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篇（1）

一、“閾值效應”概念與函數表達式

經濟學中,常用到“經濟閾值”和“閾值效應”的概念。“經濟閾值”是指相關的經濟要素之間能夠產生影響或變化的最小變化量或最小變化幅度。[1]用函數方法表述:設經濟要素y為經濟要素x的函數,如果

閾值效應函數的一般表達式為:

設兩個經濟要素的函數關系為y=f(x),使函數值發生變化的x值為函數y=f(x)的臨界點,定義從一個臨界點到相鄰下一個臨界點的距離為函數,n=0,1,2,……。

(1)當閾值()為常量時

設閾值,因函數y在x沒有達到新的臨界點之間,其值保持不變,所以y=f(x)應修正為:

(2)閾值為變量時,設函數閾值由實際問題確定,閾值依次為,,……,那么,函數y=f(x)應修正為:當時,

二、資金需求的利率彈性存在著閾值效應

人們在分析利率的變化對資金供求關系的影響時,常用資金供求的利率彈性系數(ε)作為衡量標準。[2]

我們知道,利息作為資金借貸的價格,其變化直接決定著資金供求量的變化,利率作為計算利息的標準,其變化既決定著利息的高低,也決定了資金供求量的變化。由于利率及貨幣供給主要由國家(央行)直接控制,是企業資金需求的外生變量。因此我們主要討論利率變化對資金需求的影響。即資金需求的利率彈性。

在一般情況下,資金需求隨著利率的升降而出現減增。但有時我們也會看到,在利率變化幅度不足夠大時,資金需求并沒有發生相應的變化,我們稱這種現象為資金需求的利率彈性的閾值效應,即利率的變化幅度并沒有達到足以影響資金需求變化的幅度,因此,資金需求仍保持不變。

資金需求之所以存在著利率彈性閾值,主要原因有:(1)資金需求量是受多種因素影響的結果,換言之,資金需求量q是利率i、價格p、國民收入r、利潤水平e等諸多變量的函數,即,利率的微小變化被其他因素的變化作用所抵消,使需求量的變化難以成為顯性;(2)即使將其他因素視為常數,只考慮利率對資金需求量的影響,利率作用于資金需求的變化,需要一定的時間或周期,即資金供求市場也存在著所謂瞬期均衡,短期均衡,長期均衡[3],從一種平衡過渡到另一種平衡需要一個過程;(3)利率的變化幅度太小不足以克服原來資金需求的慣性,也會形成利率彈性閾值。實際經濟活動中大量的經驗也充分的證明了這一點:僅僅依靠利率的微小變動調節資金供求關系并不能達到預期的效果。

三、資金需求的利率彈性與閾值效應數學模型

首先分析在沒有閾值效應條件下,資金需求的利率彈性。為分析問題方便:

(1)設資金需求量(q)與利率(i)之間呈線性關系:q=a-bi;……(1)

(2)運用微觀經濟學中分析彈性的一般方法,其資金需求的彈性

需要指出的是:微觀經濟學中,需求彈性分析方法的約定對自變量、因變量并沒有作明確規定,不太符合數學中函數的定義和我們對閾值效應的定義,但并不影響我們分析方法、過程及結果的正確性。

其次,分析存在著閾值效應的條件下的資金需求的利率彈性。仍設q=a-bi,使q值發生變化的i值為q=a-bi的臨界點。從一個臨界點到下一個相鄰臨界點的距離為q的閾值,并設為一常數,則q=a-bi修正為:

與無閾值效應時相同。但當

四、資金需求的利率彈性閾值運用實例

設資金需求量與利率之間的關系如下表:

根據上表擬合的資金需求量q的數學模型為:

不考慮閾值效應時:q=10-i,

此例分析表明:

(1)考慮閾值效應時計算需求量和需求彈性較之不考慮閾值效應計算結果更精確,更準確,更符合實際狀態。

(2)利率閾值內[0,),利率彈性小于無閾值效應時的利率彈性。

五、閾值效應原理在資金需求的利率彈性分析中的意義和作用

(1)利率彈性閾值的確定應該是資金需求是與利率之間數量分析的基礎和起點,即如果我們不能確定利率彈性閾值,我們就很難確定利率與資金需求的數量關系。

(2)利率的閾值彈性是確定利率需求量分析的計量單位的基礎和依據。如果選擇的利率或資金需求量的計量單位太小或太大,都難以掌握二者之間的規律。

(3)運用利率彈性的閾值效應原理有利于我們制定正確的利率貨幣政策,實現調整資金供求關系的預期。如政府期貨通過提高貸款利率、緊縮銀根,抑制經濟過熱或降低貸款利率,放松銀根,刺激疲軟的經濟時,利率上升或下降的幅度和方式是政府決策的難點。通過利率彈性閾值的分析,可以使我們更好地把握利率調整的力度和頻率,達到調整經濟的預期目的。

參考文獻

[1]楊建新等.論經濟學中的閾值及閾值效應[M].2007人文學術研究,吉林人民出版社,2007.10:62.

篇（2）

1導數在經濟分析中的應用

1.1邊際分析在經濟分析中的的應用

1.1.1邊際需求與邊際供給

設需求函數Q=f（p）在點p處可導（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數Q’=f’(p)稱為邊際需求函數，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數Q=Q(P)可導（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數，簡稱邊際供給。

1.1.2邊際成本函數

總成本函數C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函數=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數C’=C’(Q)．C’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際成本，其經濟意義為：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則成本將相應增減C’’(Q0)個單位。

1.1.3邊際收益函數

總收益函數R=R(Q)；平均收益函數=(Q)；邊際收益函數R’=R’(Q)．

R’(Q0)稱為當商品銷售量為Q0時的邊際收益。其經濟意義為：當銷售量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則收益將相應地增減R’(Q0)個單位。

1.1.4邊際利潤函數

利潤函數L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數;=(Q)邊際利潤函數L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際利潤，其經濟意義是：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則利潤將相應增減L’(Q0)個單位。

例1某企業每月生產Q（噸）產品的總成本C（千元）是產量Q的函數，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格2萬元，求每月生產10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。

解：每月生產Q噸產品的總收入函數為：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為

L’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；

以上結果表明：當月產量為10噸時，再增產1噸，利潤將增加1萬元；當月產量為15噸時，再增產1噸，利潤則不會增加；當月產量為20噸時，再增產1噸，利潤反而減少1萬元。

顯然，企業不能完全靠增加產量來提高利潤，那么保持怎樣的產量才能使企業獲得最大利潤呢？

1.2彈性在經濟分析中的應用

1.2.1彈性函數

設函數y=f(x)在點x處可導，函數的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比，當Δx0時的極限稱為函數y=f(x)在點x處的相對變化率，或稱為彈性函數。記為EyEx•EyEx=limδx0

ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在點x=x0處，彈性函數值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱為f（x）在點x=x0處的彈性值，簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處，當x產生1%的改變時，f（x）近似地改變EExf(x0)%。

1.2.2需求彈性

經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。

對于需求函數Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調減少函數，ΔP與ΔQ異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數為η(p)=-f’(p)pf(p)

例2設某商品的需求函數為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1，說明當P=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。

η(5)=1，說明當P=5時，價格上漲1%，需求也減少1%，價格與需求變動的幅度相同。

η(6)=1.2>1，說明當P=6時，價格上漲1%，需求減少1.2%，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。

1.2.3收益彈性

收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以，收益彈性為EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η



這樣，就推導出收益彈性與需求彈性的關系是：在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。

（1）若η<1，則EREP>0價格上漲（或下跌）1%，收益增加（或減少）(1-η)%；

（2）若η>1，則EREP<0價格上漲（或下跌）1%，收益減少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1，則EREP=0價格變動1%，收益不變。

1.3最大值與最小值在經濟問題中的應用

最優化問題是經濟管理活動的核心，各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。

1.3.1最低成本問題

例3設某廠每批生產某種產品x個單位的總成本函數為c(x)=mx3-nx2+px，（常數m>0,n>0,p>0），（1）問每批生產多少單位時，使平均成本最??？（2）求最小平均成本和相應的邊際成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生產n2m個單位時，平均成本最小。

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相應的邊際成本。

1.3.2最大利潤問題

例4設生產某產品的固定成本為60000元，變動成本為每件20元，價格函數p=60-Q1000（Q為銷售量），假設供銷平衡，問產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？

解：產品的總成本函數C(Q)=60000+20Q

收益函數R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

則利潤函數L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

L’’(Q)=-1500<0Q=2000時L最大，L（2000）=340000元

所以生產20000個產品時利潤最大，最大利潤為340000元。



2積分在經濟中的應用

在經濟管理中，由邊際函數求總函數（即原函數），一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。

例5設生產x個產品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C0=1000元，產品單價規定為500元。假設生產出的產品能完全銷售，問生產量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。

解:總成本函數為

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

總收益函數為R(x)=500x

總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因為L’’(200)<0。所以，生產量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產量就必定增加利潤,只有合理安排生產量,才能取得總大的利潤。

綜上所述，對企業經營者來說，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為科學的經營決策提供可靠依據。



參考文獻

［1］聶洪珍,朱玉芳.高等數學（一）微積分［M］.北京：中國對外經濟貿易出版社，2003,（6）.

篇（3）

1導數在經濟分析中的應用

1.1邊際分析在經濟分析中的的應用

1.1.1邊際需求與邊際供給

設需求函數Q=f（p）在點p處可導（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數Q’=f’(p)稱為邊際需求函數，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數Q=Q(P)可導（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數，簡稱邊際供給。

1.1.2邊際成本函數

總成本函數C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函數=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數C’=C’(Q)．C’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際成本，其經濟意義為：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則成本將相應增減C’’(Q0)個單位。

1.1.3邊際收益函數

總收益函數R=R(Q)；平均收益函數=(Q)；邊際收益函數R’=R’(Q)．

R’(Q0)稱為當商品銷售量為Q0時的邊際收益。其經濟意義為：當銷售量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則收益將相應地增減R’(Q0)個單位。

1.1.4邊際利潤函數

利潤函數L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數;=(Q)邊際利潤函數L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際利潤，其經濟意義是：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則利潤將相應增減L’(Q0)個單位。

例1某企業每月生產Q（噸）產品的總成本C（千元）是產量Q的函數，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格2萬元，求每月生產10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。

解：每月生產Q噸產品的總收入函數為：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為

L’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；

以上結果表明：當月產量為10噸時，再增產1噸，利潤將增加1萬元；當月產量為15噸時，再增產1噸，利潤則不會增加；當月產量為20噸時，再增產1噸，利潤反而減少1萬元。

顯然，企業不能完全靠增加產量來提高利潤，那么保持怎樣的產量才能使企業獲得最大利潤呢？

1.2彈性在經濟分析中的應用

1.2.1彈性函數

設函數y=f(x)在點x處可導，函數的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比，當Δx0時的極限稱為函數y=f(x)在點x處的相對變化率，或稱為彈性函數。記為EyEx•EyEx=limδx0

ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在點x=x0處，彈性函數值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱為f（x）在點x=x0處的彈性值，簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處，當x產生1%的改變時，f（x）近似地改變EExf(x0)%。

1.2.2需求彈性

經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。

對于需求函數Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調減少函數，ΔP與ΔQ異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數為η(p)=-f’(p)pf(p)

例2設某商品的需求函數為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1，說明當P=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。

η(5)=1，說明當P=5時，價格上漲1%，需求也減少1%，價格與需求變動的幅度相同。

η(6)=1.2>1，說明當P=6時，價格上漲1%，需求減少1.2%，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。

1.2.3收益彈性

收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以，收益彈性為EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η



這樣，就推導出收益彈性與需求彈性的關系是：在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。

（1）若η<1，則EREP>0價格上漲（或下跌）1%，收益增加（或減少）(1-η)%；

（2）若η>1，則EREP<0價格上漲（或下跌）1%，收益減少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1，則EREP=0價格變動1%，收益不變。

1.3最大值與最小值在經濟問題中的應用

最優化問題是經濟管理活動的核心，各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。

1.3.1最低成本問題

例3設某廠每批生產某種產品x個單位的總成本函數為c(x)=mx3-nx2+px，（常數m>0,n>0,p>0），（1）問每批生產多少單位時，使平均成本最??？（2）求最小平均成本和相應的邊際成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生產n2m個單位時，平均成本最小。

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相應的邊際成本。

1.3.2最大利潤問題

例4設生產某產品的固定成本為60000元，變動成本為每件20元，價格函數p=60-Q1000（Q為銷售量），假設供銷平衡，問產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？

解：產品的總成本函數C(Q)=60000+20Q

收益函數R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

則利潤函數L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

L’’(Q)=-1500<0Q=2000時L最大，L（2000）=340000元

所以生產20000個產品時利潤最大，最大利潤為340000元。

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2積分在經濟中的應用

在經濟管理中，由邊際函數求總函數（即原函數），一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。

例5設生產x個產品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C0=1000元，產品單價規定為500元。假設生產出的產品能完全銷售，問生產量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。

解:總成本函數為

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

總收益函數為R(x)=500x

總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因為L’’(200)<0。所以，生產量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產量就必定增加利潤,只有合理安排生產量,才能取得總大的利潤。

綜上所述，對企業經營者來說，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為科學的經營決策提供可靠依據。

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參考文獻

［1］聶洪珍,朱玉芳.高等數學（一）微積分［M］.北京：中國對外經濟貿易出版社，2003,（6）.

篇（4）

數學是各個學科得以發展的基礎，也是各個學科進行理性、抽象和科學分析問題的重要工具.由于數學高度的抽象性、嚴謹的邏輯性，造成學生學習的困難.久而久之，就產生了“學數學有什么用”的困惑，所以有必要經過訓練和熏陶，使他們建立學習數學的興趣，樹立學習數學的信心[1].

微積分是高等數學的一個重要分支，是進行數學分析的重要基礎理論.現如今，微積分已經被應用于各個學科之中，特別是在經濟學中，微積分思想的引入給經濟問題的分析和解決帶來了諸多便利.

一、導數在邊際和彈性理論中的應用

1.函數變化率――邊際函數

設函數y=f（x）可導，則導函數f′（x）稱為邊際函數，它的含義是：當x=x0時，當自變量x產生一個單位的改變時，y近似改變f′（x0）個單位.在西方經濟學中，有邊際成本、邊際收入、邊際利潤等.

例1 設某產品成本函數C=C（Q）（C為總成本，Q為產量），其變化率C′=C′（Q）稱為邊際成本，C′（Q0）稱為當產量為Q0時的邊際成本.西方經濟學家對它的解釋是：當產量達到為Q0時，生產Q0前最后一個單位產品所增添的成本.

例2 設銷售某種商品Q單位時的總收入函數為R=R（Q），則R′=R′（Q）稱為銷售量為Q單位時的邊際收入.其經濟含義是：在銷售量為Q單位時，再增加一單位產品銷售總收入所增量.

例3 設銷售某種商品Q單位時的利潤函數為L=L（Q），則L′=L′（Q）稱為銷售量為Q單位時的邊際利潤.

2.導數與彈性函數

我們先來看一個例子：

經濟學中常需研究一個變量對另一個變量的相對變化情況，因此先引入下面定義：

定義1[2] 設函數y=f（x）可導，函數的相對改變量

與自變量的相對改變量Δxx之比Δy/yΔx/x，稱為函數f（x）從x到x+Δx兩點間的彈性（或相對變化率）.而極限

稱為函數f（x）在點x的彈性（或相對變化率），記為

注：函數f（x）在點x的彈性EyEx反映隨x的變化f（x）變化幅度的大小，即f（x）對x變化反映的強烈程度或靈敏度.數值上，EExf（x）表示f（x）在點x處，當x產生1%的改變時，函數f（x）近似地改變EExf（x）%，在應用問題中解釋彈性的具體意義時，通常略去“近似”二字.

定義2[2] 設需求函數Q=f（P），這里P表示產品的價格，于是，可具體定義該產品在價格為P時的需求彈性如下：

η=η（P）=limΔP0ΔQ/QΔP/P=limΔP0ΔQΔP?PQ=P?f′（P）f（P）.

注：一般地，需求函數是單調減少函數，需求量隨價格的提高而減少（當ΔP>0時，ΔQ

用需求彈性分析總收益的變化：總收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即

R

知：

（1）若|η|0，R遞增.即價格上漲，總收益增加；價格下跌，總收益減少.

（2）若|η|>1，需求變動的幅度大于價格變動的幅度.R′

（3）若|η|=1，需求變動的幅度等于價格變動的幅度.R′=0，R取得最大值.

綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化.

二、導數在利潤最大化問題中的應用

在微分學中，通過對已知的函數進行求導后，就可以得到原函數的導數，即邊際函數.而在經濟學之中，邊際概念通常表示經濟變量的變化率.在經濟領域中，企業家經常會遇到如何才能使產品成本最低化、利潤最大等問題.這些問題都可以轉化為最大值和最小值進而用微積分的方法來解決.

例4 一個企業的總收益函數是R=4000Q-33Q2，總成本函數是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利潤L.

三、積分在利潤最大化問題中的應用

例5 設某種商品明天生產x單位時固定成本為20元，邊際成本函數為C′（x）=0.4x+2（元/單位），求總成本函數C（x）.如果這種商品規定的銷售單價為18元，且產品可以全部售出，求總利潤函數L（x），并問每天生產多少單位時才能獲得最大利潤.

解 因為變上線的定積分是被積函數的一個原函數，因此可變成本就是邊際成本函數在[0，x]上的定積分，又已知固定成本為20元，即C（0）=20，所以每天生產x多少單位時總成本函數為

設銷售x單位商品得到的總收益為R（x），根據題意有R（x）=18x，

所以總利潤函數

由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40，而L″（40）=-0.4

四、微分方程在經濟中的應用

例6 某商品的需求量Q對價格P的彈性為-Pln3，已知該商品的最大需求量為1200（即當P=0時，Q=1200），求需求量Q對價格P的函數關系.解 根據彈性公式得，PQQ′=-Pln3，

化簡得1QQ′=-ln3，

兩邊積分得∫1QQ′dP=∫-ln3dP，

其中，C=eC1，由初始條件P=0時，Q=1200，得C=1200，

所以，需求量Q對價格P的函數關系Q=1200×3-P.

結 語

在當今學科交叉研究越來越深入的趨勢下，微積分思想與經濟學的研究也更加緊密地結合了起來，通過本文可以看出，利用微積分知識可以簡捷、方便地解決許多經濟問題.希望通過本文的研究能夠幫助人們了解微積分思想在經濟中的重要作用.

篇（5）

引言：微積分學是高等數學最基本、最重要的組成部分，是現代數學許多分支的基礎，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數學模型之一。導數[3]是微積分的兩大部分之一，指的是函數的變化率，闡述了一些事物和現象都不斷變化，當然經濟現象也不例外。本文主要討論了經濟學中邊際分析的應用。

一、導數的概念

定義 設函數 在點 的某個鄰域內有定義，當自變量 在 處取得增量 （點 + 仍在該鄰域內）時，相應地函數 取得增量 ，如果 與 之比當 0時的極限存在，則稱函數 在點 處可導，并稱這個極限為函數 在點 處的導數，記為 ，即

. （1）

令（1）中的 時，則當 時 ，因此（1）式又可寫為

.（2） 令 ，則得到（3）式

.（3）

進而可引出左，右導數的定義：

，

.

二、邊際的概念及應用

邊際概念是經濟學中的一個重要概念，通常指經濟變量的變化率，即經濟函數的導數稱為邊際。而利用導數研究經濟變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法。

1.邊際成本

在經濟學中，邊際成本定義為產量增加或減少一個單位產品時所增加或減少的總成本。即有如下定義：

定義1：設總成本函數 ，且其它條件不變，產量為 時，增加（減少）1個單位產量所增加（減少）的成本叫做產量為 時的邊際成本。即：

其中 =1或 =-1。

例1：已知某商品的成本函數為：

（Q表示產量）

求：（1）當 時的平均成本及 為多少時，平均成本最小？

（2） 時的邊際成本并解釋其經濟意義。

解：（1）由 得平均成本函數為：

當 時：

記 ，則 令 得：

而 ，所以當 時，平均成本最小。

（2）由 得邊際成本函數為：

則當產量 時的邊際成本為5，其濟意義為：當產量為10時，若再增加（減少）一個單位產品，總成本將近似地增加（減少）5個單位。

2.邊際收入

定義2：若總收益函數 可導，稱

為銷售量為 時該產品的邊際收益。 稱為邊際收益函數，且 .

其經濟意義為在銷售量為 時，再增加（減少）一個單位的銷售量，總收益將近似地增加（減少） 個單位。

注：總收益是生產者出售一定量產品所得以的全部收入，表示為 ，其中 表示銷售量。

3.邊際利潤

定義3：總利潤是指銷售 個單位的產品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤，則：

（其中 表示銷售量）

定義4：若總利潤函數 為可導函數，稱

為 在 處的邊際利潤。

其經濟意義為在銷售量為 時，再多（少）銷售一個單位產品所增加（減少）的利潤。

根據總利潤函數，總收益函數、總成本函數的定義及函數取得最大值的必要條件與充分條件可得如下結論。

由定義，

令 則 .

結論1：函數取得最大利潤的必要條件是邊際收益等于邊際成本.

結論2：函數取得最大利潤的充分條件是：邊際利益等于邊際成本且邊際利益的變化小于邊際成本的變化率。

例2：假定有酒100噸，現價8元/公斤，多陳一年可增值2元/公斤，貯存費每年10000元，因貯存酒積壓資金引起機會成本每年增加 （其中 為酒的貯量， 為當年白酒價格， 為利息率，且假定 %），那么這些酒須儲存多久效益才最大呢？

1. 年增加的總收入函數

（元）

2. 年增加的貯存總成本

（元）

3. 年凈增利潤函數

= （元）

此時邊際收入： 邊際成本：

因為當 利潤最大，所以有 ，即 年。

由于駐點唯一，故只有當儲存期為2.75年時，企業才能獲得最佳經濟效益，其最大凈增利潤為151 250元。

三.總結

隨著市場經濟的不斷進步與發展，靈活利用數學知識解決經濟問題顯得越來越重要，而導數是高等數學中的重要概念，更是經濟分析的重要工具。把經濟活動中一些現象歸納到數學領域中，來運用所學的數學知識進行解答，對很多經營決策起了非常重要的作用[4]。

對企業經營者管理者來說，精準的對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。最優化問題也是經濟管理活動的核心，通常是利用函數的導數求經濟問題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問題。將導數作為分析工具，可以給企業經營者提供精確的數值和新的思路和視角[5]。

經濟學分析中的主要優化問題有產出最大化分析、收入最大化分析、利潤最大化分析、資源合理利用的優化分析、成本最小化分析以及最優組合分析等，通常伴隨一些約束條件[6]。通過優化分析可以幫助企業管理者尋求最大化企業的收益，并盡量降低生產成本和管理費用，意義非常深遠[7]。

導數對于在經濟學中邊際問題的剖析尤為主要，經由過程邊際問題的剖析，對于企業的抉擇妄想者做出正確的抉擇妄想起了十分主要的浸染！通過闡述導數在經濟分析中的幾種應用，說明導數在經濟管理中的重要作用，利用數學工具對經濟的各個環節進行定量分析[8]，有利于對經濟管理工作做定性分析，從而更科學地進行經濟管理，這是我國深化體制改革使經濟管理工作于國際接軌必不可少的一步。

參考文獻：

[1]丁瑤：導數的經濟意義及教學探討[J].重慶電子工程職業學院.2010.07.149-150.

[2]李春萍.導數與積分在經濟分析中的應用[J].商業視角，2010（2）：17-19.

[3]王青青.淺談導數在經濟中的應用[J].高校講壇，2011（9）：8.

[4]王利珍：用導數解決經濟中的最優化問題[J].忻州師范學院學報.2008.10.27-28

[5]王利珍：用導數解決經濟中的最優化問題[J].忻州師范學院學報.2008.10.27-28

篇（6）

關鍵詞：

數學；經濟學；應用策略

隨著數學理論的不斷完善和經濟學研究的不斷深入，人們越來越頻繁地將數學工具應用到經濟學研究之中，促使經濟學獲得了更加科學、精密的發展。如今，數學已成為經濟學分析所不可缺少的一門工具，加強數學在經濟學中的應用研究，具有重要的現實意義。

1經濟學中應用數學的重要性

隨著市場經濟的出現和發展，人們開始用數學工具來分析、解釋一些經濟學現象及問題，并逐漸形成了現代經濟學這門重要的理論體系。數學在經濟學中的應用，主要起到了三點作用：首先，在經濟學中，經常需要對一些前提條件提出假設，這時就需要用數學語言進行表述，從而使問題更清晰地呈現在人們面前。其次，利用數學思維分析、論證經濟學的某些觀點，能夠使研究更有邏輯性和條理性。再次，在得出某些經濟學結論時，如果用相應的數學統計數據加以說明，將使結論更具可靠性和說服性。

2數學在經濟學中的具體應用策略

2．1函數在經濟學中的應用：

“函數”是反映量與量之間依存關系的一種數學映襯形式，也是經濟學中使用最多的一種數學工具。在經濟學分析中，經常涉及的經濟量有價格、成本、效益等，當需要分析這些經濟量之間的關系時，就要用到數學的思維和方法，結合實際問題進行建模分析，理清該問題中存在哪些函數關系，進而總結出經濟學問題的規律和實質。在經濟學研究中，主要存在以下經濟函數：收益函數、利潤函數、成本函數、供給函數、利息函數等。

2．2最值在經濟學中的應用：

最值問題是經濟學研究中最常見的一類問題，如怎樣分配物料才能達到最高產量、怎樣安排生產計劃才能獲得最高利潤等，對于此類問題，可從數學角度歸結為求函數最值的問題。例如，在研究收入最大化與利潤最大化的問題時，假設產品的價格一定，則產量越高收入越多，然而，取得最大收入并不等同于獲得最高利潤，僅在產量達到某一數值時，才能獲得最大利潤，這就涉及到函數最值的求解。通過求解函數的一階導數，找出其中可能出現最值的點，比如駐點、區間端點、不可導點等，再分別比較各點的函數值大小，就能得出最佳利潤方案。

2．3導數在經濟學中的應用：

導數是因變量變化量與自變量變化量之比，它反映了因變量相較于自變量變化的快慢程度。導數在經濟學問題中有著十分廣泛的應用，如經濟學分析中往往涉及變化率的問題，具體包括瞬時變化率與平均變化率兩個方面。其中，平均變化率主要用來描述年產量、成本以及利潤等在某個區間內平均變化，而瞬時變化率就相當于數學函數中的導數，在經濟學中主要用來分析一些邊際問題，如邊際成本、邊際需求、邊際效益等。在一些具體的經濟問題中，商家不但要關注邊際分析，也要進行相應的彈性分析，例如，原價10元與原價100元的商品同時漲價1元，其漲價幅度是不一樣的，雖然變化的絕對量都是1元，但該變化量與原價的比值明顯不同，這其實就涉及到了經濟學中經常提到的彈性原理。在實際生產中，若商家忽視邊際分析而一味的生產，必然導致資源的無端浪費；若商家忽視需求和價格的彈性分析，則很難取得最大利潤。而在邊際分析與彈性分析方面，最有效的數學工具就是導數，其能夠給決策者提供真實、可靠的數據支持，幫助其制定最佳的決策方案。

2．4積分在經濟學中的應用：

積分與微分互為逆運算，積分在經濟學中的應用主要表現為對已知函數求積分，從而求得總經濟量的函數關系。在高中數學學習中，學生能夠接觸到的主要是定積分這一概念，通過定積分可以求得原函數在某范圍內的具體變化量，因此可以用于分析經濟學與自然科學中的一些問題。在實際經濟問題中，往往要用改變上限的定積分來對總經濟量函數的相關問題進行探討。例如，某產品的價格y隨銷量x的變化而變化，即y是x的函數，在這種情況下要想求出銷量由a變化為b時的收益，便可以采用定積分的方式進行計算。

3經濟學中應用數學的注意事項

數學是經濟學分析的有效方法之一，也是經濟學分析中不可或缺的計算工具，只要掌握了數學這門工具，就能把一些的復雜的經濟問題抽象化，從數學角度進行思考和論證，從而大大推動了經濟學的進步與發展。但經濟學除了數學屬性之外，還具有強烈的思想性，因此數學在經濟學中的應用不是萬能的，而是存在著很多局限之處，必須在經濟學的體系框架下分析問題，才能發揮數學的真正作用。具體應注意以下方面：首先，經濟學問題不是數學問題的簡單疊加，并非所有的經濟學要素都可以進行數字化的轉化，在分析經濟學問題時，必須意識到，經濟學屬于社會科學的分支之一，其影響因素無處不在，如社會制度、文化哲學、法律道德等都會給經濟學研究帶來不同程度的影響。其次，經濟學的發展必須以經濟理論的研究視覺為基礎，只有抓住經濟學的學科本質，發現現實中的經濟規律，方能得出合理、可靠的經濟學結論。在這個前提下，可以提出特定條件的假設，并運用相應的數學方法來進行分析，從而使經濟問題得到更好的解決。再次，數學不是經濟學研究的唯一工具，在分析實際的經濟問題時，出了數學建模之外，也要靈活地運用物理、生物等其他學科，以免研究方向的單一化，促使經濟學取得更加多元化的發展。

結語：

綜上所述，數學在經濟學中有著廣泛的應用，尤其是隨著市場經濟的不斷發展，數學與經濟學之間的聯系愈加緊密，對于經濟問題的研究越來越離不開數學的幫助與支持。因此，要善于利用數學這門工具，在充分認識到數學重要性和局限性的基礎上，全面發揮數學在經濟學分析中的優勢與作用，為經濟學發展提供更有力的支持和保障。

作者：左晉成 單位：山東海陽市中英文中學

篇（7）

一、需求函數

在商品市場中，影響消費者對該商品的需求因素有價格、人均收入、供給、成本等，其中商品的價格是影響消費者對該商品的需求的主要因素，如果忽略如人均收入、供給、成本變化等其他因素，僅把需求量看成是價格的函數：Q=f(p)，Q表示需求量，p表示價格，稱為價格需求函數（簡稱需求函數）。在正常情況下，商品的價格下降，需求量增加，反之商品價格上漲，需求量減少。因此，需求函數一般為單調函數。

二、需求彈性

在商品市場經濟中，經營者要提高經濟效益，不僅要提高質量，降低成本而且要做好市場預測，掌握商品的供求信息。在銷售時，經營者應根據市場信息，常常對某些商品采取降價措施，使銷售量增加，薄利多銷，增加經濟收益，而有的商品，同樣采用降級銷售，但銷售量增加卻不多，經營者未能增加經濟收益，這時我們不僅要研究商品的絕對改變量，而且常常需要研究其相對改變量。例如:商品甲原每單位10元，現漲價2元，商品乙原每單位價格為1000元，現漲價2元，兩種商品價格的絕對改變量都是兩元，但與其原價相比，兩者漲價的幅度卻有很大的差異，商品甲漲價了20%，商品乙漲價了0.2%，即商品甲的價格相對改變量為20%，商品甲的價格相對改變量僅為0.2%，但其需求量Q的變化也明顯不一樣，其原因取決于該商品的需求量對價格變動的敏感程度，即商品的價格需求彈性。

設函數y=F(x)在點x可導，當自變量在點x取改變量x時，函數相應的改變量y=f(x+x)-f(x)，則x,分別表示自變量在點X取得的絕對改變量和相對改變量，y,分別表示函數在點x相應取得的絕對改變量和相對改變量，相對改變量通常用百分數表示，函數的相對改變量與自變量的相對改變量的比值表示函數y=f(x)從x到x+x兩點間的相對變化率，即當時x0時

表示函數y=f(x)在點x的相對變化率（也稱相對導數），在經濟學中稱函數y=f(x)在點x的彈性，記做，即因為，因此函數的彈性也表示邊際函數在平均函數之比。需求函數Q=f(p)在點P的彈性表示商品的社會需求量關于價格的相對變化率，稱為需求的價格彈性。簡稱為需求彈性，其經濟意義表示價格在P的基礎上改變了1%，需求量相應地在Q的基礎上改變的百分數。

由于需求函Q=f(p)數一般為單調減少函數。f’(p)＜0，因此需求彈性為負值，負號表示需求量的變化方向與價格的變化方向相反。

三、需求彈性的應用

設需求函數為Q=f(p)，當需求彈性分別為＜－1，＝－1或-1＜＜0時，需求量變動的百分數分別大于，等于和小于價格變動的百分數，分別稱為需求有彈性，需求有單位彈性或需求是低彈性的。

根據需求彈性的經濟意義，當商品需求有較高彈性時，商品的需求量對價格變動的反應較為敏感，經營者如采用降價銷售，能促進消費者消費，較大地增加銷售量，薄利多銷，可明顯增加經濟收益，當商品需求低彈性時，商品的需求量對價格變動的反應遲鈍，經營者若提高商品的價格，銷售量減少不大，經營者不會因銷售量減少而影響總的經濟收益。

根據有關統計表明，日常生活必需品如米、油、鹽等商品的需求彈性較低，高檔消費品、奢侈品如轎車等商品的需求彈性較高。

例1根據市場調查，某種商品的需求函數為Q=f(p)=1000e-0.2p

（1)求商品的需求彈性；

（2)現在市場上銷售價格為10元，當價格提高1%時，該商品的需求量如何變化。

解 （1)商品的需求彈性為，

（2)=-0.2×10=-2

因此，銷售價格在10元的基礎上提高1%，則商品的需求彈性約減少2%。

四、偏彈性

設二元函數z=f(x,y)在點(x,y)可微，當自變量x在點(x,y)取得絕對改變量x,y保持。自變量x的相對改變量，z/x表示函數z關于x的偏相對改變量，比值表示函數z=f(x,y)在(x,y)與(x+x,y)兩點間關于x的相對變化率，當x0，表示函數z=f(x,y)在(x,y)關于x的相對變化率，稱為函數z=f(x,y)在(x,y)關于x的偏彈性，它表示在點(x,y)處，當自變量x的改變1%（自變量y不變）時，函數z相應改變的百分數，類似，稱為函數z=f(x,y)在(x,y)與(x,y+y)關于y的偏彈性。

例2根據資料統計，某種商品的綜合需求函數為Q=0.51?p-1.6，M0.92其中Q為商品需求量，p為商品的價格，M為人均收入，求需求量關于價格和人均收入的偏彈性，并說明其經濟意義。

解需求量關于價格的偏彈性為

＝-1.6它表示當商品價格上漲1%時，商品的需求量大約下降1.6%。

篇（8）

0 引言

文字描述、圖表直觀表達和數學模型刻畫是經濟學理論的三種不同表達方式，其各有各的特點，早期經濟學理論基本都以文字描述為主，圖表表達輔，很少涉及到復雜的數學模型。當數學作為一種工具被以馬歇爾為主的經濟學家引入經濟學研究后，對經濟學的研究產生了深遠影響，比如《國富論》的基本思想既包括了資源配置理論也包括了分工理論，但由于分工理論在形式化方面存在的巨大困難而逐漸被淡化，相反，由于馬歇爾將資源配置理論以圖表和數學模型刻畫而幾乎成為了經濟學的全部，比如現行的經濟學教材中對經濟學的定義一般都是“由于人類的欲望是無窮的，而經濟資源是有限的，經濟學是研究如何最有效地利用有限的經濟資源更好地滿足人類無窮的欲望”。在現代主流經濟學家中除了科斯等極少數經濟學家外，數學模型仍然是經濟學家研究經濟學的最重要工具之一。主流經濟學學術期刊中的數學模型早已成為一種主流研究方法。然而，獨立學院的學生有個共同的特點，那就是正因為其數學基礎不好才被錄入到獨立學院的，所以獨立學院學生的數學邏輯思維普遍較差，即使費了極大的力氣學會了一些數學知識，但也不懂得其真正的數學含義，更不會將其做為一種工具而應用于經濟學分析。另外，獨立學院的數學老師在教學中也存在嚴重不足。首先，獨立學院的數學老師一般沒有真正學習過數學史，所以對數學中的基本理論缺乏“原生態”的了解，不了解紛繁復雜的數學理論的來龍去脈，不清楚各個數學公式定理是在何種歷史背景下出現的，更不懂得各個數學理論知識是用來解決什么現實問題的，因此，大多數數學老師只知道純理論的教學，只會教學生解題，根本不引導學生將數學知識回歸現實中，回歸應用?；谏鲜鲈?，大多數獨立學院的經濟學教師都略去了經濟學教材中的圖表和數學模型，只講些描述性的文字，這樣的教學學生聽起來當然輕松，但這樣的教學方法注定了學生根本無法接觸到真正的經濟學知識。所以，如何將數學和經濟學結合起來培養學生經濟學分析能力是擺在獨立學院經濟學教學面前的重大課題。

1 對除法的真正理解有助于我們領悟經濟學中的諸多經濟學意義

教學過程中筆者要學生計算如下數學題：4個蘋果平均分給2個小朋友，請問每個小朋友能分到幾個蘋果？此題一出，課堂上哄然大笑，學生都說我低估了他們的智商，他們不屑一顧地說出了答案2（注：學生的答案根本沒有單位，而僅僅是個純數字）。接著，我板書如下：4個蘋果/2個小朋友=2個蘋果/1個小朋友，然后，我解釋分子除以分母的實際意義是計算者想知道一單位分母擁有多少單位分子，本題中即是每個小朋友擁有多少單位蘋果。此時同學們表現出若有所思的樣子，接著我正式進入上課內容。

1.1 價格彈性中的除法

價格彈性用來描述商品需求量對價格變化的敏感程度，即當價格變化1%時，需求量變化百分之幾。公式表示為：需求量變化的百分數/價格變化的百分數，此公式的除法意義也就是想知道當價格變化百分之一時，需求量變化百分之幾。通過這種處理，經濟學的文字描述就完全轉化為數學公式的刻畫了。

實際上在中國的現實經濟中，消費者對商品的價格的敏感性及自身收入的敏感性已遠遠低于商品質量的敏感性，但為什么教材中只有商品需求的價格彈性和收入彈性而沒有質量彈性，原因很簡單，即使現實經濟中消費者對商品的質量敏感性很大，但是要將商品的質量量化至少在目前的條件下還不太可能，所以也就可以理解為什么經濟學教材中不會出現商品質量彈性了。

1.2 消費者均衡方程中的除法

假設消費者只消費兩種商品，則消費者均衡狀態時，消費者在兩種商品中消費中的每一美元的邊際效用相等，即MU1/P1=MU2/P2，這里的除法也是指分母的第個單位擁有分子的多少個單位。只有當消費者在兩種商品消費中最后一美元的邊際效用相等時，其消費水平才能處于均衡狀態。

1.3 收入-支出代數模型中的除法

收入-支出代數模型中的乘數很多，筆者僅以投資乘數為例說明除法的經濟學含義，投資乘數描述當投資量變化一個單位時，總產出會變化多少個單位，代數式表示為Y/I,或者以微商的形式表示，以方便求導數。這里對Y求導數的經濟學含義也就是指當投資I變化一個單位時，總產出Y會變化多少個單位。同理邊際效用、邊際產量、邊際收益、邊際消費傾向、邊際儲蓄傾向等等邊際函數的理解都要用到這類簡單的除法處理技術，即邊際就是求導數，求導數也就是求微商，求微商也就是計算除法，計算除法也就是想知道每個單位的分母量擁有多少個單位的分子量。

2 宏觀經濟學中常用的兩邊取對數再對時間求導

經濟增長是宏觀經濟學學習過程中的重點，其中有個常用的數學處理技巧，即對函數兩邊同時取對數再對時間求導，比如，對C-B生產函數，Y（t）=A（t）Kα（t）Lβ（t），對函數兩邊同時取對數再對時間求導得：總產出增長率=技術進步率+α資本增長率+β勞動力增長率,其中模型理解的關鍵是增長率與導數的關系，所以對導數定義的理解就變得至關重要。在數學學習過程中必須懂得導數在幾何上表示為曲線的斜率，但也表示變量的變化率，在經濟增長中則表示為經濟變量的增長率。

對這方面的數學表達式的理解與經濟學含義之間的掌握將不僅有利于學生學習初級課程，而且也對其以后學習高級課程打下良好的基礎。

3 對儲蓄等于投資恒等式的理解

國內外所有經濟學教材都會涉及到儲蓄等于投資的恒等式的講解，但是學生受到數學中恒等式的影響，總認為恒等式是放之四海皆成立的等式，根本沒有搞清楚經濟學中的恒等式都是基于某個假設條件而推算出來的結果，更不懂得經濟均衡類似于刀刃上的均衡，在現實經濟中均衡經濟幾乎不存在。經濟學家總是假設經濟處于均衡狀態，其目的是便于函數的求解，以便于研究的可操作性和教學的方便性，在封閉經濟情況下現實經濟尚且無法滿足儲蓄等于投資，在開放經濟條件下儲蓄等于投資的情況更不太可能。比如中國國內儲蓄遠遠高于國內投資，當時在開放經濟條件下外國直接投資會對儲蓄抽獎恒等式造成更大的沖擊。

4 結論

隨著學術研究的不斷深入，越來越多的社會科學引入了定量的數量分析方法，而經濟學研究中更是將數理分析方法發揚光大的學科，而獨立學院中絕大多數學生數學基礎不扎實，他們缺乏基本的數理思維訓練，如果經濟學教師在教學過程中為了遷就學生，采用文字化教學與理解，那么勢必造成學生不可能接觸到真正的經濟學理論，更沒法了解經濟學的真正研究趨勢和研究前沿，這不僅造成獨立學院經濟學教學與重點院校經濟學教學的脫接，更不能與國外的經濟學教學接軌，因此，經濟學教師必須自己認真研究經濟學中的數理模型，在充分理解的基礎上慢慢地引導學生進入那真正讓他們激動的經濟學殿堂。

篇（9）

1.模型的建立

柯布―道格拉斯生產函數是由數學家柯布和經濟學家道格拉斯于上世紀20年代提出，表示生產中所使用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關系，該生產函數可表示為：Q=AKαLβ

其中Q為總產出，L、K為勞動和資本投入量，A表示給定的技術水平對總產出的效應，α、β分別為K和L的產出彈性。α+β>1表明規模報酬遞增，α+β

令Ln（Q/L）=Y，LnA=C，Ln（K/L）=X則計量經濟學模型可轉化為：Y=C+αX+μ

2.數據說明與模型檢驗

本文數據來源于歷年江蘇省統計年間，樣本空間為2001―2011年。總產出采用農林牧漁業總產值表示，資本投入量用生產性固定資產原值表示，勞動投入量用農林牧漁業農村勞動力人數表示。具體情況如下表所示。

表1 江蘇省2001―2011年農業總產值與勞動力、資本情況匯總

[年份＼& 勞動力（萬人）＼&資本（億元）＼&產值（億元）＼&2001＼& 1452.3＼&724.67076996＼&1956.10＼&2002＼& 1354.16＼&755.9158288＼&2011.48＼&2003＼& 1230.29＼&845.59868819＼&1952.20＼&2004＼& 1134.85 ＼&899.32633937＼&2417.63＼&2005＼& 1058.28 ＼&1074.3866507＼&2576.98＼&2006＼& 981.37 ＼&1156.64961＼&2718.61＼&2007＼& 930.17 ＼&1224.2293624＼&3064.72＼&2008＼& 896.37 ＼&1344.616785＼&3590.64＼&2009＼& 876.31 ＼&1525.9474908＼&3816.02＼&2010＼& 859.83 ＼&1747.5925062＼&4297.14＼&2011＼& 821.69 ＼&2006.7801336＼&5237.45＼&]

基于以上模型和數據，運用SPSS19.0軟件進行OLS回歸分析。模型R2為，0.987擬合度很好；t檢驗和F檢驗的均在0.01水平上通過檢驗；DW檢驗為2.319。查表得n=11，k=2時d1=0.927，du=1.324，DW>du，表明模型不存在序列相關性；用斯皮爾曼相關系數檢驗模型的異方差，模型不存在異方差性。模型具有計量經濟學意義。江蘇省農業生產函數可寫成Q=AK0.983L0.017。其中勞動的產出彈性為0.017。

3.結論

1.勞動的產出彈性非負，沒有出現嚴格意義上的勞動力過剩，這可能是由耕種方式引起的。

2.勞動的產出彈性數值絕對值較小，接近0，表明勞動對產出的改變影響很小，即勞動的邊際生產率較差，農業發展中勞動規模已經接近飽和。

3.結合江蘇省其他產業的勞動產出彈性發現，農業領域的勞動產出彈性系數較小，換句話說，江蘇省農民從事農業生產的機會成本較大。農業勞動力相對過剩。

4.建議

綜合上述結論可發現，江蘇省農村勞動力相對過剩是主要問題，加快農業剩余勞動力的轉移是解決問題的最好辦法。

4.1大力發展鄉鎮企業

改革開放以來，蘇南地區的鄉鎮企業發展迅猛，成為江蘇省經濟的重要組成成分，但是廣大蘇北地區還相對滯后，鄉鎮企業特別是涉農企業數目少。鄉鎮企業在吸收農村剩余勞動力，改善農民收入水平等方面具有明顯優勢。作為政府，提倡農民自主創業，組織創業和技能培訓，提供創業融資逐步發展食品、服裝、農藥、化肥等涉農勞動密集型企業成為當務之急。

4.2加快小城鎮的城市化進程

目前，江蘇省農村剩余勞動力主要轉移方向是上海、南京等經濟較發達的一、二線城市，這使得這些城市的人口劇增，并帶來了一系列的社會問題，解決農村剩余勞動力應本著就地轉移的原則，逐漸向周圍的小城鎮轉移。因此要加快小城鎮的城市化進程，對小城鎮進行合理規劃配套建設，充實小城鎮建設資金，提升小城鎮生產能力，改善戶籍制度，極大程度吸引和吸收農村剩余勞動力。

4.3進一步完善大戶承包制度

大戶承包制度不僅能推進農業機械化，擴大農業產量，實現農業規模經濟，更為重要的是釋放大量農業勞動力從事其他產業，因此政府（特別是蘇北地區）應大力發展和支持大戶承包制度，首先需要健全土地流轉機制，規范土地流轉行為，提高承包戶工作積極性，其次應創新土地金融流轉金融體系，給大戶承包制度提供融資和規避風險的幫助。

參考文獻：

[1]王淑慧.基于生產函數的黑龍江省農業振興對策研究[J].商業經濟，2009.5

[2]張忠明.河南滑縣小麥生產函數研究[J].農業經濟問題，2010

[3]何延治.吉林省農業生產函數模型的建立[J].安徽農業科學，2008.36（14）：5693-5694

篇（10）

1貨幣的定義與構成

西方歷史上，貨幣定義衡量的主要是在經濟交換中能起交換手段作用的資產數量總和的貨幣數量。但是，一般經濟學理論理論研究的是一個純粹的定義：貨幣是一種能直接起交換手段或支付媒介作用的東西。貨幣存量的經驗定義的寬窄取決于是否包括交換手段的替代品。大多數西方經濟學家所接受的廣義貨幣定義是弗里德曼的貨幣定義，即貨幣是公眾持有的通貨加上公眾在商業銀行的所有存款。目前我國中央銀行對貨幣層次的劃分如下：M0=流通中的現金；M1=M0+活期存款；M2=M1+準貨幣（定期存款+儲蓄存款+證券公司保證金存款+其他存款）。

2中國貨幣需求函數估計

為避免多重共線性，本文采取以下形式對貨幣需求函數進行估計：Ln（M）=C+ln（GDP）+ln（R），其中M為貨幣需求量，GDP為國內生產總值，R為利率。由于利率又多種多樣，而且存貸利率差額又比較大，為真實反映貨幣持有的機會成本，主要采用如下利率：R0—短期貸款一年期利率；R1—長期貸款一至三年期利率（含三年期）；R2—長期貸款三至五年期利率（含五年期）；R3—長期貸款五年以上利率。鑒于改革開放早期中國貨幣與利率數據的大量缺失，本文主要采用的是1990-2007年這18年的數據（限于篇幅，數據在本文中不再列出，如有需要可與筆者聯系），由于對應于同一年份，利率又是在不斷的變化，本文采用該種利率與存在期進行加權平均得到的加權平均值。估計結果如下：

（1）針對M0的估計：

LOG（M0）=-1.15+0.88*LOG（GDP）-0.22*LOG（R0）

（t［gdp］=31.61）（t［r］=-2.98）（R^2=0.9928）（F=1167.32）（dw=0.91）（P［White］=0.0972］）；

LOG（M0）=-1.10+0.88*LOG（GDP）-0.19*LOG（R1）

（t［gdp］=32.56）（t［r］=-2.96）（R^2=0.9927）（F=1163.40）（dw=0.89）（P［White］=0.1079］）；

LOG（M0）=-1.05+0.88*LOG（GDP）-0.18*LOG（R2）

（t［gdp］=32.06）（t［r］=-2.80）（R^2=0.9924）（F=1118.41）（dw=0.88）（P［White］=0.1046］）；

LOG（M0）=-1.02+0.88*LOG（GDP）-0.16*LOG（R3）

（t［gdp］=32.90）（t［r］=-3.11）（R^2=0.9930）（F=1206.774）（dw=0.93）（P［White］=0.1278］）；

（2）針對M1的估計：

LOG（M1）=-2.79+1.11*LOG（GDP）-0.35*LOG（R0）

（t［gdp］=50.96）（t［r］=-5.99）（R^2=0.9973）（F=3135.74）（dw=1.02）（P［White］=0.0194］）；

LOG（M1）=-2.71+1.11LOG（GDP）-0.20*LOG（R1）

（t［gdp］=53.13）（t［r］=-6.07）（R^2=0.9974）（F=3200.22）（dw=1.02）（P［White］=0.6548］）；

LOG（M1）=-2.62+1.11*LOG（GDP）-0.27LOG（R2）

（t［gdp］=52.58）（t［r］=-5.96）（R^2=0.9973）（F=3117.79）（dw=1.01）（P［White］=0.6976LOG（M1）=-2.60+1.11*LOG（GDP）-0.27LOG（R3）

（t［gdp］=54.54）（t［r］=-6.36）（R^2=0.9975）（F=3418.05）（dw=1.14）（P［White］=0.7027］）；

LOG（M1）=-2.72+1.11*LOG（GDP）-0.22*LOG（R0）-0.10*LOG（R2）

（t［gdp］=45.91）（t［r0］=-0.35）（t［r2］=-0.20）（R^2=0.9971）（F=1956.93）（dw=1.02）（P［White］=03244］）；（3）針對M2的估計：

LOG（M2）=-3.0+1.21LOG（GDP）-0.34LOG（R0）

（t［gdp］=137.51）（t［r］=-14.50）（R^2=0.9996）（F=3117.79）（dw=1.79）（P［White］=0.6426）；

LOG（M2）=-2.93+1.21LOG（GDP）-0.29*LOG（R1）

（t［gdp］=130.26）（t［r］=-13.22）（R^2=0.9996）（F=18891.56）（dw=1.63）（P［White］=0.7804）；

LOG（M2）=-2.84+1.21*LOG（GDP）-0.26*LOG（R2）

（t［gdp］=127.39）（t［r］=-12.87）（R^2=0.9995）（F=17984.07）（dw=1.59）（P［White］=0.8366）；

LOG（M2）=-2.82+1.21*LOG（GDP）-0.26*LOG（R3）

（t［gdp］=129.93）（t［r］=-13.27）（R^2=0.9996）（F=19026.79）（dw=1.78）（P［White］=0.7958）；

LOG（M2）=-3.00+1.21*LOG（GDP）-0.33*LOG（R0）-0.004*LOG（R3）

（t［gdp］=129.37）（t［ro］=-1.58）（t［r3］=-0.02）（R^2=0.9996）（F=13964.24）

（dw=1.79）（P［White］=0.6738）；

LOG（M2）=-2.87+1.21*LOG（GDP）-0.13*LOG（R1）-0.14*LOG（R3）

（t［gdp］=126.40）（t［r0］=-0.47）（t［r3］=-0.57）（R^2=0.9996）

（F=12028.30）（dw=1.71）（P［White］=0.9151）

LOG（M2）=-2.83+1.21*LOG（GDP）-0.04*LOG（R2）-0.22*LOG（R3）

（t［gdp］=125.28）（t［r2］=-0.17）（t［r3］=-0.57）（R^2=0.9995）

（F=11863.22）（dw=1.75）（P［White］=0.7776）

4結論

GDP、R0、R1、R2、R3對M0、M1、M2有顯著影響，但在聯合解釋方程中R2、R3對M1的影響不顯著，聯合解釋R2、R3對M2影響不顯著，擬合效果良好，方程顯著成立，在5%的顯著水平下不存在異方差，不存在明顯的自相關性，其他組合均會造成至少一個利率變量系數為正，不符合經濟實際意義。M0即現金需求量對GDP的彈性為0.88，狹義貨幣M1對GDP的彈性為1.11。廣義貨幣M2對GDP的彈性為1.21，對利率的彈性隨著利率期限的延長而呈現遞減趨勢。隨著對貨幣層次的擴展，對GDP的彈性不斷增大，對利率的彈性也不斷增大，。但總體上貨幣需求函數是穩定的，有利于貨幣政策的實施。然而文中模型出現的問題如添加多個利率產生的利率彈性變正數的現象也沒有解釋清楚。這也是本文最大的弱點。

篇（11）

1貨幣的定義與構成

西方歷史上，貨幣定義衡量的主要是在經濟交換中能起交換手段作用的資產數量總和的貨幣數量。但是，一般經濟學理論理論研究的是一個純粹的定義：貨幣是一種能直接起交換手段或支付媒介作用的東西。貨幣存量的經驗定義的寬窄取決于是否包括交換手段的替代品。大多數西方經濟學家所接受的廣義貨幣定義是弗里德曼的貨幣定義，即貨幣是公眾持有的通貨加上公眾在商業銀行的所有存款。目前我國中央銀行對貨幣層次的劃分如下：M0=流通中的現金；M1=M0+活期存款；M2=M1+準貨幣（定期存款+儲蓄存款+證券公司保證金存款+其他存款）。

2中國貨幣需求函數估計

為避免多重共線性，本文采取以下形式對貨幣需求函數進行估計：Ln（M）=C+ln（GDP）+ln（R），其中M為貨幣需求量，GDP為國內生產總值，R為利率。由于利率又多種多樣，而且存貸利率差額又比較大，為真實反映貨幣持有的機會成本，主要采用如下利率：R0—短期貸款一年期利率；R1—長期貸款一至三年期利率（含三年期）；R2—長期貸款三至五年期利率（含五年期）；R3—長期貸款五年以上利率。鑒于改革開放早期中國貨幣與利率數據的大量缺失，本文主要采用的是1990-2007年這18年的數據（限于篇幅，數據在本文中不再列出，如有需要可與筆者聯系），由于對應于同一年份，利率又是在不斷的變化，本文采用該種利率與存在期進行加權平均得到的加權平均值。估計結果如下：

（1）針對M0的估計：

LOG（M0）=-1.15+0.88*LOG（GDP）-0.22*LOG（R0）

（t［gdp］=31.61）（t［r］=-2.98）（R^2=0.9928）（F=1167.32）（dw=0.91）（P［White］=0.0972］）；

LOG（M0）=-1.10+0.88*LOG（GDP）-0.19*LOG（R1）

（t［gdp］=32.56）（t［r］=-2.96）（R^2=0.9927）（F=1163.40）（dw=0.89）（P［White］=0.1079］）；

LOG（M0）=-1.05+0.88*LOG（GDP）-0.18*LOG（R2）

（t［gdp］=32.06）（t［r］=-2.80）（R^2=0.9924）（F=1118.41）（dw=0.88）（P［White］=0.1046］）；

LOG（M0）=-1.02+0.88*LOG（GDP）-0.16*LOG（R3）

（t［gdp］=32.90）（t［r］=-3.11）（R^2=0.9930）（F=1206.774）（dw=0.93）（P［White］=0.1278］）；

（2）針對M1的估計：

LOG（M1）=-2.79+1.11*LOG（GDP）-0.35*LOG（R0）

（t［gdp］=50.96）（t［r］=-5.99）（R^2=0.9973）（F=3135.74）（dw=1.02）（P［White］=0.0194］）；

LOG（M1）=-2.71+1.11LOG（GDP）-0.20*LOG（R1）

（t［gdp］=53.13）（t［r］=-6.07）（R^2=0.9974）（F=3200.22）（dw=1.02）（P［White］=0.6548］）；

LOG（M1）=-2.62+1.11*LOG（GDP）-0.27LOG（R2）

（t［gdp］=52.58）（t［r］=-5.96）（R^2=0.9973）（F=3117.79）（dw=1.01）（P［White］=0.6976LOG（M1）=-2.60+1.11*LOG（GDP）-0.27LOG（R3）

（t［gdp］=54.54）（t［r］=-6.36）（R^2=0.9975）（F=3418.05）（dw=1.14）（P［White］=0.7027］）；

LOG（M1）=-2.72+1.11*LOG（GDP）-0.22*LOG（R0）-0.10*LOG（R2）

（t［gdp］=45.91）（t［r0］=-0.35）（t［r2］=-0.20）（R^2=0.9971）（F=1956.93）（dw=1.02）（P［White］=03244］）；（3）針對M2的估計：

LOG（M2）=-3.0+1.21LOG（GDP）-0.34LOG（R0）

（t［gdp］=137.51）（t［r］=-14.50）（R^2=0.9996）（F=3117.79）（dw=1.79）（P［White］=0.6426）；

LOG（M2）=-2.93+1.21LOG（GDP）-0.29*LOG（R1）

（t［gdp］=130.26）（t［r］=-13.22）（R^2=0.9996）（F=18891.56）（dw=1.63）（P［White］=0.7804）；

LOG（M2）=-2.84+1.21*LOG（GDP）-0.26*LOG（R2）

（t［gdp］=127.39）（t［r］=-12.87）（R^2=0.9995）（F=17984.07）（dw=1.59）（P［White］=0.8366）；

LOG（M2）=-2.82+1.21*LOG（GDP）-0.26*LOG（R3）

（t［gdp］=129.93）（t［r］=-13.27）（R^2=0.9996）（F=19026.79）（dw=1.78）（P［White］=0.7958）；

LOG（M2）=-3.00+1.21*LOG（GDP）-0.33*LOG（R0）-0.004*LOG（R3）

（t［gdp］=129.37）（t［ro］=-1.58）（t［r3］=-0.02）（R^2=0.9996）（F=13964.24）

（dw=1.79）（P［White］=0.6738）；

LOG（M2）=-2.87+1.21*LOG（GDP）-0.13*LOG（R1）-0.14*LOG（R3）

（t［gdp］=126.40）（t［r0］=-0.47）（t［r3］=-0.57）（R^2=0.9996）

（F=12028.30）（dw=1.71）（P［White］=0.9151）

LOG（M2）=-2.83+1.21*LOG（GDP）-0.04*LOG（R2）-0.22*LOG（R3）

（t［gdp］=125.28）（t［r2］=-0.17）（t［r3］=-0.57）（R^2=0.9995）

（F=11863.22）（dw=1.75）（P［White］=0.7776）

4結論

GDP、R0、R1、R2、R3對M0、M1、M2有顯著影響，但在聯合解釋方程中R2、R3對M1的影響不顯著，聯合解釋R2、R3對M2影響不顯著，擬合效果良好，方程顯著成立，在5%的顯著水平下不存在異方差，不存在明顯的自相關性，其他組合均會造成至少一個利率變量系數為正，不符合經濟實際意義。M0即現金需求量對GDP的彈性為0.88，狹義貨幣M1對GDP的彈性為1.11。廣義貨幣M2對GDP的彈性為1.21，對利率的彈性隨著利率期限的延長而呈現遞減趨勢。隨著對貨幣層次的擴展，對GDP的彈性不斷增大，對利率的彈性也不斷增大，。但總體上貨幣需求函數是穩定的，有利于貨幣政策的實施。然而文中模型出現的問題如添加多個利率產生的利率彈性變正數的現象也沒有解釋清楚。這也是本文最大的弱點。