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究竟什么樣態(tài)的知識更有利于數(shù)學核心素養(yǎng)的落實是人們長期探討的一個問題。數(shù)學核心素養(yǎng)的落實非單純地通過接受每一節(jié)、零散的數(shù)學知識來實現(xiàn)，而是通過對數(shù)學知識的自我重組和結構優(yōu)化來實現(xiàn)的，學生只有獲得高質量的知識，才能培養(yǎng)其數(shù)學核心素養(yǎng)。數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是無源之水、無本之木，它要有具體的教學過程目標來支撐，課程標準很好的為數(shù)學核心素養(yǎng)目標的達成指明了方向。課程標準展示了學科的核心知識、本質及思想方法，規(guī)定了核心素養(yǎng)的評價標準。課程標準提倡從整體設計與結構關聯(lián)的角度來促進學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)生成，而主題教學是體現(xiàn)整體思維和結構關聯(lián)性的主要形式。課程標準要求培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)要落實于課堂教學，結合本科學知識的內容與特點、學生認知發(fā)展的阻礙點和生長點，分析本學段知識特點促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展的主要內容與表達形式，提出該學科知識實現(xiàn)核心素養(yǎng)的具體目標。即通過教學目標體現(xiàn)課程標準對培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的要求[1]。數(shù)學核心素養(yǎng)體現(xiàn)著對數(shù)學知識內部邏輯關聯(lián)的自我整合與外部問題情境的深度融合，離開知識的整體結構，任何知識都會失去它完整的意義和深層次力量[2]。因此，要注重課程目標開發(fā)和整體設計，以整合性知識觀來探索學生核心素養(yǎng)的生成路徑。主題教學的整合性與學生核心素養(yǎng)的凝練與生成遙相呼應。

一、數(shù)學主題教學的內涵和特點

1.數(shù)學主題教學的內涵

主題教學是在整體思維指導下，從提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)角度出發(fā)，對教材內容進行優(yōu)化重組，并將優(yōu)化后的內容視為一個相對獨立的教學主題，主要突出數(shù)學內容主線以及知識之間的關聯(lián)性[3]。主題教學中的主題并不是靜止的、一成不變的，它是由教師教學需要決定，有時需要根據(jù)教學主題的優(yōu)化程度進行循環(huán)改進，體現(xiàn)數(shù)學知識的多維關聯(lián)。主題教學能看出停留在低層次所不能發(fā)現(xiàn)的事物之間的聯(lián)系和共同之處。數(shù)學主題教學正是從整體功能出發(fā)，在更高的觀點下對數(shù)學教學中的各要素進行系統(tǒng)綜合考量，產生整體效益。主題教學有利于教師對重難點的把握，使重難點不再局限于一個小節(jié)，而是對主題整體的規(guī)劃，這樣每個階段、每個課時的教學也更有針對性，數(shù)學思想方法及數(shù)學核心素養(yǎng)的滲透也會更有依據(jù)。

2.數(shù)學主題教學的形式

數(shù)學主題的確定形式多樣，教師可圍繞主題進行知識選擇，基于一個知識點或一條知識線索選取相關知識進行優(yōu)化重組，讓知識的邏輯呈現(xiàn)更加清晰。數(shù)學主題可以是以重要的數(shù)學概念或核心數(shù)學概念為主線組織的知識型主題，可以是一個章節(jié)的，也可以是跨章節(jié)的，如教師在處理函數(shù)主題教學時，要關聯(lián)函數(shù)形成背景，函數(shù)相關聯(lián)系，具體函數(shù)模型和函數(shù)應用等方面；也可以是數(shù)學思想方法類主題，如數(shù)形結合、公理化方法等；還可以用數(shù)學核心素養(yǎng)為主題，如數(shù)學抽象、數(shù)學建模等。數(shù)學素養(yǎng)主題通常是教材中跨章節(jié)的內容，表現(xiàn)形式通常是張網(wǎng)式的[4]。

3.數(shù)學主題教學的特點

主題教學使得數(shù)學知識不再是學生識記的客體，而是承擔著促進學生思維發(fā)展的功能。數(shù)學知識往往在畢業(yè)后不久就被忘記了，然而以后不論學生從事何種工作，唯有深深地印刻在頭腦中的數(shù)學精神、思維方法、推理方法在隨時發(fā)生作用，使他們終身收益。主題教學并不是簡單的用加法思維進行，而是系統(tǒng)的整合要大于部分之和，知識放在系統(tǒng)里與其他知識關聯(lián)起來才能被理解，因為任何事物都不是簡單的孤立的存在。

二、函數(shù)主題教學中培育數(shù)學核心素養(yǎng)的教學探析

1.設計素養(yǎng)為本的函數(shù)主題的教學目標

課標中對函數(shù)強調：“幫助學生用抽象的思維去學習數(shù)學，在具體的實際生活情境中，能根據(jù)不同的實際需要選擇恰當?shù)暮瘮?shù)表示方法（如圖象法、列表法、解析法）描述事物變化的規(guī)律；通過觀察、分析、概括、模型化的方法使學生了解函數(shù)是描述變量關系的數(shù)學語言和工具，理解實數(shù)集合之間的對應關系，體會集合語言和對應關系在函數(shù)概念中的作用，了解函數(shù)構成的要素；能利用函數(shù)建構模型，解決現(xiàn)實生活中的實際問題。這些規(guī)定和描述，體現(xiàn)著通過學習過程和行為要求培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標。通過對課程標準的分析，函數(shù)主題的教學內容主要是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象思維，發(fā)展建構數(shù)學模型的方法。由此設計“函數(shù)主題”的教學目標是：通過觀察、分析、抽象、概括等方法學會用集合語言刻畫函數(shù)，讓學生經歷情景——抽象——核心概念的學習過程，體會數(shù)學抽象核心素養(yǎng)。通過了解、體驗和探究函數(shù)在解決日常生活中的應用，理解“函數(shù)思想”能帶來的好處，滲透數(shù)學建模思想。

2.構建數(shù)學核心素養(yǎng)的函數(shù)主題教學結構體系

在“函數(shù)主題”教學中，要構建素養(yǎng)導向的教學結構體系，就要把握函數(shù)發(fā)展的整體思路，函數(shù)主題的教學設計也就離不開數(shù)學家對“函數(shù)”整體認識的發(fā)展史。從表1中可知，知識的產生與來源、事物的本質與規(guī)律、知識涉及的思想與方法、知識的關系與結構、知識的作用與價值5個方面層層遞進，構成了函數(shù)知識的意義系統(tǒng)，從而為學生建構了高質量和真正的知識結構體系。3.選擇適合不同素養(yǎng)內涵的教學策略

（1）通過史料分析函數(shù)主題發(fā)展脈絡

弗萊登塔爾指出，學生學習數(shù)學知識是“再創(chuàng)造”的過程，也就是把前人創(chuàng)造過的知識以學生容易接受的形態(tài)展現(xiàn)給學生，讓學生在這種形態(tài)下“創(chuàng)造性”學習。史料分析可以從整體視角抓住函數(shù)主題發(fā)展的來龍去脈，從前人研究函數(shù)的過程中幫助教師找到凝練數(shù)學核心素養(yǎng)的方法。函數(shù)起源于人們早期認識事物的變化規(guī)律，函數(shù)在早期以曲線形態(tài)呈現(xiàn)，體現(xiàn)了人們最初對事物變化規(guī)律的直觀理解，接下來人們發(fā)現(xiàn)借助曲線表達事物之間的依賴關系不利于運算，進而產生了函數(shù)要有公式表達，使函數(shù)由幾何轉為代數(shù)形態(tài)。后來數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)即使一些簡單的函數(shù)也存在不唯一的表達式，這就不得不使人們對函數(shù)的解析式說進行完善，狄利克雷提出的“對應說”讓函數(shù)的表達式突破了解析式的制約。從這一系列的演變過程可知，函數(shù)的發(fā)展與生產、生活的實際需要以及數(shù)學內部之間的矛盾密切相關，而且隨著研究的深入，函數(shù)的表達不斷嚴謹化、精確化，也就是說人們認識函數(shù)經歷圖象→變量說→對應說的過程，這與通常學習函數(shù)的過程是一致的。但函數(shù)是如何描述變化的，在探索事物變化規(guī)律過程中如何凸顯“變化”的特征呢？這是函數(shù)知識產生的一個固著點。函數(shù)發(fā)展經歷了如下幾個階段：一是早期幾何觀念下的函數(shù)。1673年笛卡爾在他的解析幾何中已經注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但當時并未意識到凝練函數(shù)概念，大部分函數(shù)是被當作曲線研究的。二是代數(shù)觀念下的函數(shù)。18世紀中葉大數(shù)學家歐拉認為一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。三是對應關系下的函數(shù)。19世紀時柯西指出對函數(shù)來說不一定要有解析式，傅里葉發(fā)現(xiàn)函數(shù)可以用一個式子表示也可以用多個式子表示，狄利克雷突破了函數(shù)變量說如何建立X和Y之間關系的局限，提出對應說。三種函數(shù)理解各有不同特點；變量說樸素、根本的描述方式容易讓初學者接受；對應說對于研究函數(shù)精細的性質具有一定優(yōu)勢；關系說普適性更強，但不宜于學生理解。三者在函數(shù)概念的發(fā)展史中各自體現(xiàn)著不同的地位，構建在人類認識活動背景下的知識探索，更接近學生的思維發(fā)展方式。從史料分析知識到素養(yǎng)建構的策略和方法，可以看出函數(shù)主題的產生是根據(jù)現(xiàn)實世界的實際需求和數(shù)學內部之間的實際矛盾而產生的。函數(shù)知識轉化為素養(yǎng)所用到的方法有：一是數(shù)形結合思想，本主題通過讓學生體會函數(shù)知識形成過程，整體感知函數(shù)的學習方法，要把函數(shù)圖像和解析式結合起來研究函數(shù)特征。二是數(shù)學模型思想，即函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的模型，在建模過程中探索函數(shù)應用的一般過程。

（2）以大概念為核心建立數(shù)學抽象核心素養(yǎng)

函數(shù)主題作為高中數(shù)學的四大主題之一，從內部描述著事物本質變化的基本規(guī)律，在外部體現(xiàn)著具體函數(shù)模型與問題情境的整合。函數(shù)主題教學在研究事物的內在本質和外部屬性兩方面都彰顯著強大的統(tǒng)攝力與整合力，含有更為豐富的數(shù)學核心素養(yǎng)。大概念是概念與概念的關系抽象與概括的結果，是更能廣泛遷移的概念，能夠將各種相關概念和理解聯(lián)系成為一個連貫的整體。也就是說，大概念作為知識向核心素養(yǎng)轉化的中介機制，充分體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)是從數(shù)學知識中凝練出來的、整合出來的[5]。函數(shù)思想是一條貫穿于高中數(shù)學的主線，其函數(shù)主題在教學中具體落實要求對有關函數(shù)知識進行整合和凝練，而大概念作為一個蘊含豐富內涵的意義模式，通過確定大概念、外顯大概念、活化大概念對把握知識整體的認識論、方法論和價值論是具有實踐意義的。首先，確定大概念。抽象出研究事物變化規(guī)律的基本方法，其關鍵是通過用幾何直觀研究圖形變化的基本規(guī)律，圖形和圖表是直觀、生動呈現(xiàn)事物變化規(guī)律的基本方式，對函數(shù)的性質加以抽象概括，通過圖形觀察函數(shù)的性質和變化最為直觀，因此“數(shù)形結合”成為本主題的大概念，圍繞大概念的中介作用追問兩個問題，“數(shù)形結合思想”有效連接學生對函數(shù)的深度理解和遷移運用嗎？“數(shù)形結合思想”有效連接核心知識與核心目標嗎？其次，外顯大概念。將核心素養(yǎng)目標具體化為可見預期學習目標，就是將大概念進行表征和描述，在“函數(shù)主題”教學中，可以從三個維度對大概念進行描述：一是知道是什么，即知道函數(shù)主題的相關知識體系，可從哪些方面理解函數(shù)。如在函數(shù)背景理解方面：從圖象看函數(shù)，從變量與變量關系看函數(shù)，從對應關系看函數(shù)；在函數(shù)關聯(lián)理解方面：方程、不等式、線性規(guī)劃、曲線與方程等；函數(shù)模型理解方面：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等。二是理解什么，即學生要理解數(shù)形結合思想研究函數(shù)的主要理由，以數(shù)釋形，把函數(shù)圖象和解析式結合起來研究函數(shù)特征，從圖象研究性質。三是能做什么，學生能夠用“數(shù)形結合”思想去預測生活中事物變化規(guī)律的趨勢。最后，活化大概念。知識向素養(yǎng)滲透，其操作方法是依據(jù)大概念設計核心問題，問題情景是核心素養(yǎng)生成的基本領域。教師可以通過創(chuàng)設以生活為背景的實例，從實際生活中獲得事物知覺和表象的模型，如展示炮彈發(fā)射后的軌跡、臭氧空洞面積變化曲線圖、城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化表，引導學生通過觀察、分析、歸納、概括等方法，把事物的關鍵、本質以及特征抽象出來，在問題的引導下對函數(shù)本質進行歸納和概括。在帶領學生探究函數(shù)本質的過程中，“理解”函數(shù)本質過程要建立在“前理解”的基礎上，前理解是理解的邏輯起點和現(xiàn)實源頭，學生在小學和初中已初步接受函數(shù)內容，高中階段學生還將學習幾種不同的函數(shù)模型，雖然研究對象不同，但研究函數(shù)的方法卻是相同的。為了讓學生意識到再次學習函數(shù)的必要性，可在學生的“前概念”中創(chuàng)造適當?shù)恼J知沖突。如教師提問：“變量說”解釋常函數(shù)會出現(xiàn)什么問題，怎樣描述函數(shù)的本質更好？進而引發(fā)認知沖突，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的研究還需要用精細的觀察和判斷。繼而發(fā)現(xiàn)更加貼近函數(shù)本質的“對應說”，對應說建立在“集合”和“對應”兩個基本概念上，師生展開大膽猜想，設計具有創(chuàng)意性的函數(shù)模型，讓學生借助生活情景初步感受“對應關系”，如把定義域類比為蘿卜籽，把值域類比為坑，讓學生體會蘿卜籽與坑的對應關系，一個蘿卜籽對應一個坑，也可以多個蘿卜籽對應一個坑，但一個蘿卜籽能對應兩個坑嗎？通過讓學生在實際情景中的分析、思考，抽象出定義域與值域的對應關系，并以驅動型問題引發(fā)學生對函數(shù)本質的思考，讓學生體會到對應說描述事物變化的準確性和深刻性。“對應說”的出現(xiàn)讓函數(shù)定義有了廣泛的適用范圍，但要注意的是“對應說”中“單值對應”并沒有準確的刻畫出函數(shù)的本質屬性，且“對應說”中“對應”的概念到底是什么還需商榷，教師可借此引入“關系說”讓一些有余力的學生進行思考，展開對函數(shù)現(xiàn)代定義的探索，這樣可以讓學生向科學家一樣思考問題，初步建立數(shù)學抽象思維。

（3）在問題情境教學中滲透數(shù)學建模核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)的發(fā)展和生成都高度依賴于問題情境，檢驗某種核心素養(yǎng)生成要看回到問題情境中是否能解決實際問題，核心素養(yǎng)是個體在面對現(xiàn)實問題情境時所表現(xiàn)的綜合力量。數(shù)學是運用抽象化和邏輯推理的方式研究數(shù)量、數(shù)字、空間的形式及其關系，在科學、工程、技術等領域有著廣泛應用，不同的學科背景為數(shù)學提供著豐富的問題情境，現(xiàn)實生活中存在大量問題可以通過體現(xiàn)變量關系的函數(shù)模型得到解決，所以在教學中應主要通過觀察實際背景和問題驅動體會函數(shù)模型的形成，通過問題情境——建立模型——求解驗證的過程逐步形成數(shù)學建模。注重數(shù)學建模的過程性教學，探索不同學科應用數(shù)學模型進行設計解決實際問題的過程，通過對實際情境中的問題進行抽象，用數(shù)學方法構建模型解決問題形成關鍵數(shù)學能力，如通過生物學中“種群數(shù)量變化”為情景建立對函數(shù)模型；在醫(yī)藥學中，有專家診斷模型，疾病靶向模型等；在管理學中，有投入產出模型、人力資源模型等。問題情境教學實施的一般模式是通過問題驅動和進行假設層層深入，如在問題情景中進行問題驅動：科學家、數(shù)學家使用什么方法研究事物的變化規(guī)律？決定這些變化規(guī)律的要素主要是什么？各要素之間的相互關系如何？師生對這些問題進行討論，即抽象出函數(shù)模型的基本要素：定義域、對應關系、值域。三者的基本關系是什么？定義域和對應關系決定著值域，定義域和對應關系是怎樣得出值域的呢？大膽假設提出加工機模型來解釋函數(shù)模型形成的基本過程，這一過程可表示為：x→[f]→f（x）=y，x必須經過f的加工才能達到y(tǒng)，加工機模型很好地解釋了函數(shù)模型中的“對應法則”。但隨之而來的問題是如何運用集合語言來刻畫函數(shù)？聯(lián)想到集合語言具有簡潔性、嚴謹性等特點，引導學生嘗試用集合語言來表示“一個變化”過程，此問題對于高一年級學生來說難度較大，教師可以借助PPT展示兩個集合間的對應關系應該怎樣表示，對生活情景中的問題進行充分討論，引導學生體會“對應法則”在函數(shù)概念中的核心作用。驗證過程中可以提問解析式y(tǒng)=f（x）中f與x之間是乘的關系嗎？用x，y的加減乘除能否全面的表示對應關系？對應關系f可以用哪些方式表達？這些問題都可以在加工機模型中進行驗證。接下來通過問題驅動對高中數(shù)學函數(shù)本質進行反思，提問：集合A中元素能否有剩余，集合B中的元素能否有剩余？學生通過觀察事物之間的變化規(guī)律，討論質疑，體會函數(shù)概念中的“任意”和“都有”二詞以及兩個實數(shù)集合之間的單值對應，并通過邏輯推理辨?zhèn)未嬲妫瑥暮瘮?shù)定義、函數(shù)符號、函數(shù)三要素三個層次加深理解集合與對應語言對函數(shù)的刻畫，從而認識到函數(shù)在感性上是幾何的，理性上是代數(shù)的，是一種通過某一事物的變化信息，可推知另一事物信息對應關系的事物模型。在此，把函數(shù)模型分析的過程應用到現(xiàn)實生活問題情景中，在解決問題的過程中將函數(shù)模型的思想逐步細化，從更高層次上認識函數(shù)描述事物變化規(guī)律的重要性，建立數(shù)學對象——共同特征——規(guī)律的結構模型，由此培養(yǎng)學生模型意識和模型認知的數(shù)學思維方式。

作者:張四保 常寧 單位:喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院