)學分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，1993.

［4］楊月英，馬萍.2007年浙江省高等數(shù)學（微積分）競賽試題評析［J］.考試周刊，2008，（1）.

篇（5）

校徽：

校訓：行知立身，師表立教

校風：勤奮、求實、創(chuàng)新、和諧

教風：正德、篤學、博愛、善教

學風：樂學、慎思、勵志、力行

系訓：讀書、學禮、做人；勤學、苦練、成才

辦學理念：以質(zhì)量求生存，以創(chuàng)新謀發(fā)展，以特色鑄品牌，以人本促和諧。

校徽釋義：

在著名左筆書法家、學校趙云慶老師題寫的校名和英文譯名的環(huán)繞下，構成了一片綠色、環(huán)保的生態(tài)校園。在此背景下，中間主體部分是由形態(tài)變化的拼音字母“J”、“X”組成的圖案，意為“交校”，是學校的簡稱。圖案似船舶高速運轉(zhuǎn)著的螺旋槳，似縱橫交錯的公路網(wǎng)，又似昂然挺立的立交橋。學校是由1958年創(chuàng)辦的江蘇省無錫船舶工業(yè)學校和1964年創(chuàng)辦的江蘇省無錫航運技工學校合并組建而成，圖案凸顯學校的品牌特色，船舶、路橋就是學校的品牌專業(yè)、特色專業(yè)，展現(xiàn)悠久的辦學歷史。同時充分體現(xiàn)學校的辦學特色：依托交通行業(yè)，緊貼船舶工業(yè)，服務地方經(jīng)濟。

校訓釋義：

行知立身：“行知”有知行合一、知識與實踐相輔相成之意，職校學生更要側重動手、實踐能力的培養(yǎng)，成為高素質(zhì)、技能型人才，在社會上立身、發(fā)展。

師表立教：“師表”是教師職業(yè)道德在教學中的具體體現(xiàn)，是教師對教育方針的深刻理解和準確實施，對教育事業(yè)不懈地追求和義無反顧的忠誠，對教育對象真情實意的關愛，對教學方法不斷的探討和選擇，對教學內(nèi)容不斷的革新和豐富。教師在教學中要做到“循循善誘”“誨人不倦”“傳道授業(yè)”“因材施教”。

校風釋義：

勤奮：古人云，天道酬勤。意在激勵全校師生勤奮、勤勉，鍥而不舍，奮發(fā)有為。

求實：《漢書》有“修學好古，實事求是”，指按實際情況說話、辦事、做學問。意在激勵師生堅持追求真理，實事求是，求真務實。

創(chuàng)新：原意為更新、改變，創(chuàng)造新事物。意在激勵師生勇于探索，敢于改變，善于創(chuàng)新。

和諧：指調(diào)整校內(nèi)外的各種關系和活動，使學生體驗到學校生活的發(fā)展愉悅，教師感受到職業(yè)的幸福感與成就感，學校真正成為師生的精神家園。

教風釋義：

正德：端正德行。古人云：“正德者，自正其德，居上位者正己以治民。”教師為人師表、教書育人，必須以德為先，具有高尚的道德修養(yǎng)。

篤學：《論語?泰伯》云，“篤信好學”，強調(diào)以求真務實的態(tài)度做好學問，“篤”是篤實、篤厚的意思。

博愛：出自于唐朝韓愈《原道》“博愛之為仁”，是對全人類的愛。這里是指愛學校所有的學生，要關心、愛護、幫助所有學生。

善教：出自《禮記?學記》：“善教者使人繼其志”。寓意教師既要態(tài)度和靄，孜孜不倦，又要善于講究教學技巧和教學方法，循循善誘，因材施教。

學風釋義：

樂學：“樂學”一詞，最早見于沈括《夢溪筆談?樂律二》“唐人樂學精深，尚有雅律遺法。”此詞初指有關音樂的學問，后指“樂在其中”的一種學習境界。“樂在其中”是“樂之者”的境界，學習非常投入，幾乎“陶醉”。

慎思：謹慎思考。《禮記?中庸》：“博學之，審問之，慎思之，明辨之，行之。”謹慎地思考，思考了不明白，不能罷休。

勵志：古人有很多勵志格言：“志不強者智不達”、“有志者，事竟成”、“立志不堅，終不濟事”等。“勵志”是學業(yè)做事取得成功的第一要義，只有啟迪心智，勉勵心志，磨練志氣，才能培養(yǎng)成為有用之材。寄寓學生要剛毅果敢，志存高遠，有愛國之心，報國之志。

力行：語出《禮記?中庸》：“好學近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇”。《史記?儒林列傳》：“為治者不在多言，顧力行何如耳”。指努力從事，盡力去做，身體力行實踐，腳踏實地奮斗，即學與行，理論與實踐相統(tǒng)一。

系訓釋義：

系訓是學校在進行文化建設過程中，各系根據(jù)自身的特點凝練而成的具有系部文化特色的文化品牌，是體現(xiàn)學校創(chuàng)新精神的最好注解。“讀書、學禮、做人”體現(xiàn)了高素質(zhì)的要求，“勤學、苦練”體現(xiàn)了技能型的特點及達成目標的途徑，“成才”突出了職業(yè)教育的根本目的。

讀書源自“讀萬卷書，行萬里路”，意為學習理論知識，掌握前人經(jīng)驗總結，提高文化修養(yǎng)和文化內(nèi)涵。讀書不僅是讀課堂上的書，讀專業(yè)相關的書，而且要鼓勵學生開拓眼界，博覽群書，培養(yǎng)自學的能力，提高學生的綜合素質(zhì)。

學禮是學習文明禮儀。《論語》有云：“不學禮，無以立。”將“學禮”作為系訓，是要教育全系學生遵守各項行為規(guī)范，禮貌待人，做一個能力突出、道德高尚的社會棟梁。

做人即為人處事，待人接物。學生學會如何與人交流，處理好各種人際關系是職場生存的必備技能。提倡先學做人，后學做事既體現(xiàn)系部重視以人為本、育人優(yōu)先的教育原則，又促進學生個人能力的全面發(fā)展。

勤學是指努力學習。出自唐韓愈《進學解》：“業(yè)精于勤，荒于嬉；行成于思，毀于隨。”學生只有不懈的勤奮和努力，才能打下堅實的基礎。“勤學”是督促也是號召，意在鼓勵學生主動學習。

苦練體現(xiàn)了高技能人才培養(yǎng)的途徑。技能訓練不能一蹴而就，它需要學生付出艱苦的勞動和辛勤的汗水，勉勵學生“吃得苦中苦，方為人上人。”

成才意指成為有用之才，是職業(yè)教育人才培養(yǎng)的目標。“人盡其才，物盡其用”，學生利用自身的知識和技能來為社會創(chuàng)造財富，也能成為社會的有用之才。

辦學理念釋義：

篇（6）

華力創(chuàng)通：參與項目獲得國家技術發(fā)明獎二等獎

華力創(chuàng)通（300045）公告，由北京郵電大學牽頭承擔，華力創(chuàng)通等單位共同完成的“遠海域定位導航與通信融合關鍵技術”項目獲得國家技術發(fā)明獎二等獎。該項目中，公司為第三完成單位，公司總工程師路駿為項目成果第二完成人。

高能環(huán)境：獲國家科學技術進步二等獎

高能環(huán)境（603588）公告，近日，公司與中國環(huán)境科學研究院、清華大學等單位合作完成的“填埋場地下水污染系統(tǒng)防控與強化修復關鍵技術及應用”項目榮獲國家科學技術進步二等獎。

麗珠集團：子公司利民制藥獲國家科學技術進步獎二等獎

麗珠集團（000513）公告，近日，公司全資子公司麗珠集團利民制藥廠獲得國務院頒發(fā)的國家科學技術進步二等獎，獲獎項目名稱為:中藥和天然藥物的三萜及其皂苷成分研究與應用。

大連電瓷：公司參與項目獲國家科學技術進步獎特等獎

篇（7）

關鍵詞： 數(shù)學建模；高等數(shù)學；教學

Key words： mathematical modeling；higher mathematics；teaching

中圖分類號：G652 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）30-0215-02

0 引言

高等數(shù)學課程在高等學校非數(shù)學專業(yè)的教學計劃中是一門重要的基礎理論課。通過掌握這門課程，能夠幫助其更好地學習其他基礎課和多數(shù)專業(yè)課，很多課程都或多或少的涉及到高等數(shù)學課程，它是這些課程的數(shù)學基礎。

數(shù)學建模是用圖表、程序、數(shù)學式子、數(shù)學符號等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，將抽象的實際問題轉(zhuǎn)化為可以解決的數(shù)學問題的過程。

數(shù)學建模一般分為五個基本環(huán)節(jié)：①模型設置；②模型構成；③模型求解；④模型檢驗；⑤模型應用。

數(shù)學建模涉及的問題方方面面，且千變?nèi)f化，建模過程可以說是滲透數(shù)學思想方法的過程，在不同的實際問題中數(shù)學建模可以滲透不同的思想方法和數(shù)學方法，其中思想方法主要包括探索思想、聯(lián)想思想、類比化歸和類比、等價轉(zhuǎn)化思想、邏輯劃分的思想、數(shù)形結合的思想、方程的思想等；數(shù)學方法主要包括歸納法、解析法、反證法、配方法、待定系數(shù)法、換元法、消元法等。通過數(shù)學建模，學生們能夠了解和學習到很多的數(shù)學思想方法，如此不僅能夠提高學生的綜合素質(zhì)，還能夠使學生從本質(zhì)上理解數(shù)學建模的思想（數(shù)學建模過程圖見圖1）。

1 高等數(shù)學的傳統(tǒng)教學模式現(xiàn)狀

隨著社會的進步，很多高校開始改革和創(chuàng)新自身的高等數(shù)學教學模式，但部分高校依然采用的是傳統(tǒng)的教學模式，導致其教學過程中存在以下問題：一是教學方式落后，采取的教學方法還是以“填鴨式”為主，教師過分地主導課堂，學生的主觀能動性很低，只能被動地接收教師講授的知識，不利于自身創(chuàng)造力和想象力的培養(yǎng)；二是教學過程過分重視邏輯性，忽視了應用性。當前社會對人才的要求同過去相比有了很大變化，很多企業(yè)都十分重視學生的實踐能力，而傳統(tǒng)教學模式下培養(yǎng)出來的學生普通實踐能力較弱，理論知識較扎實，如此遇到實際問題常常沒有能力解決，無法滿足當代用人單位的需求；三是學生的學習積極性不高。在傳統(tǒng)的教學模式下學生較少有機會進行自主思考和探索，多數(shù)時間都在消化教師講授的知識，長此以往下去學生由于無法體會到學習的樂趣和解決問題的成就感，很容易對學習失去興趣，如此不利于高校人才的培養(yǎng)。

2 建模思想融入高等數(shù)學教學的可行性

高職高專作為一種職業(yè)技術教育，其培養(yǎng)的學生都是應用型人才，而數(shù)學建模也旨在解決各類實際問題，兩者在這一點上目的是相同的，因此在高等數(shù)學教學中融入建模思想是可行的，具體原因分析如下：一是由于高職學生的目的就是成為應用型人才，高職學生比其它層次的學生更清楚實際生產(chǎn)問題的流程，而數(shù)學建模往往伴隨著各類實際問題，從這個角度講，高職學生更了解實際生產(chǎn)問題的流程，因此比其它層次的學生更具優(yōu)勢；二是計算機高職學生已經(jīng)掌握了一定的數(shù)學理論知識，且具有一定的解決實際問題的能力，這就使得在高等數(shù)學教學中融入建模思想具有了一定的先天優(yōu)勢，大大增加了其可行性。

3 數(shù)學建模融入到高等數(shù)學教學中的方法

將建模思想融入到高等數(shù)學教學中，學生在學習理論知識的同時還能夠進行實踐，使自身的理論知識和實踐經(jīng)驗融會貫通，從而大大提升自身的實力，具體在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模的方法如下：

3.1 弄清、搞透概念的意義

正因為實際需要才產(chǎn)生了數(shù)學概念，所以在實際的教學過程中教師應注重將抽象的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程，重視對學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)。高等數(shù)學中定積分的概念和導數(shù)的概念至關重要，其中導數(shù)的概念就是從交變電路的電流強度、物理學的變速直線運動的速度及幾何曲線的切線斜率等實際問題抽象出來的。這同時也說明了導數(shù)的概念具有廣泛的應用意義，通過掌握導數(shù)的概念可以解決生活中遇到的很多實際問題。定積分的基本思想是“化整為零取近似，聚零為整求極限”。定積分概念建立的關鍵是以局部取近似以直代曲，應抽象以常量代替變量。

3.2 加深、推廣應用問題

高等數(shù)學中的應用問題眾多，其中最具代表性的如下所示：

①最值問題。在導數(shù)的應用中最值問題是最先接觸到的問題，教學中學習到的解決最值問題的方法實際上就是比較簡單的數(shù)學建模思想。

②定積分的應用。“微元法”這一思想根植于定積分的概念，在教學過程中必須將定積分的概念進行充分的分析，使學生能夠真正地掌握和靈活應用定積分，如此采用微元法解決實際問題時才能得心應手。

③微分方程就是為了解決實際問題。利用微分方程建立數(shù)學模型尚未建立統(tǒng)一的規(guī)則方法。通常采取的步驟是：首先確定變量，分析這些變量和他們的微元或變化率之間的關系，然后結合相關學科的理論知識和相關實踐經(jīng)驗建立其微分方程，再對方程求解，并分析驗證結果。微分方程能夠解決很多實際問題，在教學過程中應本著由淺入深的原則，多舉實例。

3.3 高等數(shù)學中數(shù)學模型的案例教學

案例教學，顧名思義就是在課堂教學中以具體案例作為教學內(nèi)容，通過具體問題的建模范例，介紹數(shù)學建模的思想方法。

4 數(shù)學建模融入高等數(shù)學教學的功能和意義

4.1 數(shù)學建模的教育功能

4.1.1 數(shù)學建模課程有助于深化學生對數(shù)學的理解，樹立正確的數(shù)學觀

人們對數(shù)學的總體看法就是數(shù)學觀。在生活中我們發(fā)現(xiàn)常常有數(shù)學系的學生發(fā)出感嘆“學數(shù)學到底有什么用”，并且常常因為覺得學數(shù)學沒有用途而對繼續(xù)學習數(shù)學失去興趣，反之是一些經(jīng)常用到數(shù)學知識的學科（物理、計算機等）認為數(shù)學的作用很大。由此我們發(fā)現(xiàn)只有在實踐中數(shù)學才會發(fā)散其魅力，通過數(shù)學建模課程，學生有機會將自身學到的知識進行實踐，學習效果將事半功倍。

4.1.2 數(shù)學建模有助于訓練學生的思維品質(zhì)

曾有學者說過，思維品質(zhì)主要包括思維的敏捷性、思維的批判性、思維的獨創(chuàng)性、思維的靈活性、思維的深刻性。通過長時間的實踐我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學建模的過程中這些思維品質(zhì)都能夠得到培養(yǎng)和鍛煉。

要想建立數(shù)學模型，首先必須對實際問題有個充分的了解，基于此才能發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系，繼而解決問題。在建立數(shù)學模型的過程中，需要先將抽象的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后分析求解目標、已知條件和未知條件，要求很高的思維的深刻性和敏捷性。同時由于學生面對的建模問題是一個未知的問題，學生在建模過程中必須充分地發(fā)揮自身的想象力和洞察力，不斷地轉(zhuǎn)換思維角度，靈活應變才能完成數(shù)學建模。

此外，在完成了模型的建立后，還要進行分析和檢驗。這是一個回顧和反思的過程，在此過程中培養(yǎng)了學生的思維批判性。

4.1.3 數(shù)學建模有助于發(fā)展學生良好的非智力因素

實踐表明，當學生意識到數(shù)學的作用時，其學習熱情和主動性會更強，會更自覺地投入到數(shù)學的學習當中去。通過數(shù)學建模學生拓展了自身的知識儲備，豐富了自己的視野。不可否認數(shù)學是一門較難的學科，學生通過學習數(shù)學能夠鍛煉自身堅忍不拔的意志，不僅如此，通過和同學討論探討，還能夠培養(yǎng)自身的團隊協(xié)作能力。

4.2 數(shù)學建模的融入有利于傳統(tǒng)數(shù)學教育由“應試教育”向“素質(zhì)教育”的轉(zhuǎn)變

過去我國實行的是應試教育，現(xiàn)在我國追求的是素質(zhì)教育，素質(zhì)教育的目的是為了提高全民素質(zhì)，它注重的是教育的發(fā)展功能，是為全體學生謀福利的。

數(shù)學教育思想改變了過去少數(shù)人學習數(shù)學的現(xiàn)狀，將其變成了大眾數(shù)學，它認為學習數(shù)學不是為了考試，學習數(shù)學能夠幫助我們解決很多實際問題，數(shù)學教育思想體現(xiàn)在基礎教育中的，數(shù)學教育是面對全體學生的，而不是少數(shù)數(shù)學尖子生。

培養(yǎng)學生的素質(zhì)和能力應該有兩個方面，一是通過分析、計算或邏輯推理能夠正確、快速地求解數(shù)學問題，即運用已經(jīng)建立起來的數(shù)學模型；二是用數(shù)學語言和方法去抽象、概括客觀對象的內(nèi)在規(guī)律，構造出待解決的實際問題的數(shù)學模型。

5 結語

既然數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，數(shù)學建模不僅凸現(xiàn)出其重要性，而且已成為現(xiàn)代應用數(shù)學的一個重要組成部分。學生通過開展數(shù)學建模的訓練，能夠拓展自身的知識儲備，豐富自己的視野，提高其綜合實力，使自身成長為一名優(yōu)秀的理論知識和實踐能力兼?zhèn)涞娜瞬拧Ｒ虼嗽诟叩仍盒ｉ_展數(shù)學建模教學至關重要，它能夠幫助高校培養(yǎng)出更多的優(yōu)秀的應用型人才，真正地提高學生的綜合素質(zhì)。

參考文獻：

篇（8）

新疆高等師范院校美術教育模式需要改革，需要創(chuàng)新。有創(chuàng)新的美術教育才能培養(yǎng)出高水平的人才，出高水平的研究成果，促進高水平的社會文化的發(fā)展。長期以來，中國美術教育界對于新疆的美術教育存在著一種概念化、簡單化的模式，同時在新疆的高等美術院校的美術教學中，對于自身所處之西部地區(qū)的美術教育教學十分薄弱，有的甚至處于空白狀態(tài)。 隨著西部大開發(fā)的到來，目前正是應將新疆高等師范院校美術教育研究給予應有的關注、重新審視傳統(tǒng)的美術教育方法、認真反思我們的美術教育教學的時候了。高師藝術教育塑造著我區(qū)未來的藝術，塑造著我區(qū) 21 世紀的藝術家，為此，我們不得不關注著新疆當代的高師美術教育現(xiàn)狀，關注美術教育的發(fā)展。新疆藝術教育的前身是有新疆少數(shù)民族藝術教育，在這基礎上直接從省外藝術院校“進”的，雖然經(jīng)過近三十多年的建設，已逐步發(fā)展成為具有地方特色顯著、民族特色濃郁、專業(yè)體系。但是一個教育項目引進至一個完全不同的文化環(huán)境中時必須要考慮課程和教學方法的相關性。在知識移植時，教學和課程中文化的不同以及創(chuàng)新方法的文化差異性都是課程建設所面臨的問題。許多課程也只是直接從省外藝術院校“進”在課程的結構框架上仍然建立在外省理論體上，然而我們忽視了不同地域文化，教育模式和經(jīng)濟給我區(qū)藝術教育直接輸入所帶來得很多問題，因此許多專業(yè)課程需要適當?shù)慕忉尯捅镜鼗疚牡哪康木褪前l(fā)現(xiàn)藝術設計教育從外省到新疆的移植過程中產(chǎn)生的學科建設，師資及學生培養(yǎng)問題和面臨的挑戰(zhàn)。并對伊犁師范學院美術專業(yè)的學術地位及專業(yè)學科建設存在的問題作簡要陳述。

一.新疆高等師范院校美術教育背景

中國經(jīng)濟改革的浪潮使高等院校與全國人民一道接受了一番洗禮，市場機制的強大力量無情地沖擊著計劃經(jīng)濟體制結構的殘留和與之并存的觀念。藝術教育貴在扎實的基本功。只有功力練得深厚，才能有助于對藝術的理解和把握，在藝術的創(chuàng)造上才會獨具匠心，進入更高的境界，不致于落得平庸低俗。然而，藝術教育又不能，按照一個固定模式，一成不變地如法炮制。新疆的現(xiàn)代藝術教育雖然已有五十年的歷史，可是在教學的方法上還沒有整套的成規(guī)，新疆的教育不得不受到現(xiàn)實條件的限制，但現(xiàn)代化的目標和需求卻在呼喚著新疆的高師美術教育的變革與新生。新疆的高師美術教育既要面向地區(qū)的現(xiàn)代化建設，又要面向工業(yè)化的社會，接受來自工業(yè)化社會甚至后工業(yè)化社會的競爭與考驗，這里面臨著雙重的任務與考驗。現(xiàn)實的高師美術教育預示著未來的社會美術教育模式。反映著現(xiàn)實社會高師美術教育的面貌和發(fā)展趨勢。由于新疆的客觀的自然生態(tài)和歷史的人文生態(tài)狀況，其教育方法與研究范圍必然具有其獨特性和復雜性，這亦是新疆高等師范美術教育發(fā)展所面臨的基本問題。我們從以下幾個方面對新疆高等師范美術教育方法和范圍進行了簡要思考，略述如下。

（1）新疆高師美術教育與地域環(huán)境；不同地域產(chǎn)生不同的文化。新疆地區(qū)特殊的地域環(huán)境，為新疆美術的產(chǎn)生和發(fā)展，提供了客觀的物質(zhì)和自然條件，以致影響到該地區(qū)文化特征和民族審美心理的發(fā)展，這是新疆高師美術教育中所不可忽視的問題。

（2）新疆高師美術教育與民族關系；新疆是我國少數(shù)民族最多的地區(qū)之一。在歷史上，各民族共同創(chuàng)造了燦爛的新疆藝術，各民族的藝術同時又具有獨特的藝術形式。少數(shù)民族美術構成了古代新疆美術的主流，研究新疆美術，在很大程度上講就是研究新疆少數(shù)民族美術教育史，這種說法并不夸張。中華文化是統(tǒng)一的多民族文化，統(tǒng)一是其本質(zhì)，而多民族文化又是其內(nèi)容，只有了解和掌握了多民族文化的特色，才能更深刻地把握其統(tǒng)一的本質(zhì)。

（3）新疆美術教育與；人類的許多藝術經(jīng)典都是伴隨著宗教的發(fā)展而創(chuàng)造的，新疆地區(qū)的美術也是如此。新疆美術與宗教有著十分密切的關系，不同宗教美術都有著不同的藝術表現(xiàn)手段，不同的宗教美術也都蘊藏著不同的文化內(nèi)涵。從藝術形式上解讀宗教美術，必須了解其深刻的宗教背景。在不同宗教思想的關照下，美術的色彩、線條、結構、題材、圖形都會發(fā)生很大的變異。由于新疆自然狀況特別是復雜的人文發(fā)展狀況，因而新疆美術教育的學術化推進必須從地域、民族、宗教、文化等方面進行。不僅如此，同時還應注意其新疆的政治、經(jīng)濟、交通及生產(chǎn)方式對藝術的影響，這種影響有時是起決定性作用的。在全球化的態(tài)勢中，發(fā)展本土化的美術教育，從民族文化中汲取優(yōu)秀的傳統(tǒng)精神，用全球化視野創(chuàng)建有地方民族特色、先進的設計文化，不僅是發(fā)展經(jīng)濟、參與國際化竟爭的需要，也是建設民族新文化的時代任務和職責。為了更好地適應市場經(jīng)濟的發(fā)展，是新疆高等師范美術教育體系也不得不做出調(diào)整、開設許多應用性很強的 新興學科，

新疆的高等師范美術教育與研究正面臨新的挑戰(zhàn)。美術教育是一個巨大而科學的系統(tǒng)工程，它不是一個傳輸技能、經(jīng)驗的工具，也不是一個技術性的傳授和訓練的問題，而是一個設計觀念與創(chuàng)造力培養(yǎng)的教育。這一認識并沒有為所有美術教育工作者所接受，美術教學中以圖繪為主的傾向和設計，畢業(yè)的學生圖繪能力強而動手能力弱，模仿能力強而創(chuàng)造力弱的現(xiàn)象就說明了這一點。上述現(xiàn)象和做法可以說是我們的高師美術教育還不成熟，但其危害性是應當被充分意識到的。這一問題在我國的高師美術教育中帶有普遍性，我區(qū)更為突出。如果我們把這一問題的存在解釋為高師美術教育的歷史不長、缺少經(jīng)驗的話，這未免有點淡化了問題的嚴重性和危害性。

我認為，這至少反映了以下兩方面的問題，一是舊有經(jīng)驗性的美術教學方式和觀念仍居于支配地位，束縛著美術教育工作者的手腳，也許師傅帶徒弟的教學方式和作坊式的教學傳授在院校教學中是不存在的，但其思想觀念和影響仍可以感受得到。二是新的美術教育模式?jīng)]有建立，沒有新的合理的美術教育模式的建立與推廣，現(xiàn)代高師美術教育就不可能在完全的意義上全面展開。高師美術教育模式的成功與否，與一個國家的辦學設計能力和教育水平相適應，后者依賴于前者的進步與成功。目前我國美術教育中存在的問題同樣會在今后的新疆美術教育發(fā)展中深刻地表現(xiàn)出來。新疆美術研究與美術教育，不僅僅是研究新疆的過去，更重要的是它對于當代和未來新疆藝術的本土化、民族化發(fā)展有著不可估量的學術價值。在美術教育中，必須樹立現(xiàn)代美術教育的觀念，即必須拋棄以美術為基礎的單一教育方式，學科建設方面以繪畫類專業(yè)和應用型設計類專業(yè)為重點。高度重視技術、科學、經(jīng)濟、生產(chǎn)條件等各方面的因素，確立為大工業(yè)生產(chǎn)提供教育、為社會主義現(xiàn)代化發(fā)展提供復合性人才的方向，在培養(yǎng)和造就學生的創(chuàng)造能力方面。藝術教學實踐性較強，我區(qū)高等師范院校應從過去較為單一的美術教學模式向適應當前社會發(fā)展需要的多樣化教學實踐轉(zhuǎn)變。 隨著經(jīng)濟時代的到來，社會對應用型的藝術設計人才的需求上升到了第一位。我區(qū)高等師范院校應基于未來發(fā)展的需求，適時整合、增設新型專業(yè)（藝術設計、影像、電腦美術、動畫、攝影、服裝設計與工程等）。新辦專業(yè)以完備的繪畫類學科和工藝美術類學科為基礎，在不斷的研究、探索中，積累了豐富的、寶貴的教學經(jīng)驗，豐厚的師資、設備、圖書等資源，充分保證新專業(yè)的質(zhì)量。在講授知識點及知識系統(tǒng)邏輯關系的同時，將前沿知識、作品及當代藝術動向、當代藝術設計理念和成果作為教學資源引入課堂，充分利用多媒體等先進手段進行教學。此兩大板塊相互依存、優(yōu)勢互補，繪畫專業(yè)為設計專業(yè)完成基礎課教育提供審美價值取向，并拓展形象思維空間；藝術設計專業(yè)帶動了繪畫專業(yè)材料的更新，并引領創(chuàng)作進入更多層次的思考。我們正處在一個變革和建設的時代，而我區(qū)高等師范院校面對的是一個日新月異變化著的世界，這又涉及到了兩個問題：師資隊伍建設，學生培養(yǎng)問題。

二.師資隊伍建設與學生的培養(yǎng)

1.師資的問題。隨著我國對高等教育的日益重視，擔負著培養(yǎng)具有一定理論基礎，掌握相應專業(yè)技術人才培養(yǎng)任務的高等師范藝術院校的建設和發(fā)展越來越受到教育行政部門以及社會用人單位的高度關注。高等師范藝術院校教師隊伍的整體素質(zhì)關乎到人才培養(yǎng)質(zhì)量的提升和培養(yǎng)目標的實現(xiàn)，因此，高等師范藝術院校教師培養(yǎng)工作更加受到重視。

⑴培養(yǎng)項目設計中的培養(yǎng)目標與高師藝術院校教師隊伍建設總體目標不相符。

⑵ 培養(yǎng)項目設計時忽視專業(yè)教育特性，導致培訓項目實施的有效性不強。

⑶“雙師型”教師培養(yǎng)項目缺乏，影響了“雙師型”隊伍建設步伐。

2.學生的問題。

⑴重視扎實、厚重的基礎課教學； 強化專業(yè)技術訓練“基礎課”教學，把對平面和立體結構的研究、材料的研究、色彩的研究，以獨立的而又互相作用的形式建立在科學的基礎之上，從而使美術教育擺脫藝術家個人化、自由化、非科學化的主觀傾向；美術教育，堅持工作室（車間）制的教育模式，讓學生親自參與制作，充分發(fā)揮其潛在的創(chuàng)造能力的教學方法，突破以往紙上談兵的局限。藝術教育不同于其他人文學科，其特點是實踐性強。因此，教學要強調(diào)實踐能力的培養(yǎng)，強化基礎課教學。實踐證明，有扎實的基本功和深厚的文化底蘊而受用人單位的一致好評。

⑵重視人文素質(zhì)的培養(yǎng)，強化藝術教育； 藝術教育不是技術教育，單純的技術傳授不是現(xiàn)代藝術教育的全部內(nèi)涵，深厚的文、史、哲修養(yǎng)是視覺文化創(chuàng)作者必需的文化積淀。藝術專業(yè)需要各種專業(yè)背景的知識人才。 我們應當加強這一環(huán)節(jié)，在實踐中不斷地進行探索，研究，并通過整合學科結構，增設人文類課程，加強學生人文素質(zhì)的培養(yǎng)，切實為培養(yǎng)學者型藝術創(chuàng)作人才和研究型藝術教育人才而構建合理的人文知識體系。

⑶繼承“兼容并包”的教育理念，強化創(chuàng)新意識； 現(xiàn)代藝術領域之寬，跨學科之廣，綜合性之強是前所未有的。所以我區(qū)要繼承“兼容并包”的教育理念，既博納中西古今文化之精華，又吸收中外藝術教育的有效資源，以此營造一個寬松而充滿活力的學術與創(chuàng)作氛圍，旨在強化創(chuàng)新意識與能力的培養(yǎng)。我區(qū)高師院校應圍繞教育教學的核心任務開展學生工作，現(xiàn)代美術教育方法著重從培養(yǎng)專業(yè)復合性人才，即高等院校的教育方法的角度來進行分析。較之以往的傳統(tǒng)教育方法，現(xiàn)代設計教育應該主要強調(diào)“啟發(fā)式”、“協(xié)作參與式”和“開放式”三種教育方法，以此作為傳統(tǒng)教育方法的補充和更新基礎。

a.啟發(fā)式 這是培養(yǎng)學生創(chuàng)造能力和獨立思考能力的有效方法。

b.協(xié)作參與式參與的概念今天已為眾多的教育者所接受，它不僅提供了解決問題過程的客觀認知環(huán)境和交流的能動意義，同時，也使得美術作品擁有了存在和被廣泛理解的基礎。

c.開放式 從包豪斯起，就奠定了現(xiàn)代美術教育與實踐相結合的教育方法的基礎。

結論：新疆的高等師范美術教育應從突破和超越自身的傳統(tǒng)藝術教育框架出發(fā)，重視教育觀念的更新和教學理論的探究，努力做到以科學的、開放的、先進的教育理念指導全區(qū)的教育改革與發(fā)展。為使基礎教育適應社會發(fā)展的需求，我區(qū)高師教育引進國內(nèi)外最新的教育理念與教學方法，改革傳統(tǒng)美術教學的理論模式，做到理論與實踐的有機結合。我區(qū)高等師范院校根據(jù)本校的總體發(fā)展戰(zhàn)略，結合自身的專業(yè)特點，適時提出 “真誠辦教育、扎實辦學科、質(zhì)量求發(fā)展”這一全新的辦學思路，以培養(yǎng)學者型藝術創(chuàng)作人才、研究型藝術教育人才、應用型藝術設計人才為人才培養(yǎng)目標。

我區(qū)高等師范院校在保護傳統(tǒng)優(yōu)勢學科的基礎上，重點建設應用型學科和新興學科，同時改革教學管理模式，重點研究、探討、改革教學手段，更新教學內(nèi)容。優(yōu)化師資隊伍結構，強化人才質(zhì)量意識，通過各種制度、監(jiān)督手段，確保教學質(zhì)量，綜上所述，現(xiàn)代藝術教育可以成為美術教育的制約因素，也可以成為美術教育的促進力量。這一點，完全取決于我們的教育模式、教育體系是否適應時代的要求，取決于我們的藝術教育工作者，是否能夠及時更新觀念，建立新思維。如果把上述討論的問題加以歸納概述，只有三點：樹立全新思維，整合教育資源，建立適應時代需要的教育體系。

參考文獻：

[1] 張道一 著《工藝美術教學的一個關鍵問題》[J]2002

[2] 劉國余、張立群、顧惠忠、周宏主編《設計與設計管理研究》2006上海國際設計管理高峰論壇論文選編.上海交通大學出版社 2007.12

篇（9）

1.熟練掌握：1)函數(shù)、極限、連續(xù);2)一元函數(shù)微積分學;3)多元函數(shù)微積分學;4)無窮級數(shù);5)微分方程;6)行列式及矩陣;7)線性方程組等方面的基本概念、基本理論和基本運算;

2.具備綜合運用數(shù)學知識去分析問題和解決問題的能力;具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和運算能力。

二、考試范圍

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

1、函數(shù)

函數(shù)的定義與性質(zhì)

初等函數(shù)

分段函數(shù)

2、極限與連續(xù)

數(shù)列極限的定義與性質(zhì)

函數(shù)的極限

函數(shù)的連續(xù)性

(二)一元函數(shù)微分學及其應用

1、一元函數(shù)的導數(shù)與微分

導數(shù)的定義

求導法則和基本求導公式

函數(shù)的微分

2、導數(shù)的應用

微分中值定理

洛必達法則

函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

曲線的凹凸性、拐點

(三)一元函數(shù)積分學及其應用

1、一元函數(shù)的積分

不定積分

定積分

廣義積分

2、積分的應用

1)定積分的幾何應用

(四)多元函數(shù)微積分

1、多元函數(shù)微分

多元函數(shù)的定義

二元函數(shù)的極限與連續(xù)

偏導數(shù)及全微分

多元函數(shù)的極值

2、多元函數(shù)積分

二重積分

曲線積分

(五)無窮級數(shù)

1、數(shù)項級數(shù)

數(shù)項級數(shù)的定義與性質(zhì)

數(shù)項級數(shù)的審斂法

2、冪級數(shù)

函數(shù)項級數(shù)的概念

冪級數(shù)及其收斂性

函數(shù)的冪級數(shù)展開

(六)微分方程

1、微分方程

微分方程的基本概念

一階微分方程

一階線性微分方程及可降階的高階微分方程

二階常系數(shù)線性微分方程

(七)線性代數(shù)

1、行列式

行列式的概念

行列式的性質(zhì)與計算

2、矩陣

矩陣的概念及其運算

矩陣的初等變換

3、線性方程組

向量組的線性相關性

齊次線性方程組

非齊次線性方程組

三、考試內(nèi)容比例

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)(12%)

(二)一元函數(shù)微分學及其應用(12%)

(三)一元函數(shù)積分學及其應用(20%)

(四)多元函數(shù)微積分(25%)

(五)無窮級數(shù)(8%)

(六)微分方程(9%)

(七)線性代數(shù)(14%)

四、試卷題型及結構

篇（10）

第三十五講

不等式選講

2019年

1.（2019全國II文23）已知

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若時，，求的取值范圍.

2.（2019全國1文23）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：

（1）；

（2）．

3.(2019全國III文23）設，且.

（1）求的最小值；

（2）若成立，證明：或.

2010-2018年

解答題

1．(2018全國卷Ⅰ)[選修4–5：不等式選講]（10分）

已知．

(1)當時，求不等式的解集；

(2)若時不等式成立，求的取值范圍．

2．(2018全國卷Ⅱ)

[選修4－5：不等式選講]（10分）

設函數(shù)．

(1)當時，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范圍．

3．(2018全國卷Ⅲ)

[選修4—5：不等式選講]（10分）

設函數(shù)．

(1)畫出的圖像；

(2)當時，，求的最小值．

4．(2018江蘇)D．[選修4—5：不等式選講](本小題滿分10分)

若，，為實數(shù)，且，求的最小值．

5．（2017新課標Ⅰ）已知函數(shù)，．

(1)當時，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集包含，求的取值范圍．

6．（2017新課標Ⅱ）已知，，，證明：

(1)；

(2)．

7．（2017新課標Ⅲ）已知函數(shù)．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范圍．

8．（2017江蘇）已知，，，為實數(shù)，且，，

證明．

9．（2016年全國I高考）已知函數(shù)．

（I）在圖中畫出的圖像；

（II）求不等式的解集．

10．（2016年全國II）已知函數(shù)，M為不等式的解集．

（I）求M；

（II）證明：當a，時，．

11．（2016年全國III高考）已知函數(shù)

（Ⅰ）當a=2時，求不等式的解集；

（Ⅱ）設函數(shù)，當時，，求a的取值范圍．

12．（2015新課標1）已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍．

13．（2015新課標2）設均為正數(shù)，且，證明：

（Ⅰ）若>，則；

（Ⅱ）是

的充要條件．

14．（2014新課標1）若，且．

(Ⅰ)

求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并說明理由．

15．（2014新課標2）設函數(shù)=

（Ⅰ）證明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

16．（2013新課標1）已知函數(shù)=,=.

（Ⅰ）當=-2時，求不等式＜的解集；

（Ⅱ）設＞-1,且當∈[，)時，≤,求的取值范圍.

17．（2013新課標2）設均為正數(shù)，且，證明：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

18．（2012新課標）已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范圍．

19．（2011新課標）設函數(shù),其中．

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集為

，求a的值．

專題十五

不等式選講

第三十五講

不等式選講

答案部分

2019年

1.解：（1）當a=1時，.

當時，；當時，.

所以，不等式的解集為.

（2）因為，所以.

當，時，.

所以，的取值范圍是.

2.解析

（1）因為，又，故有

.

所以.

（2）因為為正數(shù)且，故有

=24.

所以.

3.解析（1）由于

，

故由已知得，

當且僅當x=，y=–，時等號成立．

所以的最小值為.

（2）由于

，

故由已知，

當且僅當，，時等號成立．

因此的最小值為．

由題設知，解得或．

2010-2018年

1．【解析】(1)當時，，即

故不等式的解集為．

(2)當時成立等價于當時成立．

若，則當時；

若，的解集為，所以，故．

綜上，的取值范圍為．

2．【解析】(1)當時，

可得的解集為．

(2)等價于．

而，且當時等號成立．故等價于．

由可得或，所以的取值范圍是．

3．【解析】(1)

的圖像如圖所示．

(2)由(1)知，的圖像與軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當且時，在成立，因此的最小值為5．

4．D．【證明】由柯西不等式，得．

因為，所以，

當且僅當時，不等式取等號，此時，

所以的最小值為4．

5．【解析】（1）當時，不等式等價于

．①

當時，①式化為，無解；

當時，①式化為，從而；

當時，①式化為，從而．

所以的解集為．

（2）當時，．

所以的解集包含，等價于當時．

又在的最小值必為與之一，

所以且，得．

所以的取值范圍為．

6．【解析】（1）

（2）

，

所以，因此．

7．【解析】（1），

當時，無解；

當時，由得，，解得

當時，由解得．

所以的解集為．

（2）由得，而

且當時，．

故m的取值范圍為．

8．【解析】證明：由柯西不等式可得：，

因為

所以，

因此.

9．【解析】(1)如圖所示：

(2)

，．

當，，解得或，．

當，，解得或，

或，

當，，解得或，或，

綜上，或或，

，解集為．

10．【解析】（I）當時，，若；

當時，恒成立；

當時，，若，．

綜上可得，．

（Ⅱ）當時，有，

即，

則，

則，

即，

證畢．

11．【解析】（Ⅰ）當時，.

解不等式，得.

因此，的解集為.

（Ⅱ）當時，

，當時等號成立，

所以當時，等價于.

①

當時，①等價于，無解.

當時，①等價于，解得.

所以的取值范圍是.

12．【解析】（Ⅰ）當時，不等式化為，

當時，不等式化為，無解；

當時，不等式化為，解得；

當時，不等式化為，解得．

所以的解集為．

（Ⅱ）有題設可得，，所以函數(shù)圖象與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，的面積為．有題設得，故．所以的取值范圍為．

13．【解析】（Ⅰ），，

由題設，得．

因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，則，

即．

因為，所以，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若，

則，

即．

因為，所以，

于是．

因此，

綜上是的充要條件．

14．【解析】（I）由，得，且當時取等號．

故，且當時取等號．

所以的最小值為．

（II）由（I）知，．由于，從而不存在，

使得．

15．【解析】（I）由，有．

所以≥2.

（Ⅱ）.

當時＞3時，=，由＜5得3＜＜．

當0＜≤3時，=，由＜5得＜≤3．

綜上，的取值范圍是（，）．

16．【解析】(Ⅰ)當=2時，不等式＜化為，

設函數(shù)=，=，

其圖像如圖所示，從圖像可知，當且僅當時，＜0，

原不等式解集是．

（Ⅱ）當∈[，)時，=，不等式≤化為，

對∈[，)都成立，故，即≤，

的取值范圍為(1，]．

17．【解析】（Ⅰ）得

由題設得，即．

所以，即

（Ⅱ）

即

18．【解析】(1)當時，

或或

或．

(2)原命題在上恒成立

在上恒成立

在上恒成立

．

19．【解析】（Ⅰ）當時，可化為．

由此可得

或．

故不等式的解集為或．

(?Ⅱ)

由

得，

此不等式化為不等式組

或，

篇（11）

中圖分類號： U416.1+4文獻標識碼：A 文章編號：

Abstract：Hunan Tax College of distribution room of north of slope,landslides have produced. After unloading, slope Preloading, the in a relatively stable state，But there is still potential slip trend, after surveying the professional units relevant , testing, drilling through the use of backfill, compaction, fracturing grouting of comprehensive disease managementof the slope, basically eliminates the continued subsidence of soil slope, creep slip, ensure that the lives and property, safety of the building.

Key words：Soil slope；Landslide；Grouting

概況

2008年12月上旬，湖南省稅務高等專科學校（下簡稱稅專）北向擋土墻（加油站南側地段）墻后及墻前地段產(chǎn)生了滑坡。由于學校屬重點公共場所，滑坡發(fā)生后，長沙市建委及時組織專家召開排險會，會上作出了對稅專北向擋土墻墻后卸載減壓，墻前堆載反壓的決定并組織實施，現(xiàn)滑坡處于相對穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)中國有色金屬工業(yè)長沙勘察設計研究院2009年1月10日～2009年4月6日對該校除滑坡地段外的周邊護坡進行了巖土工程詳細勘察報告，按湖南湖大土木建筑工程檢測有限公司提出的湖南稅務高等專科學校校區(qū)周邊護坡工程危險地段加固區(qū)域，為確保稅專潛在病險地段擋土墻墻后、墻前的人民生命財產(chǎn)安全，必須對邊坡土體進行灌漿加固處理。決定采用：鉆孔回填、壓密、劈裂灌漿對病害段坡體進行綜合治理，以消除邊坡土體的繼續(xù)沉降、蠕動滑移。業(yè)主選擇一滑坡嚴重地段委托我單位設計、試驗性施工，以便總結推廣。我單位組織施工隊于2010年4月30日進場進行試驗施工，同年5月15結束現(xiàn)場施工，按設計要求共施工鉆孔27個，總鉆孔432.3延米，灌注32.5Mpa水泥干粉50.75噸。經(jīng)試驗，滿足設計要求，達到了預期效果。根據(jù)這次試驗成果，業(yè)主后續(xù)對該校所有滑坡段進行了全面灌漿加固施工，總鉆孔量約10000延米。

灌漿方案、主要技術參數(shù)

2.1工程地質(zhì)條件

根據(jù)勘察報告，該邊坡地層主要有人工填土層、第四系沖積層、殘積土及基巖。各地層的野外特征及分布自上而下依次如下：

①人工填土：坡底大部分地段表層約0.30m為混凝土路面，以下屬素填土，褐紅色，主要由粘性土及卵石、磚塊等組成，硬雜質(zhì)含量為25-35%，呈很濕-飽和，結構松散，未完成自重固結，層厚0.40-14.00m。

②沖洪積粉質(zhì)粘土：褐紅色，褐黃色，夾灰白色斑塊，可見黑色鐵錳質(zhì)結核，含約10%的圓礫，具網(wǎng)紋狀結構。場地南側局部地段呈褐黃、灰白等色，含10%-45%的圓礫、卵石，粒徑為2-55mm，圓礫、卵石隨深度增加而增大，底部富集。呈硬塑、局部可塑狀態(tài)，搖震無反應，切面稍有光滑，干強度及韌性中等，層厚0.60-9.50m。

③殘積粉質(zhì)粘土：褐紅色，夾灰白色斑點，由泥質(zhì)粉砂巖原地風化殘積形成，原巖結構可辨，可見原巖節(jié)理裂隙面處黑色鐵錳質(zhì)浸染。呈硬塑狀態(tài)，搖震無反應，切面稍有光滑，干強度及韌性中等。場地內(nèi)各鉆孔均遇見該層，層厚1.00-11.30m。

④泥質(zhì)粉砂巖：褐紅色、紫紅色，主要礦物成分為粘土礦物、石英質(zhì)等。粉細粒結構，厚層狀構造。按其風化程度不同劃分為強、中風化兩帶。強風化砂巖為褐紅色，紫紅色，夾灰白色斑點，大部分礦物成分已風化變質(zhì)，節(jié)理裂隙極發(fā)育，巖芯呈短柱狀、塊狀。沖擊鉆進困難，合金鉆具鉆進較易，巖芯采取率為60-85%，巖塊用手易折斷。屬極軟巖，巖體破碎，巖體基本質(zhì)量等級為Ⅴ級。所有鉆孔均遇見該層，層厚0.80～9.30m，frk=1.0MP。其下為中風化砂巖，frk=2.4MPa。

2.2水文地質(zhì)條件

場地內(nèi)的主要地表水系為大氣降水及生活用水，擋土墻墻后大部分地表已硬化，但部分地段為綠化地，局部地段的坡面上發(fā)現(xiàn)坡面滲水現(xiàn)象。地下水主要為賦存在人工填土及第四系土層中的地下水，屬上層滯水，主要受大氣降水及地表水補給，水位變化因氣候、季節(jié)而異。一般春夏水位較高、秋冬較低，甚至局部地段消失。鉆孔內(nèi)穩(wěn)定水位埋藏深度介于0.65-11.70m之間，水位標高60.92-79.87m。場地內(nèi)各地層均為弱透水地層，其中人工填土①及粉質(zhì)粘土②層局部地段底部硬雜質(zhì)富集，滲透性較強。在場地內(nèi)及其附近無污染源存在，根據(jù)多年來長沙地區(qū)建筑工程經(jīng)驗，在土壤未被污染地段，未出現(xiàn)過土對砼的腐蝕性問題。

2.3邊坡土體產(chǎn)生沉降、蠕動位移原因分析

該邊坡為土質(zhì)邊坡，產(chǎn)生沉降、滑移的主要原因如下：

①發(fā)生在較大沉降部位的坡體介質(zhì)自上而下依次為：坡表填土、老土的接觸區(qū)域，最深處可影響到基巖與殘積土的接觸帶區(qū)域；

②坡體填土壓實度不夠，尚未完成固結，工后相當長一段時間內(nèi)，填土在完成固結的過程中，發(fā)生沉降，填土伏于斜坡上，土體厚度不均，沉降差異大導致地面開裂；

③邊坡完工及營運期，地表雨水滲透填土體到老土隔水面，使填土與老土的接觸區(qū)域積水而土體軟化、強度降低致使接觸帶蠕動下滑，最深處可影響到基巖與殘積土的接觸帶區(qū)域。表現(xiàn)為頂部路面、擋墻開裂破壞；

④附近邊坡加固施工過程中，挖孔樁抽排地下水、挖出流沙等使坡體內(nèi)部介質(zhì)流失。