緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇高中數學導數的概念及意義范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

明確的教學目標是開展高中數學教學的前提．莉萊說:“贏得好射手美名，并非由于他的弓箭，而是由于他的目標．”紀伯倫說:“人的意義不在于他所達到的，而在于他所希望達到的(目標)．”由此可見，目標的存在有著重要的意義．隨著教育模式的創新和變革，當前教育界越來越注重學生的素質教育．在高中數學教學中，教師制定教學目標需要考慮素質教育的影響．在設計教學方案時，為了迎合學生的素質發展，教師往往將教學目標設置為三個領域目標，知識技能領域、過程方法領域以及情感態度領域．針對這三個領域分別設定教學目標，并在教學中采取合適的教學方式完成目標，是培養學生的綜合能力的有效策略．例如，在講“導數計算”時，為了培養學生基本的數學能力，提高學生的運用能力，我設計了三方面的教學目標．知識與技能目標:能夠用定義求四個常用函數的導數，熟悉求導數的三個步驟，使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y=c、y=x、y=x2、y=1x的導數公式，并能運用這四個公式正確求函數的導數．過程與方法目標:通過本節的學習，掌握利用導數的定義求導數的方法．情感態度目標:通過課堂學習，體會導數與數學知識之間的聯系，培養應用意識，提高對問題的分析能力，明白數學在研究整個自然科學中的重要位置．教學目標設定之后，一切教學活動就要圍繞著教學目標進行．這樣一來，整節課就有了主心骨，讓學生知道自己該干什么，該學什么，提高學生的學習能力．

二、突出教學重點

教學重點是整節課堂中重要的內容．在高中數學教學中，教師要對教材內容進行詳細分析，尤其是教學重點和難點．一節課的主要教學內容就是重難點部分．在教學過程中，教師要將本節課的重點內容列在黑板上，時刻提醒學生，引起學生的重視．教師還要利用豐富的教學工具，強化學生的記憶，刺激學生的大腦．例如，在講“互斥事件”時，我將教學重點設置為互斥事件的概念及其概率的求法．我以探究為主導策略，為學生的探究活動精心創設問題情境，調動學生的積極性和參與性，并對學生的探究結果給出客觀性的評價．此外，我留出部分時間供學生理解和消化所學知識．我提出一個案例問題:在一個盒子內放有10個大小相同的小球，其中有7個紅球，2個綠球，1個黃球，若從盒中摸出1個紅球記為事件A，從盒中摸出1個綠球記為事件B，從盒中摸出1個黃球記為事件C，則事件A、B、C之間存在怎樣的關系?引導學生對這個案例進行分析，使學生在分析的過程中領悟本節課的學習重點———互斥事件的概念及其概率的求法．經過學生的思考和探究，再加上我在課堂上的講解和引導，學生最終明白事件A與B不可能同時發生．這種不可能同時發生的兩個事件叫作互斥事件．突出教學重點，能夠幫助學生提高學習效率，培養學生的綜合能力．

篇（2）

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）120037

在實際的學習中，很多高中學生坦言，“數學是難以逾越的鴻溝。”其原因除了高中數學本身的邏輯性、抽象性和復雜性之外，還與高中數學教師的授課方式有關。一般意義上來講，多數高中數學教師都是從認知的角度出發，將教學重點放在數學公式、數學概念、數學定理的推導與運用等方面，很少去關注學生的知識需求、內心情感等。并且“一刀切”的統一授課方式也導致很多數學基礎差的學生力不從心，他們內心被尊重、被寬容、被理解的愿望難以達成，課堂學習效率必然不高。而賞識教育承認了個體之間的差異性，滿足了學生渴望得到尊重和理解的愿望，這能夠增強學生的自信心，激發起學生內心的積極性和主動性，使其以飽滿的熱情投入數學學習中，提高課堂學習效率。

一、差異賞識，尊重學生的個體差異

賞識教育是建立在尊重基礎之上的，高中數學教師應該認識到不同學生的理解能力、思維能力以及數學基礎等各方面存在一定的差異性，這是進行賞識教育的前提。

比如，人教版高中數學教材中“平面向量”這一章共涉及五個模塊的問題，分別是平面向量的實際背景及基本概念、平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積、平面向量的應用舉例。在數學課堂上，則可進行差異賞識：數學基礎較差的學生通過自己的努力掌握了平面向量的基本概念及簡單的運算，就可適當進行肯定，“你的學習態度非常好，繼續保持下去，數學成績一定會有很大提高的”；數學成績中等的學生通過一定的練習題掌握一些簡單的綜合題型做法，即可表示鼓勵，“你的理解能力和接受能力不錯，繼續努力下去，會取得更好的成績”；而數學成績好、邏輯能力強的學生的創新性解題思路，應得到教師的贊揚，“這是一個不錯的解題思路，老師都沒想到呢！”如此，對不同學生采取不同的賞識策略，既尊重了學生的個體差異性，又可發揮出每個學生的最大潛能。

二、及時賞識，增強學生的自信心

對于每一個高中生而言，教師和同學們的肯定是非常重要的，尤其是教師肯定的言語、贊美的眼神都會大大增加學生的自信心。教師的每一句贊美都會被學生無限放大，從而產生積極向上的情緒情感，因此，對學生進行及時賞識，有利于激勵學生奮發向上。

只有及時的表揚，才是最有價值的表揚。高中數學教師要有敏銳的洞察力，要善于發現學生每一個細小的進步，并及時給予肯定和鼓勵，以增強學生的自信心，激發學生積極向上的學習狀態。比如，在數學課堂上，學生甲的課堂紀律明顯好轉，就可在其表現較好的時候，及時給予肯定；學生乙回答的問題比較有創意，就可在其回答完之后進行贊美性點評；學生丙在全校體育運動會上為班級爭得了榮譽，就可在運動會結束后及時給予表揚……因此，在對學生進行賞識性評價時，本著公開、及時的原則，會起到事半功倍的效果。

三、理性賞識，提高學生的辨識力

萬物皆有度。有的教師陷入了賞識教育的誤區，認為賞識教育就是無限的尊重學生、寬容學生、贊美學生，實則不然，只賞不罰容易演變成為不負責任的教育，容易降低學生的辨識力，甚至引發更加嚴重的后果。基于此，高中數學教師在進行賞識教育時，必須本著理性賞識的原則，掌握賞罰的尺度，注意賞罰的藝術。

在實際的數學課堂中，我始終堅持以賞識教育為主，但賞罰分明。只要發現學生有錯誤，就找機會指出來，幫助學生分析錯誤的原因，以提高學生的辨識能力。比如，在一次數學測驗中，我發現一位學生的試卷上關于“導數”相關問題錯得比較多，于是，我利用課間操時間將該生叫到辦公室，首先指出了試卷上的錯誤，并幫其分析失分原因，還專門為其講解變化率與導數、導數的計算、導數在研究函數中的應用、生活中的優化問題等與導數相關的系列問題。如此，該生明白了自己的錯誤，在不傷害其自尊心的前提下，我幫助該生補習了功課。

總之，賞識教育尊重學生的個體差異性，運用贊美的眼光看待每一位學生，有利于增強學生的自信心，是值得每一位教育工作者深入研究的新教學方法。我們相信，賞識教育的理性運用，必然能夠提高高中學生的數學課堂效率。

[ 參 考 文 獻 ]

篇（3）

現下高中學生的學習資料太多，以至于沒時間認真研讀數學教材，部分老師也將就學生在書山題海中完成教學任務，這樣做學生一時半刻不會受影響，長此以往便會給學生自身帶來許多困惑，因為長期只知其然而不知其所以然。數學教材是數學專家們歷經幾代人幾十年的智慧成果，是開展數學學習的根本依據，下面簡要談談教材在高中笛Ы萄е械鬧匾性。

一、教材就是典型的導學案

教材內容飽滿，符合學生認知狀態，是其他任何輔導書講義等不可比擬的。在高中數學教學中，把教材當作學生學習的導學案，依托數學教材開展數學教學能取得意想不到的效果。例如在導數及其應用部分的教學中，師生容易輕視導數的概念及對導數的推導過程而重視記憶各類函數的導數公式，這樣會阻礙學生今后解決數學問題。教材中導數是由變化率到瞬時變化率（瞬時速度）來刻畫的，接著再學習導數的幾何意義。若能重視對教材的研讀，就能深刻理解導數，靈學活用，更容易解決函數增減、最值問題、直線與曲線的交點問題等。

二、教材題目的設置具有代表性

教材例題或習題是命題者的重要素材來源，熟悉教材題目具有重要意義。比如：

例1：（2013，全國Ⅱ）設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知a=bcosC+csinB.求角B。

例2：（2014，廣東）在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c。已知bcosC+ccosB=2b，則 =_____。

例3：（2016，全國）ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=C.求角C。

篇（4）

長期以來,由于受應試教育的影響,不少教師重解題、輕概念,造成數學概念與解題脫節的現象。有些教師僅僅把數學概念看作一個名詞,概念教學就是對概念作解釋,要求學生記憶。而沒有看到像函數、向量這樣的概念,本質是一種數學觀念,是一種處理問題的數學方法。一節“概念課”教完了,也就完成了它的歷史使命,剩下的是趕緊解題,造成學生對概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和運用概念,嚴重影響了學生的解題質量。如何搞好新課標下的數學概念課教學?

一、概念教學中,要根據階段教學要求,準確把握教學尺度

高中數學新課程標準對每個年級、每個階段的教學都提出了明確的教學要求,教師一定要根據教材的編排意圖和階段教學要求,準確把握教學尺度,幫助學生形成正確、清晰的概念。

二、在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上理解概念

新概念的引入,是對已有概念的繼承、發展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成若干個層次,逐步加深提高。教師通過新舊概念比較分析,能使學生發現、理解新舊概念間的聯系,從而掌握概念的方式叫概念同化。因此,在概念教學中教師不能忽視“概念同化”這一獲取概念的主要形式。隨著學生年級的升高,已學知識的積累,“概念同化”應逐步成為學生獲取概念的主要形式。

三、概念教學不能忽視聯系實際

高中生學習數學,常常要通過形象、具體、直觀的感性材料,逐步抽象概括出數學概念,因此教師不能忽視聯系實際這一環節。如在起始概念教學中,教師可聯系學生日常生活實際,通過列舉學生熟悉的具體事物引入概念;在教學過程中,重視挖掘與生活實際聯系的因素,使學生掌握概念,并能夠應用概念解決生活中的數學問題。

四、對不同的概念,要采取不同的方法

有時教師只需在例題教學中實施概念教學。比如:相關關系的概念是描述性的,不必追求形式化上的嚴格,建議采用案例教學法。對比函數關系,重點突出相關關系的兩個本質特征在:關聯性和不確定性。關聯性是指當一個變量變化時,伴隨另一個變量有一定的變化趨勢;不確定性是指當一個變量取定值時,與之相關的變量的取值仍具有隨機性。因為有關聯性,才有研究的必要性。因為其不確定性,從少量的變量觀測值,很難估計誤差的大小,所以我們必須對變量進行大量的觀測。但每個觀測值都有一定誤差,為了消除誤差的影響,揭示變量間的本質聯系,我們就必須用統計分析方法。

教師可先介紹概念產生的背景,然后通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子,使學生在對具體問題的體驗中感知概念,提煉出本質屬性。如:“異面直線”概念的教學,教師可以在長方體模型或圖形中(或現有的教室中),引導學生找到既不相交又不平行的兩條直線,直接給出像這樣的兩條直線叫“異面直線”。然后教師畫出一些看起來是異面直線其實不是異面直線的圖,以完善異面直線的概念,再給出簡明、準確、嚴謹的定義。最后教師可讓學生在各種模型中找出、找準所有的異面直線,以體驗概念的發生發展過程。

有時教師可聯系其它概念,借助多媒體等一些輔助設施進行直觀教學。比如:導數是微積分的一個核心概念,它有著極其豐富的背景和廣泛的應用。在高等數學里,導數定義為自變量的改變量趨于零時,函數的改變量和相應的自變量的改變量之比的極限(倘若存在),涉及有限到無限的辯證思想,這樣的數學概念是比較抽象的,這與初等數學在知識內容、思想方法等方面有較大的跨度,學生剛接觸導數概念,往往把導數作為一種運算規則來記憶,卻沒有理解導數概念的內涵和基本思想。教師可在導數教學前要加強變化率的實例分析;利用多媒體的直觀性,幫助學生理解動態無限趨近的思想;利用APOS理論指導導數概念教學。

有時教師可在情景設計、意義建構、例題講解、課堂小結整個教學環節中實施。比如“函數”一課。我們知道函數是一個核心概念,函數思想是一種核心的數學思想方法。一位教師用三個實例(以解析式、圖像、表格三種形式給出)設計情景,以小組討論的形式讓學生自己歸納出函數概念及三要素,又用四個例題層層深入地加深對概念的理解。整堂課緊緊圍繞函數概念和思想方法進行教學,有“簡約”而“深刻”的效果。

概念是人們對客觀事物在感性認識的基礎上經過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動,逐步認識到它的本質屬性以后才形成的,數學概念也不例外。因此,數學概念的產生和發展,人們對數學概念的認識都要經歷由實踐、認識、再實踐、再認識的不斷深化的過程。學生要形成、理解和掌握基本的數學概念也是一個十分復雜的認識過程,這就決定了對較難理解的數學概念的教學不能一步到位,而是要分階段進行。

五、新概念的鞏固與運用

教師應用精選實例、設計巧題、加強練習等方法鞏固和運用概念,使學生通過概念的掌握與運用,最終掌握數學思想方法。學生認識和形成概念,理解和掌握之后,鞏固概念是一個不可缺少的環節。

篇（5）

【分類號】G633.6

數學教學是高中學科教學的重要組成部分，但受各種因素的影響，尤其是受高考指揮棒的影響，大多數的數學教學常常存在著只重知識、結論，而忽視推理過程、數學思想等情況。在這種思想指導下，在教學過程中就出現了只注重向學生傳授知識、掌握概念、記住公式等情況。可想而知，學生面對這些枯燥晦澀，知其然而不知其所以然的所謂“知識”，想學好高中數學將面臨多大困難。這不僅會使學生對學習高中數學失去興趣，而且也會使得他們產生厭學情緒，最終導數學成績滑坡。此外，數學中蘊含的人文精神以及數學之美，也就難以體會到了。所以，廣大高中數學教師在教學過程中，很有必要滲透數學文化的相關內容，讓學生不僅知其然，而且可以知其所以然；不僅可以學到數學知識，而且還能明白這一知識是誰發現的，是在什么情況下發現的，其中有什么故事，等等。這樣學生就可以了解到自己所學知識的來龍去脈，可以充分感受數學的學科價值（科學價值、應用價值、人文價值），從而提高課堂教學效果，提升學生素質。

一、數學文化的含義

數學是人類知識、意識、經驗積累的成果，在其產生、傳播、發展的過程中，蘊含在深厚的文化內涵。從學科角度看，數學可以從廣義和狹義兩個角度來看。通常來說，廣義的數學包括數學知識、數學觀點、數學方法、數學家、數學史、數學美、數學教育、數學與其他學科的融合等。狹義的數學則僅指以各類數學學科為代表的數學知識。

在現代社會中，隨著社會的發展和科學技術的進步，數學學科的內容也發生了很大的變化。數學思路、數學文化的因子在數學中已經逐漸引起了人們的重視。那到底什么是數學文化呢？雖然對此，仁者見仁，智者見智，但大多數人認為，所謂數學文化，是指在數學知識的產生、傳播、發展過程中，在與數學相關的組織內形成的對人的發展具有重要促進作用和啟迪價值的笛思考方法、數學思想觀念及數學精神品格等。在這其中，核心是數學的觀念和思維方式。可見，數學文化作為人類文化體系中的瑰寶，由于其具有獨特的魅力，，所以，數學文化已形成了一中與眾不同的文化系。

二、將數學文化融入高中數學課堂的必要性

從數學的學科特色看，它既是一門基礎性學科，也是一門工具性學科，可以說幾乎所有的學科都與其有著千絲萬縷的聯系。相應地，數學作為一種文化，與其他文化也有著密不可分的聯系。這就決定了對數學的認識，不能僅僅作為一門工具來看待，而要要讓學生從本質上視其為一種文化，一種提升自身素質必須要體驗的文化。著名學者米山國藏認為：“在學校學的數學知識， 畢業后若沒什么機會去用， 不到一兩年， 很快就忘掉了。然而， 不管他們從事什么工作， 唯有深深銘刻在頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等， 卻隨時隨地發生作用， 使他們終身受益。”所以，“從文化的角度理解數學教學”，將數學文化滲透與高中教師的日常教學中無疑將不僅僅對學生掌握數學知識產生積極作用，而且將對學生的終審素質的培養打下良好的根基。

數學文化不僅有助于提升學生的自身素質，而且對于教師提升自己文化修養，增強課堂教學效果也有著良好的作用。教師蘇軾提高了，才能更加有效地設計課堂教學，特別是將好像與高中課堂教學的無關的數學文化潤物細無聲地傳遞給學生，為學生消息數學創造良好氛圍。從而使學生愛上數學，而不至于對學習數學產生畏難情緒。

此外，對于現代教學提倡的培養學生的創新精神，數學文化也發揮著積極的啟迪作用。從數學學科特點來看，它與很多學科都有交叉，在交叉中，就意味著交流，就意味著智慧的碰撞，碰撞的結果就是創新的成果。

因此，在高中數學教學中，教師不僅要教授數學知識，而且要更加重視數學文中數序思維、數序觀念的培養。這樣，才能培養學生的創新精神，才能真正培養出符合新時代需要的人才。

三、將數學文化融入高中數學教學的方法

在課堂教學過程中介紹與所授知識相關的數學史。數學史是數學發展的歷程，其中有數學家的精彩故事，有每一個知識產生的來龍去脈，有數學文化發展的熠熠生輝的事跡。從中，學生可以體會到，知識產生的過程，學人勤奮刻苦的鉆研精神，以及他們的創新思維。從而讓學生覺得，數學不是冷冰冰的符號、公式、數字，而是蘊含鮮活故事、數學家閃光只會的人類文明的結晶。

在課堂教學中改進教學方式。在很多高中教學實踐中，不少老師還在“填鴨”，其效果是可想而知的。如果換一種方式，比如在講某一數學知識時，講一講心形線、笛卡爾葉形線、三葉玫瑰線，讓學生領略一下數學之美估計更有助于學生理解相關知識，并且能激發學生進一步學習的興趣。

此外，在課堂教學中，要要注重理論知識與實踐應用相結。換句話說，就是將抽象的理論具體化，從而讓學生覺得數序不是看不見摸不著的虛無縹緲的理論，而是可見的，與我們生活密切相關的。從而提高學生學習的興趣和數學文化素養。從另一個角度說，數學以及數學文化來源于實踐，將數學知識與實踐應用結合，更有助于學生感受數學文化。

因此，在高中數學教學中，非常有必要融人數學文化的內容，這對于提高課堂教學效果，提升學生素質，具有非常重要的意義。

參考文獻

1. 齊民友.數學與文化[M].大連：大連理工大學出版社2008.

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點評：函數定義域是高考的常考內容之一，一般情況下，函數的定義域就是指使函數解析式有意義的所有實數x的集合，但實際問題的定義域必須具有實際意義，對含參數的函數定義域必須對字母參數分類討論.在一些具體函數綜合問題中，函數定義域往往具有隱蔽性，所以在研究這些問題時，必須遵循“定義域優先”的原則.

二、函數圖象問題

點評：由于近年來高考試題加強了數形結合思想的考查，最明顯的是高考試卷中函數圖象考題的增多.要掌握一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的圖象和性質，在此基礎上，理解掌握常見的圖象平移、對稱及伸縮變換，通過對圖象的識別來考查函數的性質.

三、函數求值問題

點評：函數求值問題一直是高考常考不衰的題型，它在高考中的突出地位應引起高度重視，有關函數求值問題大多是通過利用函數的奇偶性或周期性，將未知值轉化為已知值問題.

四、函數單調性問題

（1）當01；

（2）是否存在實數a、b（a

（3）若存在實數a、b（a

（2）不存在滿足條件的實數a、b.

若存在滿足條件的實數a、b，使得函數f（x）的定義域、值域都是[a，b]，

與a

②當a、b∈[1，+∞）時，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數，

故此時不存在適合條件的實數a、b.

③當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[a，b]，

故此時不存在適合條件的實數a、b.

綜上可知，不存在滿足條件的實數a、b.

（3）若存在實數a、b（a0，m>0.

①當a、b∈（0，1）時，f（x）=1x-1在（0，1）上為減函數，值域為[ma，mb]，

與a

②當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[ma，mb]，

故此時不存在適合條件的實數a、b.

③當a、b∈[1，+∞）時，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數，

點評：函數單調性是高考熱點問題之一，在歷年的高考試題中，考查利用函數單調性的試題屢見不鮮，既可以考查用定義判斷函數的單調性，用反例說明函數不是單調函數，求單調區間等問題，又可以考查利用函數的單調性求應用題中的最值問題.函數的單調性是探索函數值域或最值的常用工具，是函數思想在解題中的具體體現，應當引起重視.解存在性問題的常用方法是先對結論做肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發，結合已知條件進行探索，由探索結果是否出現矛盾來作出正確判斷.

五、三個二次問題

例5 已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，且|AB|=4，它在y軸上的截距為-3.又對任意的x都有f（x+1）=f（1-x）.

（1）求二次函數的表達式；

（2）若二次函數的圖象都在直線l：y=x+m的上方，求實數m的取值范圍.

（2）由條件知，x2-2x-3>x+m，即x2-3x-3-m>0對于x∈R恒成立，

點評：二次函數、二次不等式、二次方程是高中數學的重要內容，它把中學數學各個分支緊緊地聯系在一起.以“三個二次”為載體，綜合二次函數、二次不等式、二次方程交叉匯合處為主干，構筑成知識網絡型代數推理題，在高考試題出現的頻率相當高，占據著令人矚目的地位.

六、函數應用問題

例6 某公司是一家專做產品A銷售的企業，第一批產品A上市銷售40天內全部售完.該公司對第一批產品A上市后的國內外市場銷售情況進行了跟蹤調查，調查結果如圖一、二、三所示，其中圖一中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關系；圖二中的拋物線表示的是國內市場的日銷售量與上市時間的關系；圖三中的折線表示的是每件產品A的銷售利潤與上市時間的關系（國內外市場相同）.

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高中階段物理學習中涉及很多抽象的物理概念及物理量，其中有很多是由導數定義的，這些物理量一般反映某物理量關于時間或位置坐標變化的快慢即變化率，它往往具有瞬時性，屬于狀態量.學生因為不能直觀地定義它們，所以對概念和物理量的記憶、理解、運用產生了障礙.如果弄清了導數，理解和求解這些反映變化率的物理量就變得簡單多了.例如：速度可理解為位置坐標對時間的變化率及V=ΔxΔt=x′（t）；加速度可理解為速度對時間的變化率a=ΔVΔt=V′（t）；感應電動勢可理解為磁通量對時間的變化率E=ΔΦΔt=Φ′（t）；力可理解為動量對時間的變化率F=ΔpΔt=p′（t）；另外還有線速度大小V=ΔlΔt=l′（t）、角速度ω=ΔφΔt=φ′（t）、電流強度i=ΔyΔt=q′（t）等等.

二、運用導數幾何意義討論物理中極值問題

中學物理問題中經常出現極值問題，處理方法很多，常見的有三角函數法、配方法、不等式法、判別式法、求導法等等.其中求導是一種最通用的方法，因為求導法可以適用于各類函數.如：三角函數、指數函數、冪函數等.運用導數求極值首先要搞清導數的幾何意義.導數的幾何意義：函數f（x）在x0處可導，其導數值f ′（x0）表示曲線y=f（x）在（x0，y0）切線的斜率.若f ′（x0）=0，函數f（x）在x0處取極值.運用求導討論物理學中極值問題就是根據導數的幾何意義來求.先寫出物理量變化的函數關系，然后圖1求導，令導函數為零得到極值條件，最后代入原函數求出極值.

下面通過常見實例介紹這種方法.

例我們經常討論真空中兩固定的等量同種點電荷中垂線上各點電場強度隨位置變化的規律，雖然通過電場線分布可以得到定性結論，但不夠嚴謹具體.可以利用導數來做簡單的分析.設它們電荷量均為q，相距為r，沿任意一條中垂線建立x軸，中點O為坐標原點，如圖1所示.則x軸上各點電場強度

E=2kqx（x2+r24）3，求導得E′（x）=2kq（r2/4-2x2）（x2+r24）5

令E′（x）=0，得到極值條件x=±24r和x=±∞，再將條件代入即可以求極值.這里應注意，討論電場強度大小時o點也取極值，討論時要撇除負號對問題的影響，因為電場強度的正負只表示方向不表示大小.

三、運用導數和高階導數擬合物理量變化函數圖像

導數幾何意義中指出，一階導數能反映函數圖像的單調性，二階導數能反映函數圖像的“凹凸”性.一階導數為正值表示遞增、負值表示遞減；二階導數為正值表示圖像“凸起”，負值表示圖像“凹陷”.這一特點在擬合常見的物理量變化函數圖像中運用的十分廣泛.中學物理中關于一階導數運用例子較多，但擬合物理量變化函數圖像時很多師生沒有深入去討論，導致圖像不能反映客觀規律.下面就列舉一個典型的例子.

例如討論純電阻電路時，閉合電路電源輸出功率P隨外電阻R的變化關系通過不等式或求導的方法很容易得到大致的變化關系，并求出最值.若要擬合P-R的函數圖像就不太容易了.首先P隨R增大先增大后減小，會得到如下可能圖像.這幾個圖像在一些教學雜志和教輔資料上都出現過，哪個圖像客觀反映P-R的變化規律呢？

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一、問題的提出

在新課程改革中，教材在必修與選修中都引入了向量，其目的很明確，即為研究平面幾何、空間幾何問題提供新的研究手段，充分體現向量的工具性.向量這個既有大小又有方向的量，不僅從“數”的方面可以運算，也可以從“形”的方面巧妙呈現，所以高中數學中向量的問題，往往比較靈活，而其中數量積問題（也稱內積），既考查數量積概念及幾何意義的靈活運用，又考查幾何圖形性質的應用，學生往往無從下手.究其原因，發現不少學生只是粗淺地記憶數量積公式，沒有站在向量整個模塊的高度來審視數量積.

向量數量積不同于向量的線性運算，因為它的結果是數量，不是向量.向量數量積與距離、夾角等緊密聯系，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.但是作為工具性的章節，向量的考查往往又與三角函數、解三角形、圓、函數與導數等交匯，綜合強度大，學生往往困于破解的突破口，本文將追根溯源，探求數量積概念的本源，揭示處理數量積問題常用的幾種角度.

二、數量積的定義及其意義

三、平面向量基本定理與數量積的坐標表示

平面向量基本定理是向量坐標表示的理論基礎.直角坐標系中與x軸、y軸方向相同的單位向量是它的一組正交基底，平面內任何一個向量都可由一對有序實數（x，y）表示.這樣建立了向量的坐標表示與點的坐標表示的對應關系，把向量（以原點為始點的有向線段）與點對應起來.

由此可見，合理選擇基底，把所求向量都用基底轉化，再進行數量積運算，則可以有效計算出數量積.這是從選擇基底的角度轉化表示數量積，體現了化歸與轉化的思想.

用坐標法解決幾何問題的基本過程就是：合理建系，坐標表示，向量運算，化簡結果，最后再把向量運算結果翻譯成幾何結論.

若能方便建系，表示所求點的坐標，則可快速表示數量積.這是從坐標化的角度表示數量積.這兩個角度可以說是從教材中數量積這一節與前后兩節知識聯系而挖掘出來的.

評析：由單位圓出發，建系，使用三角函數定義設點，表示所求向量坐標，數量積一運算，貌似復雜，但繼續算下去經三角變換，發現可以合并成一個三角函數，利用三角函數有界性可快速求出最值.真是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”！而還可以求出最小值或范圍.相比于前兩種角度，第三種角度思維量小，計算量也不大，抓住三角函數定義這個本質，較徹底地認識?的變化情況.

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一、注重導數的幾何意義

導數的幾何意義是高考涉及導數知識時經常考查的一個知識點，如求切線的斜率、求切線的方程等，難點在于對其幾何意義的正確理解.

例1 （2008江蘇8）直線y=1[]2x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實數b＝.

解析 求曲線的切線（包括給出的點在或不在已知曲線上兩類情況）為主要內容，求切線方程的難點在于分清“過點(x0,y0)的切線”與“點(x0,y0)處的切線”的差異.突破這個難點的關鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里：在過點(x0,y0)的切線中，點(x0,y0)不一定是切點，點(x0,y0)也不一定不在切線上；而點(x0,y0)處的切線，必以點(x0,y0)為切點，則此時切線的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切線方程的常見方法有：①數形結合.②將直線方程代入曲線方程利用判別式.③利用導數的幾何意義.

二、強化導數的基本運算及簡單應用

導數的基本運算是導數應用（單調性、極值、最值）的基礎，是高考重點考查的對象，考查的方式以填空題為主.

例2 （2009江蘇3）函數f(x)=x3-15x2-33x+6的單調減區間為.

解析 對于導數的復習，應該立足基礎知識和基本方法，應注意以下幾點：

（1）在求導過程中要緊扣求導法則，聯系基本函數求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要注意適當恒等變形.（2）用導數法研究函數的單調性、極值及最值時要特別注意函數的定義域，因為一個函數的導數的定義域可能和這個函數的定義域不相同.（3）近年高考中經常出現以三次函數為背景的問題，復習中應加以重視.

三、加強利用導數研究函數性質問題的研究

運用導數的有關知識，研究函數的性質是歷年高考的熱點問題.高考試題常以解答題形式出現，主要考查利用導數為工具解決函數、方程及不等式有關的綜合問題，題目較難.

例3 （2011江蘇19）已知a，b是實數，函數f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分別是f(x),g(x)的導函數，若f′(x)g′(x)≥0在區間Ⅰ上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區間Ⅰ上單調性一致.

（1）設a>0，若函數f(x)和g(x)在區間［-1,+∞)上單調性一致,求實數b的取值范圍；

（2）設a

解析 這類問題常常涉及求函數解析式、求參數值或取值范圍問題.解決極值、極值點問題轉化為研究函數的單調性，參數的取值范圍轉化為解不等式的問題，有時須要借助于方程的理論來解決，從而達到考查函數與方程、分類與整合的數學思想.

四、運用導數解決實際問題

近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，因此要學會應用導數解決有關最優化的問題及即時速度、邊際成本等問題，學生要有運用導數知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力.實際應用問題的考查將是高考的又一熱點.

例4 （2010江蘇）將邊長為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=(梯形的周長）2[]梯形的面積,則S的最小值是.

解析 解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數.把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題，再化歸為常規問題，選擇合適的教學方法求解（尤其要注意使用導數解決最優化的問題）.

通過以上考點回顧和熱點分析，我們在導數的復習備考中須要注意以下幾個問題：

1.要把導數的復習放在函數大背景下來復習.同時注意定義域優先、函數方程的思想、數形結合思想、分類討論思想、恒不等式問題常見處理方法，等等.

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（一）聚焦導數高考

1.導數考綱解讀

了解導數概念的實際背景，理解導數的幾何意義. 能用給出的初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.能求復合函數（僅形如f（ax+b））的導數.理解函數單調性和導數的關系，能用導數研究函數的單調性.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求（不超過三次）函數的單調區間和極值，會求閉區間上函數的最值.掌握用導數解決實際生活中的優化問題的方法和步驟，如用料最少、費用最低、消耗最省、利潤最大、效率最高等.掌握導數與不等式、幾何等綜合問題的解題方法.

2.縱觀近年導數高考

利用導數處理函數、方程和不等式問題是高考必考的內容，常以大題的形式出現，并有一定的難度，往往放在解答題的后兩題中的一個.試題考查豐富的數學思想，如函數與方程思想常用于解決函數與方程的相關問題，等價轉化思想常用于不等式恒成立問題和不等式證明問題，分類討論思想常用于判斷含有參數的函數的單調性、最值等問題，同時要求考生有較強的計算能力和綜合問題的分析能力.縱觀近幾年各地的高考題，對于導數知識常見的考點有，導數幾何意義的應用，導數運算和解不等式相聯系，利用導數研究函數的單調性、極值、最值，研究不等式的綜合問題和實際問題的最優解問題.

3.2014年導數命題趨向

伴隨教育教學改革的深入開展，提高學生能力的問題越來越引起重視.由高考命題原則，每年試題追求“能力立意”，但基本平穩.縱觀近年高考分析，求導公式和法則及導數幾何意義是高考熱點，題型既有選擇、填空，又有解答，難度中檔左右，在考查導數概念及運算的基礎上，又注重與解析幾何知識的交匯命題. 以導數的幾何意義為背景設置成導數與解析幾何的綜合題為主要考點，重點考查運算及數形結合能力 .利用導數研究函數的單調性和極值一直是熱點，有小題和解答題，小題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，解答題主要考查導數與函數單調性、導數與方程和不等式的綜合應用.利用導數來研究函數的最值及生活優化問題成為高考的熱點，試題大多有難度，多與函數的單調性、極值結合命題為考向，考生學會做綜合題的能力.微積分基本定理是高中數學的新增內容，考查的頻率較低，難度較小，且均以客觀題出現，重在基礎知識、基本方法的考查.

（二）重視一題多解，鼓勵創造性

隨著高中課程改革的不斷深入，新課標的不斷推進，《考試大綱》強化主干知識，從學科整體意義上設計試題，強調數學思想和方法，深化以能力立意，突出考查能力與素質的導向，堅持數學應用，考查應用意識.開放探索，考查探究精神，開拓展現創新意識的空間，適當增加開放型的試題，鼓勵有創造性的解答.筆者結合這一高考要求，選擇了一道以導數方法為工具的函數問題“2010年高考新課標全國卷文科數學試題的21題（Ⅱ）小題”，并以一題多解的形式作出了如下探究，其目的在于引領我們的學生不要拘泥于標準答案，要大膽放手自我嘗試與探究，充分挖掘自己的創造能力，逐步培養自己采集信息、推演信息、驗證和計算信息的能力.

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1.1 集合模塊

1.1.1 考試內容與要求:主要考察集合、子集、交集、并集、補集。要求理解它們的概念;了解空集和全集的意義;了解屬于、包含、相等關系的意義;掌握有關術語和符號,并會用它們正確表示一些簡單的集合。

1.1.2 命題趨勢:①集合是中學數學基本概念之一,有關集合的高考題往往體現集合的概念、運算、語言及簡單的運用,經常作為工具廣泛運用于函數、方程、不等式、三角及曲線軌跡等知識中,在高考中占有重要地位。②考點是集合與集合之間的關系,近年高考試題加強了對集合的計算、化簡的考查,并向無限集發展,考查抽象思維能力。一般以選擇題形式出現,難度為易。

1.1.3 應試對策:①掌握術語、符號,加強集合之間關系題目的訓練,注意利用幾何直觀性研究問題(文氏圖、數軸);②注重數學思想的掌握,以數形結合(文氏圖、數軸)、分類討論思想為主;③注意特殊題型的解法。

1.2函數模塊

1.2.1 考試內容與要求:主要涉及函數、映射、函數單調性、奇偶性、函數圖象的性質。了解映射的概念,理解函數概念,掌握對應法則、圖象等有關性質。高考對于對應關系、定義域、值域的考查要高于課本題目水平,對于函數單調性、奇偶性的考查需結合定義及圖象輔助進行解題。近5年,高考試題經常在函數與方程、不等式、數列、解析幾何等知識的交匯點編制試題,其特點體現在三個方面:問法新穎;背景新穎;與其他知識結合巧妙。

1.2.2 命題趨勢:在整個高考中單純的函數本身的綜合,客觀題中每年必考,以考查運用函數思想解題為目的的新題經常出現,而解答題中,近年純粹函數考題很少,與導數、不等式等相結合的題目幾乎每年必考,而且分值較大。

1.2.3 應試對策:①建立良好的知識體系是前提;②審清題意,把握本質,展開聯系,運用由一般到特殊、轉化化歸、分類討論等數學思想把較為復雜的問題簡單化;③注意加強函數與其他知識交匯點的題型的剖析和訓練。

2必修2模塊分“立體幾何”與“直線和圓”兩個章節

2.1 立體幾何模塊

2.1.1 考試內容與要求:主要考察三視圖、平面及其基本性質,平面圖形的斜二側畫法,平行直線,直線和平面平行的判定與性質,直線和平面垂直的判定與性質,平面間平行與垂直的判定與性質。

2.1.2 命題趨勢:直線與平面的位置關系是研究立體幾何的核心,其中既有單獨考查直線與平面位置關系的試題,也有以空間角、距離、或簡單幾何體的計算為載體考查直線與平面位置關系的試題。各種題型均有,考查邏輯思維能力。

2.3應試對策:①熟練掌握定義、判定與性質定理,并能夠進行三種語言的相互轉換;②綜合法、分析法相結合,適當添加輔助線尋找證明思路;③充分利用身邊的物體,提高空間觀念,如教室是長方體,紙是平面,對折可看成二面角等;④平行、垂直是考核重點可將有關定義、定理包括習題中的一些結論,按照三種語言歸納整理成表格形式,便于理解記憶。

3解析幾何模塊“直線和圓”

1. 考試內容與要求:理解直線的傾斜角和斜率的概念及關系,掌握斜率公式,掌握直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式及其使用條件;掌握圓的標準方程和一般式方程,熟練掌握直線與直線、圓的位置關系。