緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇學籍證明范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

1.學生有怪問時，延時評價可提供一個敢于釋疑的環境

課堂教學中，當學生提出某些古怪、幼稚、甚至是荒誕的“怪論”時，常引來教師迫不及待的否定，無形中撲滅了學生創造的火花，挫傷學生的積極性.因此，教師千萬不要及時評價，而應通過延時評價的方法，鼓勵學生敢于思考、敢于與眾不同、敢于發現和挑戰，然后及時轉換角色、轉換角度，走進學生的內心世界來解決問題.

22

xy

例1.1在學習“雙曲線的幾何性質”時，總有學生提出這樣的問題：“當x=0時，方程-=1

22

ab

沒有實根，為什么還要將點B1（0，-b）,B2(0,b)在y軸上表示出來，并稱B1B2為虛軸？”等等。

這些似是而非的問題是多么富有創意！從教學實踐看，怪問就是一顆創造的種子，它埋在學生的心里。這顆珍貴而嬌嫩的種子，只有在教師的精心呵護和培育下才會生根發芽。

2.問題有多解時，延時評價可提供一個敢于質疑的環境

在數學學習中，我們經常會碰到可以從不同角度、不同側面來解決的問題.解決這樣的問題時，教師對課堂上學生提出的解決問題的方案要采用延時評價，不能過早地給予及時的終結性的評價，否則會扼殺其他學生創新思維的火花.

2222

例2.1已知實數a，b，x，y滿足a+b=4，x+y=9，求ax+by的最大值.

生：令a=2cosα，b=2sinα，x=3cosβ，y=3sinβ，則ax+by=6(cosαcosβ+

sinαsinβ)=6cos(α-β)。故當cos(α-β)=1時，ax+by的最大值為6

教師一聽，答案完全正確，情不自禁地說：“非常正確！和老師想得一模一樣.其他同學呢？”哪知道

剛才舉起的那些手“唰”地不見了！頓時，教師不知所措，不知道自己到底做錯了什么……

正常情況下，由于受思維定勢的影響，新穎、獨特的見解常常出現在思維過程的后半段，也就是我們常說的“頓悟”和“靈感”.因此，在教學中，教師不能過早地給予評價以對其他學生的思維形成定勢，而應該靈活地運用延時評價，讓學生在和諧的氣氛中馳騁想象，使學生的個性思維得到充分發展.

3.思維受挫時，延時評價可提供一個敢于析疑的環境

案例3.1在利用不等式求最值時，有這樣一個思維受挫的教學片段：

sinx2

求函數y=+〔0＜x＜π〕的最小值.

2sinx

sinx2

生：利用平均不等式，y≥2.=2

2sinx師：以上不等式能取到“=”嗎？

生：因為sinx≠2，所以等號取不到，這樣解錯了.

篇（2）

一、科技與道德的關系

一直以來,關于科技與道德的關系,學術界有不同的看法:一是科學技術自善論,認為科學技術的發展,會使人們的道德水平自然而然地提高;二是科學技術罪惡論,認為科學技術的發展,不能提高人們的道德水平,反而會使人們的道德越來越墮落;三是科學技術或善或惡論,認為科學技術的發展,既能提高一部分人的道德水平,又會使一部分人的道德品質敗壞;四是科學技術善惡并進論,認為隨著社會的進化,善惡是并進兼行。倫理學者認為,科技與道德是相互作用,相互影響,辯證的關系:一是科技發展有利于道德的提高。科學技術的發展,必將促進生產力和生產關系的矛盾運動,使社會由低級向高級發展,從而推動著人類道德的進步;二是科技的作用有一定的歷史范圍。一方面是廣大勞動人民的道德水平隨著他們所從事的物質生產和科學技術的發展而日益進步;另一方面少數剝削者的道德水平隨著其特殊利益的發展和整個階級的沒落,他們的道德又必將隨之墮落;三是科技不能作為判斷道德水平的直接標準。科學技術的發展,雖然可以直接或間接地對人類的道德狀況發生這樣或那樣的影響,但判斷一個社會的實際道德水平,應該主要以居于這個社會的主導地位的道德的基本原則和主要規范為依據。隨著社會的發展,科學技術不斷為人類所用,給人類創造了巨大的福利;另一方面兩次世界大戰的爆發、環境問題的出現等使科學所產生的負效應不斷呈現并擴大。科技工作者是科學技術活動的主體,他們如何從事科技活動在很大程度上決定著科技活動的走向,科技工作者積極而又慎重地從事科學研究,發展科學技術,使之造福于人類才是具有道德的。換言之,科學技術只要有利于生產力的發展,社會的進步,人類社會的發展,它就是合道德的,反之,就是不道德的。

二、科學技術合道德的思辨

如果說,科學技術合道德,它的合理性表現在:一是科技進步影響倫理道德的發展。首先科學技術作為人類一種實踐活動,本身需要道德規范,因而科學技術發展本身會孕育出一定的道德觀念,即科技道德;其次科學技術的發展,正確地揭示了客觀世界的規律,使人們獲得對客觀世界的科學認識,直接導致人們原先由于愚昧迷信而形成的倫理道德觀念被更新;最后科學技術的一些新成就及其運用直接引起人們之間新的倫理關系,從而引發人們作新的道德思考,促進倫理道德的進步;二是科技進步需要倫理道德的正確引導。隨著現代科學技術對倫理道德影響的加強,科學技術越來越具有道德的性質和倫理意蘊,科學技術的發展只有在正確倫理道德的引導下,才能更好地發揮其積極效應,使之朝著造福于人類的方向健康發展,科學技術發展給社會、倫理道德所帶來的消極影響也只有通過道德調節才能加以消除和緩解。以克隆技術為例,通過克隆技術可能使人類的壽命得以延長,也可以替換人的器官,來挽救人類生命和治愈人類疾病,這是符合于人類的道德目的的。然而,它違背了倫理學的不傷害原則、自主原則、平等原則,給倫理學造成了巨大的沖擊,應盡早采取對策,建立生殖醫學法規和生命倫理研究機構,讓更多的人享受高科技帶來的優惠,使其造福于民,也讓我們人類遠離克隆所帶來的災難,使克隆技術這一科學成就與倫理道德的沖撞而產生的不利影響降到最低。

三、科學技術不合道德思辨

科學技術發展對倫理道德不僅帶來積極的影響,也產生了消極的影響。其負面效應主要有這樣幾種表現:一是由于科學技術的進步能創造巨大的物質財富,這使得科學技術的發展有可能膨脹人們的物質享樂心理,使人不擇手段、不顧后果片面追求物質利益,導致道德滑坡;二是科學技術的發展可能提供新的犯罪手段、犯罪方式,誘使人走向犯罪。如計算機網絡技術的發展就使人不用采取傳統的偷竊、搶劫方式,通過修改計算機程序可獲取不義之財。這種新的犯罪手段、方式比傳統的偷竊、搶劫更隱蔽,更難以破獲,也就會更加激活不法之徒的犯罪動機;三是科學技術的發展帶來的一些新的倫理問題,可能會引起道德混亂,如處理不當,就會破壞社會倫理秩序,導致社會失范。

對人類來說,今天具有決定性意義的問題,不僅是如何發展科學的問題,更重要的是如何使用科學,把科學用于什么的問題,實際上是一個價值問題。應該把科學技術作用于道德之上,通過強化科學工作者的道德責任意識,普及生命倫理知識并開展討論,加強倫理委員會和國家法律法規的約束作用,以規范科學技術與倫理道德的關系,建立、完善高尚的科學倫理。

篇（3）

要做到“見什么想什么,要什么寫什么”,則要求學生要有一個比較扎實的幾何系統知識,即幾何中的相關概念、命題,相關性質、公理與定理等基礎知識,并對這些知識熟練記憶.因此,我們在記憶的時候要將相關知識聯系記憶,并進行比較,從中找出該知識間的必然聯系.

那么如何理解“見什么想什么,要什么寫什么”這12個字的學習方法呢?

1 “見什么想什么”

1.1 想相關的性質(即可以用得到的東西)

①見到垂直,即要想到:(1)所成的角為90°;(2)線段的垂直平分線(其上的點到線段兩端的距離相等);(3)有可能是三角形的高.

②見到線段的中點或角平分線,即要想相關的三個表達式子:(1)兩個小者的相等關系(較短兩條線段或較小兩個角);(2)小者等于大者的一半的關系(較短兩條線段或較小兩個角與最長線段與最大角);(3)大者等于小者的2倍的關系(最長線段與最大角與較短兩條線段或較小兩個角).

③見到兩直線平行,馬上要想到有關的角的性質:(1)內錯角相等;(2)同位角相等;(3)同旁內角互補.

④見到直角三角形,即要想到:(1)有一角為90°;(2)勾股定理;(3)斜邊上的中線等于斜邊的一半;(4)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半.[注:(3)與(4)都有這樣的關系:等于斜邊的一半];(5)全等時的HL.

⑤見到等腰三角形,即要想到:(1)兩腰相等;(2)兩(底)角相等;(3)三線合一.

⑥見到有關解多邊形的題目,我們必須想到與多邊形相關的內角和、外角和知識:即內角和為:(n-2)×180 °、外角和為:360°.

⑦見到平行四邊形,馬上要想到平行四邊形具有如下可用到的東西:(1)對邊平行;(2)對邊相等;(3)對角相等;(4)對角線互相平分.

⑧見到矩形,馬上想到矩形具有如下可用到的東西:(1)角相等,且為90°;(2)對邊平行;(3)對邊相等;(4)對角線互相平分,且相等.

⑨見到菱形,馬上想到菱形具有如下可用到的東西:(1)對邊平行;(2)四邊相等;(3)對角相等;(4)對角線互相平分,垂直,且平分每一組對角.

⑩見到正方形,馬上想到正方形具有如下可用到的東西:(1)對邊平行;(2)四邊相等;(3) 四角相等,且都為90°;(4)對角線互相平分,相等,垂直,且平分每一組對角.

1.2 想相關的方法(即怎樣見題想方法)

①見要求有關的角相等,馬上想到可以用如下方法去解答:(1)看角的情況,證兩直線平行;(2)最常用的利用三角形全等;(3)角在同一三角形中,可證其是等腰三角形;(4)借助第三個量,找其等量關系.

②見要求有關的線段相等,馬上想到可以用如下方法去解答:(1)最常用的利用三角形全等;(2)線段在同一三角形中,證其是等腰三角形;(3)看是否有線段的垂直平分性質,想線段垂直平分線上的點到兩端的距離相等;(4)線段是四邊形的兩條對邊,則可證其是特殊的四邊形(平行四邊形、菱形、矩形、正方形等)

③見要證線段的大小關系,則要想到把相關的線段轉變到三角形中,進而用三角形的三邊關系以及直角三角形中的勾股定理來解決.

④見要證線段之間的和差關系,一般來說是要把較長的線段進行拆分,構造出一些相等的線段,然后進行轉化.

⑤見到要證兩個三角形全等,即要想到證全等的三個條件(HL兩個條件除外):SAS、ASA、AAS、SSS,然這三個條件則需看題目去找,注意條件不能亂套,亂用.

[三角形的全等,是初中幾何的一個重要知識點;對三角形全等的條件要靈活運用,靈活去找出其隱藏的條件:比如說對頂角、公共角(或公共邊)相等、垂直隱含直角的關系、中點隱含線段相等的關系、角平分線隱含角相等或角平分線上的點的一些關系(到兩邊距離相等)以及三角形內角和為180°、角的互余互補關系等等]

1.3 想相關的思路

①證兩條直線平行:

觀察題目中的 “兩線”被第三“線”所截所成的角而想相關的方法,如出現同位角則可用“同位角相等,兩直線平行”,如還出現內錯角或同旁同角,則也可以用相應的方法來證明.

②證三角形全等或相似:

觀察題目中所給出的邊與角的條件對應SAS、ASA、AAS、SSS進行比較進而想思路,如題目告之的是:一角一邊,則可選取SAS、ASA、AAS,再看角與邊哪個好找就用相應的方法;如題目告之的是兩邊或兩角,則選用SAS、SSS(ASA、AAS),這樣一來,思路就比較明確啦.證相似也是一樣,且更加簡單,條件只需要兩個,題目告之的是一角,則選取AA來證最為簡單;如題目告之的是:一角一邊,則可選取SAS、如題目告之的是兩邊,則選用SAS、SSS.但請記住:證明相似最常用常考的方法是:AA.

③證明平行四邊形:

(1)見題目中告訴與邊有關的內容,想到用“兩組對邊平行”、“兩組對邊相等”、“有一組對邊平行且相等”來證明;(2)見題目中告訴與角有關的內容,想到用“兩組對角相等”、“兩組對邊平行(因角相等可想到兩直線平行)”;(3)見到題目中告訴與對角線有關的內容,想到用對角線來證明,即“對角線互相平分”.

④證明矩形:

(1)見題目中告訴的是與平行四邊形有關的,則馬上想到:a.利用定義(有一個角是直角)來證;b.證明兩條對角線相等[注:見到題目中是與對角線有關,則馬上想到是用b來證];(2)見題目中告訴的是與四邊形有關,則想到證角為90度(三個角都是直角),或是看題目中的邊、角、對角線的關系,先把其轉化為平行四邊形,再利用(1)的方法來證.

⑤證明菱形:

(1)見題目中告訴的是與平行四邊形有關的,則馬上想到:a.利用定義(有一組鄰邊相等)來證;b.證明兩條對角線垂直[注:見到題目中是與對角線有關,則馬上想到是用b來證];(2)見題目中告訴的是與四邊形有關,則想到證邊相等(四條邊都相等),或是看題目中的邊、角、對角線的關系,先把其轉化為平行四邊形,再利用(1)的方法來證.

⑥證明正方形:

證明正方形的主要的方法都是利用正方形的不同定義以及正方形的雙重性(既是矩形又是菱形):即是看題目中的邊、角、對角線的關系,證出是矩形(或菱形)[這些證明方法同上②、③.相同],然后再證一組鄰邊相等(或是有一個角是直角)就行了.

⑦證明等腰梯形:

(1)見到題目中告訴與角有關的梯形,則想到證兩底相等;(2)見到題目中告訴與對角線有關的梯形,則想到證兩條對角線相等就行.

以上談到的見什么想什么,在今后的學習中還可能遇到與其有關的知識內容,那么到時自己進行小結,把相關的內容加到相應的知識點中去.

2 “要什么寫什么”

我們在證明的過程中,由一個知識點可能得到很多相關的性質、結論,但并不是所有的結論我們都要在證明過程中寫上,如果這樣反而使證明過程不清不楚,適得其反.所以在寫證明過程中要做到“要什么寫什么”:即題目要怎樣的結論我們就寫叫哪些的結論,這樣我們的證明過程就簡捷、明確,推理具有邏輯性.

比如,1.常用的三角形全等,則會得出有六個相應的結論:三組邊、三組角對應相等,那么,我們在證明的過程中就要看清楚:是要用線段(即是邊)的關系,還是用角的關系,進而寫出相應的結論,這樣才能使證明過程簡潔、明確,推理具有邏輯性.2.比如平行四邊形、矩形、菱形、正方形等都有很多的性質結論:邊的關系(汲及到線段時還可能用到對角線的一些內容:平分,交點為線段的中點等)、角的關系(也可能用到對角線平分每一組對角的這一重要性質)以及對角線的關系(其又有不同的關系:平分、相等、垂直、平分每一組對角,因而要適當選擇來解題).

總之,在解題的過程中,要認真觀察題目的每一句話,進而去想到相關的知識去解決問題.

下面以2009年中考題為例介紹如何用“12字”法:

例1 (2009年廣西欽州)(1)已知:如圖1,在矩形ABCD中,AF=BE.

求證:DE=CF;

分析 ①想解題方法:本題一見要證明DE=CF,而這兩條線段分別在不同的三角形中,所以我們想到的方法與思路就是用證明三角形全等的方法來證明兩條線段相等,②想相關性質:題目知之是在矩形ABCD中,所以想到矩形相關的邊(對邊相等與平行)、角(四個角相等且都等于90°)的關系;③想相關解題思路:本題想到是用證明三角形全等的方法來證,但用全等條件的哪一個呢?這兩三角形是直角三角形,而斜邊DE、CF為所求,所以不可能用HL來證,要求證邊,也不可能用SSS來證,題目告之有相關的邊加上矩形相關性質而想到正確的方法應該用SAS來證.

證明 因為AF=BE,所以AF+EF=BE+EF ,即:AE=BF. 因為四邊形ABCD為矩形,所以AD=BC,∠A=∠B=90° (注:這里用什么寫什么,比如AD∥BC,AB=BC這些條件是不用的,所以就算是正確也不用寫下去),所以ADE≌BCF,所以DE=CF.

例2(2009年婁底)如圖2,在ABC中,AB=AC,D是BC的中點,連結AD,在AD的延長線上取一點E,連結BE,CE.

(1)求證:ABE≌ACE;

(2)當AE與AD滿足什么數量關系時,四邊形ABEC是菱形?并說明理由.

分析 ①想解題方法與思路:

篇（4）

基因組學推動的創新中，最引人矚目的領域是醫學。“個性化醫療”進展迅速，患者的DNA圖譜被轉化為更加個性化、具預測性和預防性的治療方案。

目前，對常見疾病――包括一些醫療、經濟和社會負擔巨大的疾病，如癌癥、糖尿病、心血管疾病和肥胖等――相關的基因組識別研究已開始讓醫生能夠利用患者DNA信息來指導臨床治療。研究者正在識別影響藥物對人體作用的基因變異，讓更安全、更有效的用藥管理來遏制病痛和治療某些癌癥以及心血管和精神疾病。

去年，美國啟動了精確醫療計劃（Precision Medicine Initiative），該計劃將當前的這些進展往前再推進一步，進行成人和幼兒癌癥靶向藥物創新實驗，引入個性化混合療法，并深化對抗藥性的認識。在長期，計劃的目標是建立一支擁有一百萬以上志愿者的研究隊伍，他們共享基因組數據、生物樣本和生活方式信息，從而形成大量人類疾病精確醫療的基礎。

但醫療絕不是基因組學推動的創新革命的唯一領域。基因組學在其他領域也顯示著改變和發展的趨勢，其中不少已經證明具有有助于解決某些全球性問題的潛力――如在全球人口高速增長、預計35年后達到96億人的背景下，確保糧食安全和保護環境。

利用基因組學遴選高價值品種，讓農民和糧食業總體擁有了生產更多更好糧食的工具。比如，東南亞稻米如今已能抵御洪水，牛肉、奶制品和生豬產量有所提高，迅速發展的漁業和水產養殖業受益于產量更高、抗病和抗壓能力更強的物種。

此外，基因組學還能提供關于生態系統中生物多樣性和互動作用的詳細信息，從而推動創新性環境保護戰略的開發。

篇（5）

一、 初中數學證明題教學的重要性

數學證明是以一些基本概念和公理為基礎，使用合乎邏輯的推理去決定判斷是否正確。數學證明的教育價值應該體現在三方面：一是知識方面，數學證明能加深學生對基礎概念和定理的理解；二是思維方面，數學證明能訓練學生邏輯思維能力；三是文化方面，數學證明能夠讓學生體會數學的理性精神，學會理性思考問題。最新的北師大版初中數學教材中，《證明》占了三章，這樣的安排是想讓學生通過對主要圖形的性質及相互關系進行大量的探索，同時，使學生在推理的過程，進行邏輯推理的訓練，從而具備一定的推理能力，為今后的推理證明打下堅實基礎。

二、 初中數學證明題的教學步驟

初中數學證明不僅是學習重點，更是學習難點，很多同學對證明題的解答無從著手，還有一部分學生雖然了解解題思路，但證明過程的敘述表達混亂，因此，教學中如何教導學生掌握正確的解題思路和解題技巧就顯得非常重要。下面談談筆者的教學步驟：

（1）讀題

筆者認為，應將讀題分為三個層次：第一層是粗讀，快速瀏覽題目，了解題目要求；第二層是細讀，在了解題目要求后，進行有針對性地讀題，目的是弄清題設和結論，明白已知什么、需要證明什么。[1]如果題中給出的條件不是一目了然即有隱含條件的――這類題是證明題中的難點，教師一定要指導學生如何去挖掘它們；第三層是記憶復述。在粗讀和細讀的基礎上，要做到能夠用自己的話語把原題的意思復述出來。能夠做到第三層，才算讀題完成。對于讀題這環，必須嚴格按照前面三環執行，因為在實際證題的時候，學生之所以找不到證明的思路或方法，就是學生漏掉題中某些已知條件或將題中某些已知條件記錯，如果能夠將已知條件記在心里并能復述出來就可以避免這種情況的發生。

（2）分析

教師要通過啟發性的語言或提問指導學生對題目進行分析，學生在教師指導下，經過一系列的判斷、比較、選擇，以及相應的分析、綜合、概括等，發現解決問題的思路和方法，最后通過總結，掌握證明的思路和方法

（3）演示

教師在解題過程中，一定要給學生作證題的書寫演示，并且必須嚴格要求自己，使學生今后能夠模仿這種合理、規范、科學地書寫證明過程。

（4）變式練習

在獲得某種基本的證明方法后，教師可以通過改變問題中的條件、變換求證的結論、改變圖形的形狀等多種途徑，讓學生去自行求證，通過這種方式，指導學生從不同的角度、不同的層次去思考問題。[2]通過變式訓練，能夠展現知識發生、發展、形成的完整認知過程。在教學實踐中，筆者深深體會到變式教學的妙處，它非常符合學生的認知規律，學生可以把學到的方法靈活應用于各種題目中去，這既培養了學生靈活多變的思維方法，又提高了學生數學素養，從而有效地提高數學教學效果。

三、 初中數學證明題的解題步驟

教師在具體教學實踐中，要把上述的教學步驟作為自己的教學思路，同時，老師必須讓學生通過具體的解題過程來指導學生掌握正確的解題步驟和技巧。下面通過一個例題來說明如何教導學生解答數學證明題。

[例題]證明：等腰三角形兩底角的平分線相等

1. 弄清題意――復雜語言簡單化

此為“文字型”數學證明題，既沒有圖形，也無直觀的已知與求證。如何弄清題意呢？根據上面所講述的“三讀法”，找到命題的條件與結論至關重要，特別是隱形條件，這是解題成敗的關鍵。[3]然后用自己的語言表述成：如果在等腰三角形中分別作兩底角的平分線，那么這兩條平分線長度相等。這樣題目要求我們做什么就非常清晰了。

2. 根據題意，畫出圖形――已知條件圖形化。

所謂已知條件圖形化，就是利用各種不同的符號將已知條件在圖形中直觀地表示出來。圖形對解決證明題，能起到直觀形象的提示，所以畫圖因盡量與題意相符合。并且把題中已知的條件，能標在圖形上的盡量標在圖形上。

3. 用數學的語言與符號寫出已知和求證――文字語言符號化。

已知、求證必須用數學的語言和符號來表示。

已知：在ABC中，AB=AC， BD、CE分別是ABC的角平分線。

求證：BD=CE

4. 綜合分析已知、求證與圖形，找到思路――分析過程綜合化。

對于證明題，通常有兩種思維方式：

（1）正向思維。對于一般的題目，通過正向思考可以輕易解答，這里就不贅述了。

（2）逆向思維，即從相反的方向思考問題。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對于初中數學證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。[4]同學們在讀完一道題的題干后，感覺無從下手的話，可以先從結論出發，慢慢推導出已知條件，從這個過程中就得出了解題的思路，最后把過程反著寫出來就行了。

5. 用數學的語言與符號寫出證明的過程――文字語言符號化

證明過程的書寫，對數學符號與數學語言的應用要求較高，在講解時，要提醒學生任何的“因為、所以”，在書寫是都要符合公理、定理、推論或以已知條件相吻合，不能無中生有，必須要有根有據。

證明：

AB=AC（已知）

∠ABC=∠ACB（等邊對等角）

BD、CE分別是ABC的角平分線（已知）

∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB（角平分線的定義）

∠1=∠2（等量代換）

在BEC與CDB中，

∠ACB=∠ABC， BC=CB， ∠1=∠2

BEC≌CDB（ASA）

BD=CE（全等三角形的對應邊相等）

6. 檢查證明的過程，看看是否合理、正確

任何正確的步驟，都有相應的合理性和與之相應證的公理、定理、推論，證明過程書寫完畢后，對證明過程的每一步進行檢查，是非常重要的，是防止證明過程出現遺漏的關鍵。最后，同學們在平時練習中要敢于嘗試，多分析，多總結。

顯然，初中數學證明的教學效果的提升，需要教師和同學的一致努力，教師們需要尋找更好的教學方式，同學們需要把教師的講解好好吸收，最終，才能達到最理想的效果。

參考文獻：

[1] 潘小明.現代教育技術條件下優化初中數學證明教學[J]. 中小學信息技術教育. 2006（Z1）

篇（6）

1.愛因斯坦說過：一個人的智力發展和他形成的概念的方法在很大程度上是取決于語言的。而我們知道語言也是思維的工具，通過學生先口頭表達對于幾何解析過程的演示，能夠暴露出思考問題時的“先天不足”，有利于教師和同學們一起發現問題并共同解決問題，特別是有些學生概念模糊，那么他在口頭表達的時候也不會思路清晰，而教師可以在此時加以積極引導，幫助學生學會順藤摸瓜。

2. 學生學會先口頭表達解析過程能夠有助于學生從單一封閉的思維模式中走出來，集眾人所長，相互之間得到有益的啟發和從別人身上獲得更大的借鑒，從而真正能夠實現一題多解和一題多證。在同一環境下學生之間的這種口頭闡述，可以使較為簡單的解法浮出水面，幫助學生們共同受益。

3. 通過先口頭闡述幾何解析過程能夠激發學生在課堂上的參與熱情，因為初中生單一的童真不會考慮更多的內容，而是極力在課堂上展示自己，演示自己，希望得到別人的尊重與認可，這是客觀的生長規律，一旦調動他們參與的熱情，學生學習的興趣自然就會被激發，效果當然就很明顯。當然班上也存在有部分同學會而不說的情況，這個時候教師可以激勵他通過朗讀的形式，或者小組加分推著他一起參與到口頭講述的過程中來，尤其是班上的后進生，對于他們的學習倦怠或者一竅不通，我覺得教師有必要先對他們進行單獨輔導，特別是學生的準備環節，我們可以對他們開小灶，讓他們先有所知，然后故意讓他們也表達自己的觀點，一旦說出了基本步驟，教師就大力表揚，在一次次的認可中，學生的參與指數必然會得到提升。

4.與其說，是讓學生自己說，其實，更多的是教師在背后推，如果失去教師在課堂上有力的指導并對學生的闡述內容進行客觀而系統的分析，那么這種將解析過程說出來也只是一片散沙，所以教師依然是解析過程中的組織者，主導者。領路人，這需要教師必須對解題思路有足夠的分析，有充足的備課，不然課上也會出現掉鏈子的現象。

二、強化書寫，把握內容的準確性，形成爛熟于心的書面習慣。

書寫幾何證明題，就要使用科學準確的幾何語言，只有正確的書寫內容才能培養正確的證明習慣。

1.強化幾何語言的規范性，讓學生掌握一些規范性的幾何語句。例如：“

在ABC中，∠A=120°，K、L分別是AB、AC上的點，且BK=CL，以BK，CL為邊向ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。證明：PQ=BC 。

證明 ：延長直線PK與QL交于O，

根據正三角形BPK，正三角形CQL及∠A=120°，

顯然可證：四邊形OLAK為平行四邊形，

所以AK=LO，AL=KO。

又因為BK=CL，

故

PO=PK+KO=BK+AL=CL+AL=AC；

QO=QL+LO=CL+AK=BK+AK=AB。

而∠POQ=120°，

所以ABC≌PQO。

故PQ=BC。？ 通過上課的教學和課后的輔導，教師先在黑板上反復演示，科學地表達幾何語言；表然后讓學生到黑板板書，再逐一檢查下面學生的語言表達情況，通過學生兩兩之間，小組之間，和教師逐一批改的層層推進的模式，加深學生對規范語言的運用和理解，使學生學會使用幾何語句。

三、積累解題思路，學會舉一反三。

1. 在幾何題中，我們發現有很多幾何題 只是內容上的差異而解題步驟是基本上差不多的，所以建議學生學會整理解題思路，學會舉一反三，建議學生們自己準備一本題集，先將自己平常見到的題型進行歸類，例如證明角相等的，證明邊相等的，證明需要加輔助線的，證明需要加延長線的，這個時候，我們可以幫助學生進行一一編輯，將它們分門別類，然后一旦遇到類似的問題，先進行比較，基本上差不多的則一筆帶過，如果還有一些不同，或略有拔高，我們可以在同一題型后面再附加，使這類題型更加的完善，更加的充實。

2. 學會舉一反三，還可以建議學生自己造題目，讓學生造題目就是讓學生對自己熟知的題目進行簡單的編輯，造出的題目可以讓學生間或者同組間進行交流證明例如：

篇（7）

是 省 ( 縣) 鎮 (村民委員會或居民委員會)人， XX 年考入 xxxx大學，其家庭因(以下填寫申請人家庭經濟困難原因) 該家庭生活困難，父母在家務農，以種田養蠶為業，每月收入約300元左右，其哥哥在廣州某電腦學校工作，每月收入600元左右。XX年秋季與其弟弟同時考上大學，家庭經濟收入少，無力支持其完成學業，擬申請助學貸款。

特此證明。

村民(或居民)委員會(公章)

上述情況屬實。

經辦人：

街道辦事處、鎮或以上人民政府(民政部門)

(公章)

XX年 8月 25日

范本二

茲有我鄉(鎮)(居委會等)×××(父母親姓名)之子(女)×××(學生姓名)，于××年××月考入貴校學習。由于×××原因(每個家庭的具體原因)，導致家庭經濟困難，希望學校、銀行能為其提供國家助學貸款，幫助其順利完成學業。

×××鄉(鎮)人民政府(公章)或×××居委會等(公章)

××年××月××

范本三

xxxx (學校)：

貴校學生 xxx 其家長屬本地居民，家庭基本情況如下：

一、家庭人口 x 人，家庭成員組成：

家庭年收入約 000 元

二、主要收入來源： xxxxxxxxxxx (填寫)

三、目前家庭主要困難:

(比如家庭成員是否有重病醫療開支是否較大，是否有殘疾，收入來源是否單一，勞動力是否較少)

確屬貧困家庭。特此證明。

篇（8）

俗話說："幾何學、叉叉角角，老師難教、學生難學"，眾所周知，幾何證明是數學教學的重點，也是難點。

在教學中，我認識到：很多同學對幾何證明題，不知從何做起，談到幾何學習就頭痛，甚至部分同學知道了答案，不知道怎么書寫解題過程，敘述不清楚，說不出理由，這使大部分的學生失去了學習的信心。

對此，我在數學教學中思考、摸索，得出了一些感悟，在幾何證明題教學中，我是從以下幾方面進行的：

1. 培養學生學會劃分幾何命題中的"題設"和"結論"

1.1 每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，要求學生從命題的結構特征進行劃分，掌握重要的相關聯詞句。例："如果……那么……""若……，則……"等等。用"如果"或"若"開始的部分就是題設。用"那么"或"則"開始的部分就是結論。有的命題的題設和結論是比較明顯的。例：如果一個三角形有兩個角相等（題設），那么這兩個角所對的邊相等（結論）。但有的命題，它的題設和結論不十分明顯，對于這樣的命題，可要求學生將它改寫成"如果……那么……"的形式。例如："對頂角相等"可改寫成："如果兩個角是對頂角（題設），那么這兩個角相等（結論）"。

以上對命題的"題設"和"結論"劃分只是一種形式上的記憶，不能從本質上解決學生劃分命題的"題設"、"結論"的實質問題，例如："等腰三角形兩腰上的高相等"學生會認為這個命題較難劃分題設和結論，認為只有題設部分，沒有結論部分，或者因為找不到"如果……那么……"的詞句，或者不會寫成"如果……那么……"等的形式而無法劃分命題的題設和結論。

1.2 正確劃分命題的"題設"和"結論"，必須使學生理解每個數學命題都是一個完整無缺的句子，是對數學的一定內容和一定本質屬性的判斷。而每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，是判斷一件事情的語句。在一個命題中被判斷的"對象"是命題的"題設"，也就是"已知"。判斷出來的"結果"就是命題的"結論"，也就是"求證"。總之，正確劃分命題的"題設"和"結論"，就是要分清什么是命題中被判斷的"對象"，什么是命題中被判斷出來的"結果"。在教學中，要在不斷的訓練中加深學生對數學命題的理解。

2. 培養學生將文字敘述的命題改寫成數學式子，并畫出圖形

2.1 按命題題意畫出相應的幾何圖形，并標注字母。

2.2 根據命題的題意結合相應的幾何圖形，把命題中每一個確切的數學概念用它的定義，數學符合或數學式子表示出來。命題中的題設部分即被判斷的"對象"寫在"已知"一項中，結論部分即判斷出來的"結果"寫在"求證"一項中。

例：求證：鄰補角的平分線互相垂直。

已知：如圖∠AOC+∠BOC=180°， OE、OF分別是∠AOC、∠BOC的平分線。

求證：OEOF

3. 培養學生學會推理證明

3.1 幾何證明的意義和要求。

對于幾何命題的證明，就是需要作出一判斷，這個判斷不是僅靠觀察和猜想，或反通過實驗和測量感性的判斷，而必須是經過一系列的嚴密的邏輯推理和論證作出的理性判斷。推理論證的過程要符合客觀實際，論證要有充分的根據，不能憑主觀想象。證明中的每一點推理論證的根據就是命題中給出的題設和已證事項，定義、公理和定理。換言之，幾何命題的證明，就是要把給出的結論，用充分的根據，嚴密的邏輯推理加以證明。

3.2 加強分析訓練、培養邏輯推理能力。

由于命題的類型各異，要培養學生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視問題的分析，執果索因、進而證明，這里培養邏輯思維能力的好途徑，也是教學的重點和關鍵。在證明的過程中要培養學生：在證明開始時，首先對命題粗審、分析、推理，并在草稿紙上把分析的過程寫出來。初中幾何證題常用的分析方法有：

①順推法：即由條件至目標的定向思考方法。在探究解題途徑時，我們從已知條件出發進行推理。順次逐步推向目標，直到達到目標的思考過程。如，試證：平行四邊形的對角線互相平分。

②倒推法：即由目標至條件的定向思考方法。在探究證題途徑時，我們不是從已知條件著手，而是從求證的目標著手進行分析推理，并推究由什么條件可獲得這樣的結果，然后再把這些條件作結果，繼續推究由什么條件，可以獲得這樣的結果，直至推究的條件與已知條件相合為止。

③倒推-順推法：就是先從倒推入手，把目探究到一定程度，再回到條件著手順推，如果兩個方向匯合了，問題的條件與目標的聯系就清楚了，與此同時解題途徑就明確了。

3.3 學會分析。

在幾何證明的教學過程中，要注意培養學生添輔助線的能力，要注意培養學生的創新思維能力和處理問題的機智能力；要使學生認識到在幾何證明題中，輔助線引導適當，可使較難的證明題轉為較易證明題。但輔助線不能亂引，而且有一定目的，在一定的分析基礎上進行的。因此怎樣引輔助線是依據命題的分析而確定的。

例：如圖兩個正方形ABCD 和OEFG的邊長都是a，其中點O交ABCD的中心，OG、OE分別交CD、BC于H、K.

求：四邊形OKCH的面積。

分析：四邊形OKCH不是特殊的四邊形，直接計算其面積比較困難，連 OC把它分別割成兩部分，考慮到ABCD為正方形，把OCK繞點O按順時針方向旋轉90°到ODH，易證OCK≌ODH

篇（9）

其一，善于營造教學氛圍。霍老師用一句富有鼓動性的提問“你們愿意做聰明的孩子嗎”，獲得學生積極的響應：都爭先恐后地舉起了手。一般說來，如果沒有學生的積極響應，單靠教師是很難形成積極的教學氛圍的。霍老師深深懂得并準確地抓住小學生爭強好勝的心理，才能一句話說到學生的心坎上。教學有了學生積極參與的熱烈氛圍，便奠定了走向成功的基調。

其二，巧妙設置教學懸念。霍老師說“每個人都有四件寶”，這已經讓學生急于了解答案了：“如果學會了運用這四件寶，人就會聰明起來”，這樣的寶貝誰不想要啊；“這四件寶是什么呢？”這簡直就是所有學生都想問的問題。但霍老師就是能沉住氣，偏偏賣個關子：“我暫時不講。”真讓人著急呀！“先讓你們猜幾則有關人體器官的謎語。”這讓學生特別期待猜謎語之后能夠揭曉答案。

其三，引導體驗思維樂趣。猜謎語是學生喜聞樂見的活動，因為一方面謎語的特點是“不說破”，需要猜謎者積極思考，是有益思維發展的智力活動；另一方面，學生經過自己的獨立思考猜出正確答案，會體驗到思維活動的樂趣，這樣就能促使他們更加喜歡思維活動。所以，霍老師要學生猜謎語，正是要讓思維成為課堂教學的主旋律，使學生在思維活動中發展思維能力。

其四，注重良好習慣養成。小學教育擔負著養成習慣的任務。學生一旦養成良好習慣，便會終生受益。每當學生猜中一則謎語后，霍老師就讓學生講講這個人體器官的作用。同時，霍老師聯系學生實際，適時引導學生養成良好習慣：“在上課時，要仔細看，但不要東張西望；要認真說，但不要隨意說話。總之，要多聽、多看、多想、多說。”

篇（10）

在初中數學學習中，最為困擾學生的難題就是幾何證明，這是令很多學生都很頭疼和焦慮的問題。其實，對于幾何證明題目，只要認真分析題中已知條件，清楚地掌握解題的技巧與方法，幾何證明并沒有那么可怕，以下主要對初中數學幾何證明中三種思維進行淺談，作為今后學習的參考。

一、正向思維

在一般幾何證明題中，對于一些簡單題目，正向思維方式應用得比較多，求證過程相對簡單、容易，從已知條件入手，向著證明結果進行逐步推理即可，比如，證明：等腰三角形兩底角的角平分線相等。正向思維過程：根據題意可知在等腰三角形ABC中，AB=AC，角平分線分別為BD和CE，最終結果就是求證：BD=CE，如圖1所示。

■

圖1 等腰三角形ABC

求證過程：已知：AB=AC，

由等邊對等角得：∠ABC=∠ACB.

已知：角平淺談初中數學幾何證明的三種思維

張祥飛

（新疆阿克蘇市第三中學）分線分別為BD和CE，由角平分線定義可知：∠1=∠A+∠ACE，∠2=∠A+∠ABD

∠ACE=∠ABD

等量代換：∠1=∠2

在三角形BEC和三角形CDB中，可得：∠1=∠2，CB=BC，∠DBC=∠ECB.

因此，角邊角定理可知：三角形BEC和三角形CDB全等。

由全等三角形的對應邊相等可得：BD=CE。

二、逆向思維

在解題過程中，學生在思考問題時，可以選擇不同的方法、不同的角度，對解題方法進行探索，有助于學生解題思路的拓展。比如，在講授勾股定律一課時，有這樣一道證明題：

求證：■+■=■

在講解過程中，應該利用逆向思維，從結論入手，這樣可以消除不必要的運算，即，對結論進行變形，此方法簡單方便。

證明如下：■+■=■

將等式左邊兩項進行合并：■=■，在直角三角形ABC中，有AC2+AB2=BC2

因此，原式可以變形為：■=■

交叉相乘可得：AB2?AC2=BC2?CD2

使用積的乘方的逆運算可得：（AB?AC）2=（BC?CD）2

因此，AB、BC、AC、CD均為三角形的邊，都是正數，由上式可得：AB?AC=BC?CD

進而，便可求得證明結果：■+■=■

三、正逆結合

在一些幾何證明題目中，從結論很難找到突破口，此時學生可以對已知條件和結論進行充分分析。在初中數學中，題目中所給出的已知條件，多數在解題過程中都要使用，因此，從已知條件入手，尋找新的解題思路，比如，已知三角形某邊中點，此時可以想到輔助線有中位線，或是使用中點倍長法。在梯形中，如果已知中點的話，就要想到作高線、補形結合、平移對角、平移腰等，總之，在解題中，充分使用正逆結合思維，效果往往不錯。比如，如圖2所示，在梯形ABCD中，已知AE垂直于DC，AB平行于CD，點E為垂足，其中AC邊等于20，BD邊等于15，AE邊等于12，求梯形ABCD的面積？

■

圖2 梯形ABCD

解題過程如下：作AM平行于BD，交點M在CD的延長線上，可得到平行四邊形AMDB，即AM=BD，由于三角形ADM與三角形ADB的面積相等，再加上AB平行于CD，可知三角形ABC與三角形ADB的面積相等，所以，梯形ABCD的面積等于三角形AMC的面積。

因此，在三角形AME中，ME=■=9

在三角形AEC中，EC=■=16

即，梯形ABCD的面積等于三角形AMC：SAMC=12×（9+16）×■=150

四、在初中數學幾何證明中應用三種思維方式的重要性

隨著新課程標準的逐步推進，初中數學教學的重要目標就是培養學生的數學思維能力和應用能力。在實際教學中，通過實例，將三種思維方式融入解題中，充分拓展學生的思維，對幾何證明題目進行觀察、分析、歸納和操作。在解題過程中，體驗幾何證明題的挑戰性和探索性，在思考過程中，感受幾何證明的條理性和結論的確定性，不斷培養學生思維的創造性與靈活性，進而開拓學生的邏輯思維能力。

在初中數學學習中，學生對幾何證明題感到困難是普遍存在的問題，尤其對于一些較為復雜且難度較大的題目，更是無從下手。在幾何證明中，不論是正向思維還是逆向思維，都需要正確的證明思路，經過不同思維方式的應用，便可對題目中的已知條件進行充分利用。正逆結合通常又稱為綜合法，在解題過程中應用得比較多，多數證明題目都需要正向思維與逆向思維的結合，使用單一思維方式的題目比較少。正逆結合是指從題目的已知條件出發，確定相應的定理、定義，即尋找解題的依據，進而進行逐步推理，直到得出證明的結論為止。逆向思維是指從題目的結論出發，對結論成立的條件進行探索，經過逐步推理，找出所需的條件，直到已知條件出現為止。正逆結合的缺點在于進行推理的思路過多，題目中需要的定理也比較多，學生往往感到無從下手。而逆向思維法，首先認定結論，在倒推的過程中，啟發思考，針對明確的目的進行相應的推理，便可了解推理的依據，進而使人了解到整個思維過程。對于一些較為復雜的證明題，“兩頭湊”的思維方式應用得也比較多，首先從已知條件出發，對多種結論進行推理，再從已知題目中的結論出發，對所需的條件進行推理，進而尋找兩者之間的差距，便可得到相應的證明思路，達到求解目的。

綜上所述，在求證幾何題目之前，對于題目給出的已知條件應該詳細分析，對題目中的已知圖形進行詳細觀察，針對題目的具體情況，選擇合適的解題思維，探尋新的證明思路，不斷提升自身的解題能力。

篇（11）

×××鄉(鎮)人民政府(公章)或×××居委會等(公章)

××年××月××日

例文二：

茲證明某學生是我們縣某村的學生，其家庭生活非常貧困，父母(把工資收入之類的介紹一下)如常年務農，沒有固定收入，或者說下崗之類，年收入不足3000元。家里還有兄弟姐妹什么的，比如在上學，年齡小，都介紹一下。特此證明。單位地址年月日蓋公章。

例文三：

中國XX銀行XX市分行:

我于200X年XX月考進XXXX學院XXXX系/X班XXXX專業就讀,是X科學生,身份證號碼為XXXX,畢業時間為XXXX年XX月.因為家庭經濟困難,難于支付本人在校期間的學費,為了能順利完成學業,特向貴行申請國家助學貸款,貸款200 X至200 X學年的學費人民幣XXXX 元整(XXXX元),200X至200X學年的學費人民幣XXXX元整(XXXX元),200X至200X學年的學費人民幣XXXX元整(XXXX元),200X至200X學年的學費人民幣XXXX元整(XXXX元)，200X至200X學年的學費人民幣XXXX元整(XXXX元)，以上合計人民幣XXXX元整(XXXX元).貸款期限從200X年XX月至200X年XX月,最遲不超過畢業后第六年.

我承諾:獲得國家助學貸款后,努力學習,積極上進,較好地完成自己的學業.并信守諾言,在XXXX年 XX月XX日前還清貸款 后及時將工作單位或詳細的聯系方式告知貴行,做一名守信用的當代大學生.

我家的詳細聯系地址是XXXX省XXXX市XXXX縣XXXX鎮XXXX村

郵政編碼是：XXXXXX 聯系電話是：XXXXXXXX

申請人: XXXX

XXXX年XX月XX日

例文四：

我是XX中學X班的XX，我家住在一個偏僻的小山村里。家里有六口人，家中的勞動力只有父親和母親，可是他們一直有病在身。因為沒有文化，沒有本錢，只好以做苦工短工為生，十幾年來一直過著貧苦的生活。小時候，家中四個小孩一起讀書，父母親為了讓我們都能上學，日夜勞碌奔波，但是他們那些辛苦賺來血汗錢根本不夠我們幾人的學費，只能想親戚借。那時候真的太困難了，大姐初中沒有畢業就輟學回家幫忙;二姐和我一起初中畢業，也想讀高中，可是家里真的無法擔負我們的學費，所以二姐也把上高中的機會讓給了我，自己回家幫忙。

我家只有1.5畝左右的水田，每年所有收獲的水稻勉強能提供家用。我家的經濟來源也只有依靠那一點點八角和木薯。因此全家的年收入也只有2000元左右，除去還債、日常開支，所剩也就無幾了。所以學費一直困擾著我們。但是為了將來，我必須讀書，上大學。

為了完成我的學業圓我的大學夢，我很希望得到你們的幫助，我會努力拼搏，努力去實現我的夢想。感謝你們!