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篇（1）

中圖分類號：F12 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）31-0005-02

一、二元函數的最大值與最小值

求函數f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：

（1）求函數f（x，y）在D內所有駐點處的函數值;（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值;（3）將前兩步得到的所有函數值進行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。

在通常遇到的實際問題中，如果根據問題的性質，可以判斷出函數f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的內部取得，而函數f（x，y）在D內只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的函數值就是函數f（x，y）在D上的最大值（最小值）。

二、二元函數的最值在經濟中的應用

例1 設q1為商品A的需求量，q2為商品B的需求量，其需求函數分別為q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，總成本函數為C=3q1+2q2，其中p1，p2為商品A和B的價格，試問價格p1，p2取何值時可使利潤最大？

解 按題意，總收益函數為：

R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）

于是總利潤函數為

L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）

=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）

為使總利潤最大，求一階偏導數，并令其為零：

=14-4p1+8p2=0

=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）

=28+8p1-20p2=0

由此解得p1=63/2，p2=14，又因

（L"xy）2-L"xx?L"yy=82-（-4）（-20）<0

故取p1=63/2，p2=14價格時利潤可達最大，而此時得產量為q1=9，q2=6。

例2 在經濟學中有個Cobb-Douglas生產函數模型f（x，y）=

cxαy1-α，式中x代表勞動力的數量，y為資本數量（確切地說是y個單位資本），c與α（0<α<1）是常數，由各工廠的具體情形而定，函數值表示生產量，現在已知某制造商的Cobb-Douglas生產函數是f（x，y）=100x3/4y1/4每個勞動力與每單位資本的成本分別是150元及250元，該制造商的總預算是50 000元，問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動力與資本，以使生產量最高。

解 這是個條件極值問題，求函數f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=5 000下的最大值。

令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程組

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0

中的第一個方程解得λ=x-1/4y1/4，將其代入第二個方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在該式兩邊同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。將此結果代入方程組的第三個方程得x=250，y=50，即該制造商應該雇用250個勞動力而把其余的部分作為資本投入，這時可獲得最大產量f（250，50）=16 719。

例3 設銷售收入R（單位：萬元）與花費在兩種廣告宣傳的費用x，y（單位：萬元）之間的關系為

利潤額相當于五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費用.已知廣告費用總預算金是25萬元，試問如何分配兩種廣告費用使利潤最大？

解 設利潤為z，有

限制條件為x+y=25，這是條件極值問題，令

L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）

從而

Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0

整理得

（5+x）2=（10+y）2

又y=25-x，解x=15，y=10。根據問題本身的意義及駐點的唯一性即知，當投入兩種廣告的費用分別為15萬元和10萬元時，可使利潤最大。

例4 設某電視機廠生產一臺電視機的成本為c，每臺電視機的銷售價格為p，銷售量為x。假設該廠的生產處于平衡狀態，即電視機的生產量等于銷售量，根據市場預測，銷售量x與銷售價格為p之間有下面的關系：

x=Me-ap （M>0，a>0） （1）

其中M為市場最大需求量，a是價格系數。同時，生產部門根據對生產環節的分析，對每臺電視機的生產成本c有如下測算：

c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生產一臺電視機時的成本，k是規模系數，根據上述條件，應如何確定電視機的售價p，才能使該廠獲得最大利潤？

解 設廠家獲得的利潤為u，每臺電視機售價為p，每臺生產成本為c，銷售量x，則u=（p-c）x。

于是問題化為利潤函數u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。

利用拉格朗日乘數法，作拉格朗日函數：

L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0

將（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ，即x/μ=1

將（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得

p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0

由此得p*=

由問題本身可知最優價格必定存在，故這個p*就是電視機的最優價格。

篇（2）

例1 （2012年江蘇揚州）如圖1，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是 .

圖1

解析：設AC=x，則BC=2-x.

ACD和BCE都是等腰直角三角形，

∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∠DCE=90°.

DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■?（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

當x=1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

例2 （2012年寧夏）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.

（1）連接AE，當APE與ADE全等時，求BP的長；

（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關系式.當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長.

圖2

分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，運用勾股定理即可求得BP的長.

（2）由APPE，得RtABP∽RtPCE. 根據相似三角形的對應邊成比例可列式得y與x的函數關系式，然后化為頂點式即可求得當x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根據相似三角形的對應邊成比例可列式求得BP的長.

解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.

在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.

（2）APPE，RtABP∽RtPCE.

■=■，即■=■.

y=-■x2+■x.

y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

當x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）設BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

PE∥BD，CPE∽CBD.

■=■， 即■=■.

將上式化簡，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合題意，舍去）.

當PE∥BD時， BP=■.

二、求線段積的最值

例3 （2012年江蘇蘇州）如圖3，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2

（1）當x=■時，求弦PA、PB的長度；

（2）當x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？

圖3

分析：（1）由直線l與圓相切于點A，且AB為圓的直徑，根據切線的性質得到AB垂直于直線l.又PC垂直于直線l，根據垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行. 根據兩直線平行內錯角相等得到一對內錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩個三角形相似可得出PCA與APB相似.由相似得比例式，將PC及直徑AB的長代入比例式求出PA的長.在RtAPB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長.

（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點E，由垂徑定理得到E為PD的中點.再由有三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OACE為矩形.根據矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的長表示出PE，根據PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關于x的二次函數，根據自變量x的范圍，利用二次函數的性質即可求出所求式子的最大值及此時x的取值.

解：（1）O與直線l相切于點A，AB為O的直徑，ABl.

又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.

AB為O的直徑，∠APB=90°.

∠PCA=∠APB.PCA∽APB.

■=■，即PA2=PC?AB.

PC=x=■，AB=4，PA=■=■.

在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）過O作OEPD，垂足為E.

PD是O的弦，OEPD，PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

PE=ED=x-2.

CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

PD?CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

2

當x=3時，PD?CD有最大值，最大值是2.

三、求周長的最值

例4 （2012年四川南充）如圖4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點.把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖4

分析：（1）連接OM，證明PMA和OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，則在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）證明：連接OM .

在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，

PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∠PMA=∠OMB.

PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.

（2）AOB的周長存在最小值.理由如下：

PMA≌OMB ， PA=OB.

OA+OB=OA+PA=OP=4.

設OA=x， AB=y，則y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

當x=2時，y2有最小值8，從而 y的最小值為2■.

AOB的周長存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面積的最值

例5 （2012年四川自貢）如圖5，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AMMN，當BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.

圖5

解析：設BM=xcm，則MC=（1-x）cm.

∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

S四邊形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

-■

當x=■cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如圖6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運動時間為t秒.

（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？

（2）當t為何值時，AMN的面積最大？并求出這個最大值.

圖6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據AM=AN，得到關于t的方程，求出t值即可.

（2）作NHAC于H，證明ANH∽ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算AMN的面積得到有關t的二次函數，最后求出最值即可.

解：（1）M點從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒，

AM=12-t，AN=2t.

∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

當t為4秒時，∠AMN=∠ANM.

（2）如圖6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.

ANH∽ABC.

篇（3）

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制好A點（-1，0）和B點（3.2，0），即區間[-1，3.2].在線段AB上構造一個點C，度量出C點的橫坐標，記為x，再計算出f（x），繪制好D（x，f（x））；選擇C、D【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.過D點作y軸的垂線段交y軸于E點.C點在線段AB上移動時，D點的縱坐標與E點的縱坐標一樣.通過E點的值的變化可以清晰地反映函數f（x）=x2-2x+2在區間[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.選擇點E【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】，制作好按鈕.只要按就可以讓F點在圖像上運動起來，觀察出何時取最大值和最小值，最后將E、F的標簽改為x、f（x），如圖1.

圖1

二、函數f（x）=x2-2x+2在區間[t，t+2]上的最大值和最小值的動態演示

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制一點A，度量A的橫坐標，記為t，計算t+2；繪制點B（t+2，0），構造線段AB，在線段AB取一點P，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點M（x，f（x））；選擇P、M【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出函數圖像的對稱軸，過A、B兩點作x軸的垂線段，作出線段PM，再過M作y軸的垂線段（虛線），最后將A、B、P、M的標簽改為t，t+2，x，f（x），如圖2.

圖2

3.拖動點t讓函數f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像動起來.觀察函數在區間[t，t+2]的最大值和最小值，并從中總結出需要的結論.

4.當t≤-1時，函數的最大值為f（t），最小值為f（t+2）；當-1

三、函數f（x）=x2-2tx+2在區間[-1，1]上的最大值和最小值的動態演示

1.在x軸上構造一點A，過A點構造x軸的垂線，再在垂線上構造一點B，度量其縱坐標，記為t，并將B點標簽改為t.

2.繪制函數f（x）=x2-2tx+2圖像；繪制點C（-1，0）、D（1，0），構造線段CD，在線段CD上取一點E，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點F（x，f（x））；選擇E、F【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的圖像.

篇（4）

[中圖分類號] R73 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-0742（2013）05（a）-0117-02

寒戰是麻醉蘇醒期常見并發癥，給患者帶來不適，影響患者預后。右美托咪啶為新型α2腎上腺素能受體激動劑，具有獨特的鎮靜、鎮痛、抗應激、抗寒戰等作用而無呼吸抑制，易喚醒的特點，在臨床上日益受到重視。右美托咪啶因其良好的鎮靜、鎮痛效果，可明顯減少丙泊酚及阿片類藥物的用量，從而改善麻醉后的復蘇，減少術后躁動、寒戰、惡心嘔吐的發生[1]。該研究旨在觀察右美托咪啶輔助改善肺癌根治術麻醉后寒戰的臨床效果，以2010年2月―2012年2月期間的68例接受肺癌根治手機治療的患者為研究對象，現報道如下。

1 資料與方法

1.1 一般資料

選擇在該院接受肺癌根治術手術治療的68例患者作為研究對象，其中男38例，女30例，年齡51～68歲，體重47～78 kg，ASA分級為Ⅰ級和Ⅱ級。有以下情況者不記入觀察對象：過敏體質；精神異常不能合作者；嚴重腎或肝臟疾病者；有心動過緩和緩慢性心律失常者；有長期使用血管活性藥，鎮靜，鎮痛藥史者；有神經-肌肉系統疾病史者。入選的患者均自愿參加該研究，且與患者簽訂知情同意書，并獲得本院倫理委員會批準。按照隨機數字表法將68例患者隨機分為研究組（右美托咪啶）和對照組（生理鹽水），每組各34例，兩組患者的年齡、性別、體重及ASA分級均差異無統計學意義（P>0.05）。

1.2 方法

患者入室后常規監測，開放靜脈通道。所有患者均采用靜吸復合全麻，依次給予咪唑安定0.05 mg/kg，芬太尼2～4 μg /kg，丙泊酚1～2 mg/kg，順式阿曲庫銨0.2 mg/kg，行快速靜脈誘導，氣管插管后機械通氣。對研究組患者在氣管插管之后給予右美托咪啶（國藥準字H20090251）負荷量0.5 μg/（kg?h）靜脈輸注，10 min泵完，以0.3 μg/（kg?h）靜脈維持，手術結束前1 h停止用藥；對照組組給予生理鹽水泵注速度與方法同研究組。麻醉維持：吸入七氟醚0.6～1.0 MAC，靜脈持續泵注丙泊酚3～5 μg/（kg?h）、瑞芬太尼0.1～0.3 μg/（kg?h），間斷靜注順式阿曲庫銨0.1 mg/kg，術畢前45 min不再追加肌松藥。維持血流動力學穩定，當心率60次/min時，給予阿托品0.3 mg靜注。術中維持呼吸末二氧化碳分壓30～40 mmHg、BIS40-60。術畢拔除氣管導管后送麻醉恢復室觀察。對手術后1 h內的寒戰情況進行記錄分析。

1.3 觀察指標

①記錄并比較兩組患者術中七氟醚用量、術中輸液量、術中使用阿托品和寒戰出現后曲馬多的補救性使用情況。②記錄并比較兩組患者術后1 h內寒戰的發生情況，寒戰的評價標準：0級為手術后沒有寒戰，1級為面部或頸部輕微肌顫，2級為全身或者一個部位一組肌肉偶有肌顫但是全身沒有發生肌顫，3級為全身的任何一組肌群均發生肌顫。寒戰≥3級定義為寒戰發生，如寒戰發生追加曲馬多1 mg/kg。

1.4 統計方法

采用SPSS17.0統計學軟件進行該研究數據的處理分析，計量資料進行t檢驗，計數資料進行χ2檢驗。

2 結果

2.1 兩組患者的一般資料和術中情況各項指標對比

由表1可知兩組患者的各一般資料、手術時間、術中輸液量及拔管時間比較差異無統計學意義；而研究組的七氟醚用量和曲馬多使用率均較對照組明顯下降，而阿托品使用率則明顯上升，且差異有統計學意義（χ2或t=3.02、12.35、13.47，P

2.2 兩組患者術后寒戰程度比較

由表2可知研究組患者的術后寒戰發生率明顯低于對照組，且差異有統計學意義（χ2=14.23，P

3 討論

麻醉后寒戰（Postoperative shivering，PAS）發生率通常在5%～65%，是臨床麻醉的常見并發癥，是指病人在蘇醒期骨骼肌不能自主的收縮，會對清醒患者的心理和生理方面都產生不良影響[2]。目前PAS的發生機制尚不清楚，全麻患者寒戰多發生在蘇醒期，其原因可能是由于全麻藥抑制了下丘腦體溫調節中樞（PO/AH），干擾了中樞性體溫調節，使代謝率降低，產熱減少；加之多數麻藥有血管擴張作用，致散熱增加[3]。PAS的易患因素包括低溫、心理因素、年齡、術中大量輸血輸液、應用揮發性麻醉劑等。嚴重的寒戰反應可增加機體氧耗，加重心肺負擔；增加眼內壓、顱內壓；加重術后切口疼痛；影響麻醉監測效果； Kurz等認為，導致寒戰的術后低體溫可增加術后切口感染率[4]。因此防止PAS的發生是全麻術后管理的重要一環。

在臨床中阿片類藥物（哌替啶等）、中樞興奮藥（多莎普倫等）、α2受體激動劑（可樂定等）、曲馬多等多種藥物均可治療寒戰，但同時可能帶來不良反應。右美托咪啶為一種新型高選擇性α2腎上腺素能受體激動劑，能作用于腦和脊髓的α2腎上腺素能受體，抑制神經元放電，產生劑量依賴性鎮靜、鎮痛，抑制交感活性作用，但無呼吸抑制、易喚醒。與可樂定相比，具有更強的鎮靜、鎮痛及抗焦慮效應。其α2受體的選擇性為α2∶α1為1620∶1，而可樂定α2∶α1為220∶1，分布半衰期為5 min，消除半衰期為2 h，可樂定為6～8 h，效價比可樂定高3倍。右美托咪啶能夠降低降低手術反應引起的神經內分泌反應，穩定血流動力學，并通過抑制大腦體溫調節中樞，降低寒戰閾值，在脊髓水平抑制體溫傳入信息，從而防止寒戰發生[5]。該研究結果顯示研究組的七氟醚用量和曲馬多使用率均較對照組明顯下降，阿托品使用率則明顯上升。研究組患者的術后寒戰發生率明顯低于對照組，提示右美托咪啶在預防全麻術后寒戰有良好效果。有相關研究表明，手術結束前靜脈注射右美托咪啶可降低腹部或矯形外科手術患者麻醉后寒戰的發生率[6]。該研究結果與之相符，不同的是該研究對象為肺癌根治術患者，患者均年齡偏大，開胸手術創傷大，手術時間長。因肺癌根治術的特殊性，為了減少竇性心動過緩的不良反應和降低對術后蘇醒和拔管時間影響，該研究將右美托咪啶的維持量設定為0.3 μg/（kg?h）。該研究結果顯示研究組的七氟醚用量較對照組明顯下降，表明應用右美托咪啶可以減少吸入麻醉劑的用量。另一項對擇期手術老年病人的研究表明[7]，右美托咪啶可減少七氟醚用量17%。右美托咪啶能夠抑制去甲狀腺素釋放，抑制交感神經的活性，減少全麻藥用量[8]。

綜上所述，在肺癌根治術中輔助使用右美托咪啶可以有效降低患者麻醉后寒戰的發生率，為防治全麻術后寒戰提供一種新的藥物選擇。

[參考文獻]

[1] 張燕，鄭利民.右美托咪啶的藥理作用及臨床應用進展[J].國際麻醉學與復蘇雜志，2007，28（6）：544-547.

[2] 鄧戀，胡祖榮，黎昆偉，等.右美托咪啶防治剖宮產麻醉后寒戰的臨床觀察[J].現代醫院，2011，11（12）：24-26.

[3] 熊君宇，王俊科，滕寶潤，等. 變溫水毯預防顱腦外科病人麻醉恢復期寒戰的臨床觀察[J]. 中華麻醉學雜志， 2002， 22（4）：239.

[4] Kurz A，Sessler DI，Lemhardt R，et al.Perioperative normothermia to reduce the incidence of surgical-wound infection and shorten hospitalization[J].New Engl J Med，1996，334（19）：1209-1215.

[5] PHAN H， NAHATA M C. Clinical uses of dexmedetomidine in pediatric patients[J].Paediatr Drugs，2008，10（1）：49-69.

[6] 華，蔣宗明，陳念平，等.右美托咪啶輔助麻醉下肺癌根治術病人麻醉后寒戰的發生[J].中華麻醉學雜志，2011，31（10）：1217-1219.

篇（5）

利用三角函數的有界性求三角函數的最值，關鍵在于應用三角函數的公式、性質將三角函數式化為復角的單名函數式或某些已知其最值的三角函數，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函數y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函數y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=決定。

又因為 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用變量代換法求最值

求三角函數的最值時，有時選取適當的變量代替式中的三角函數式，能使問題迎刃而解。但作變量代換時要特別注意式中變量的取值范圍。

例3 求函數y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），則sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函數y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函數變形得y=sin2x-4sinx+5。

設sinx=t （-1≤t≤1），

則得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，當t=1時，ymin=2。

當t=-1時，ymax=10。

三、應用平均值不等式求最值

應用平均值不等式來求三角函數的最值，關鍵在于恒等變形，把三角函數式變為能應用平均值不等式的基本形式。

例5 求函數y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當且僅當atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=時，ymin=（a+b）2。

四、利用幾何圖形性質求最值

利用幾何圖形性質求最值的特點是直觀、簡潔，將最值問題轉化為求直線的斜率問題，求形如y=的最值關鍵在于把F（f（θ），yθ）=0看作一條曲線的方程，那么y=等于曲線上的動點A（f（θ），g（θ））與定點B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲線上找一點，使KAB最大或最小。

例6 求函數y=的最值。

篇（6）

近幾年高考中的最值問題，在考查內容上，涉及的知識點廣泛，如求函數的值域，求數列中的最大項或最小項，求數學應用問題中有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數的性質法、數形結合法等.

1.二次函數的最值

求解二次函數的最值一般是先配方，再借助二次函數的圖像解答.數學中的很多最值問題最后常轉化為二次函數的最值問題來求解.

例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為

難度系數 0.70

解 選C.

小結 二次函數的最值問題是其他很多最值問題（如三角函數、數列、解析幾何、應用性最值問題）的基礎.最值問題要特別強調“定義域優先”的原則，本題實質上是求給定區間內的二次函數的值域問題.

2.導數法求最值

導數的引入為函數最值的求解開辟了一條新路，我們通常用導數法求函數的最值要比用初等方法簡便得多，因此導數法求最值也是一種不可忽視的方法.

設函數在上連續，在上可導，求的最大值與最小值的步驟如下：

①求函數在內的極值；

②將函數的各極值與， 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

例2 （2011年高考江西理科卷）設上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；

（2）當在上的最小值為，求在該區間上的最大值.

難度系數 0.60

解 （1）解答過程省略.

（2）令，可得兩根所以在和上單調遞減，在上單調遞增.

當時，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區間上的最大值為

小結 本題主要考查函數與導數的基礎知識.導數是研究函數單調性及最值的有效工具.

3.均值不等式求最值

均值不等式：若，則當且僅當時等號成立.應用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.

例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A，B ，l2與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m 變化時，的最小值為

難度系數 0.55

解 由題意得選B.

小結 本題除了考查考生對對數函數圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進行求解.

4.輔助角型三角函數最值

求函數y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數的有界性可求.

例4 （2011年高考新課標理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .

難度系數 0.65

解 最大值為2

小結 本題考查正弦定理的應用及三角函數的性質和公式的應用，熟練運用化一公式并利用函數的有界性處理是解答問題的關鍵.

不等式的恒成立問題

不等式的恒成立問題常轉化為函數的最值問題來求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數的最小值為0，其中

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若對任意的有成立，求實數k的最小值；

（Ⅲ）證明難度系數 0.50

解 （Ⅰ）據題意可知函數 的定義域為由當x變化時的變化情況如下表：

因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.

（Ⅱ），取，有，故不合題意.當時，令，即，于是

令，得

①當時， 在上恒成立，因此在上單調遞減.從而對任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.

②當時，對于，故在上單調遞增.因此，當取時，，即不成立.故不合題意.

綜上可知，k的最小值為.

篇（7）

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2014）07-0245-02

數列在高中數學中可以說是“叱咤風云”，具有深刻的內涵與豐富的外延，在應用中顯示出獨特的魅力和勢不可擋的滲透力.從近幾年新課標高考來看，數列的考查逐漸趨向于簡單化，但是數列求最值，卻成了高考命題的熱點，也成了聯系數列與函數單調性、導數應用、不等式求解等知識交匯題型的紐帶.本文主要談談數列求最值的幾個常規解法，供讀者參考.

一、均值定理求數列中項的最值

例1 （2013屆閔行區二模）公差為d，各項均為正整數的等差數列{an}中，若a1=1，an=73，則n+d的最小值等于（？搖？搖）.

解：Q a1=1，an=73，d=■，d+n=■+n=■+（n-1）+1，n=9時，n+d取最小值18.

點評：利用式子特征構造均值定理應用環境，適用于所求式子為齊次分式，或分子分母一、二次能分離的，可以構造均值定理的數列求最值問題.

【變式1】設a1，a2，…，a2007均為正實數，且■+■+…+■=■，則a1a2…a2007的最小值是（？搖？搖） .

解：設xi=■，則ai=2?■，且■xi=1，所以a1a2…a2007 =22007?■?（x2+x3+…+x2007）?（x1+x3+…+x2007）…（x1+x2+…+x2006）≥22007?■?2006?■?2006?■…2006?■22007?20062007=40122007

二、函數性質法求解數列最值

例2 （2013江蘇理14題）在正項等比數列{an}中，a5=■，a6+a7=3，則滿足a1+a2+L+an>a1a2Lan的最大正整數n的值為 .

解：a5=■，a6+a7=3，a5q+a5q2=3，q2+q-6=0，Qq>0， q=2，an=2n-6，Qa1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an，2n-5-2-5>

2■，2n-5-2■>2-5>0，n-5>■， ■

解法二：設等比數列{an}的公比q，則q>0，根據題意得a5=a1q4=■a5+a7=a1q4（q+q2）=3，化簡得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），a1=2-5，又QSn=■=2-5（2n-1-1）a1?a2?…?an=a1n?q1+2+3+…+n-1=（2-5）n2■，又Qa1+a2+…+an>a1?a2?…?an，所以2n-1-1>2■，將n=1，2，3，…帶入驗證發現n≥13時上述不等式成立.故n取最大整數12.

點評：數列是特殊的函數，若其通項或前n項和有明確的函數解析式時，一般考慮用函數的單調性質求取最值，但要注意自變量n的取值范圍.一般情況下用作差或作商來證明單調性求解，有時也用導數來證明.本題易忽視公比的取值范圍而致錯，對指數冪的運算性質不熟也會導致錯誤.

【變式2】已知數列{an}滿足an=■-■，數列{an}的最大項為 .

解：（作商法求單調性）an=■，■=■n∈N*，■+■a3>L>an>an+1>L數列{an}有最大項，最大項為第一項a1=■-1.

三、導數法在數列求最值當中的應用

例3 [2013新課標Ⅱ卷（理）]等差數列{an}的前n項和為 Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為 .

解：由已知得：Sn=■n（n-10），設f（n）=nSn=■（n3-10n2）f '（n）=n（n-■），靠近極小值點n=■的整數為6和7，代入f（n）計算得n=7時f（n）最小，最小值為49.

點評：導數法求數列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判斷單調性的題型，是利用函數性質求數列最值的一種特況，作為研究數列和函數的橋梁，使問題解決便捷.

【變式3】 （2013年浙江省高中數學競賽試題解答）數列{■}，n=1，2，L，則數列中最大項的值為（ ？搖）.

解：f（x）=x■=e■？圯f'（x）=■（1-lnx）？圯x=e為極大值點，即數列最大項■.

四、數列特性法求解最值

例4？搖（2011北約13校自主選拔）在等差數列{an}中，a3=-13，a7=3，數列{an}的前n項和為Sn，求數列{Sn}的最小項，并指出其值為何.

解：因為a3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，

法一：由an=4n-25≤0an+1=4（n+1）-25>0得■

篇（8）

1、配湊法

例1．已知函數 ，求y的最小值

解：因為 ， ，所以 ，當且僅當 即 時取等號。所以，當 時 。

變式1：函數 ，求y的最大值。

解：因為 ，所以 ，則 -4

，當且僅當 即 時，等號成立，故 -6。

變式2. 當 時，求 的最大值。

解：因為 ，所以 ，

，當且僅當 即 時取等號。所以，當 時

評析：當題目中給定的函數形式往往比較簡單，但不符合直接使用基本不等式時，就需要對函數式用“拆、拼、湊，合”等方法，創造基本不等式的條件和形式，并且在運用基本不等式后有取等號的條件。以上三個例題的函數式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通過拆或拼來創造運用基本不等式的情境。如（1）中 與 的乘積不是定值，看似無法用基本不等式求解，若將 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 與 的和不是定值，若將 拆成 即可。

2、拆項法

例2 已知函數 ， 求y的最小值。

解：因為 ，所以

當且僅當 即 時，等號成立，故 。

評析：本題采用了拆項法將式子進行了變形，然后把分子分母同除以一個含自變量的式子，使分子變為常數，此時可對分母使用基本不等式。

3、換元法

例3 求函數 的最小值。

解：因為 :所以， ，則 ，所以，

，

當且僅當 ，函數的最小值是 。

評析：本題采用了換元法，將原式轉化為可以使用基本不等式求最值的形式。

4、常值代換

例4 已知 且 ，求 的最小值。

解：因為

,當且僅當 即 時，等號成立。

所以，當 時，有最小值是16.

變式訓練 已知正數 滿足 ，求 的最值。

解：將條件 等價轉化為 后，常值代換處理即可。

例5 設 ， 為正常數，則函數 的最小值是

解析： 本題考查 及“1”的代換等知識，可將原式寫成

當且僅當 ，即 時等號成立。

所以函數 的最小值是

評析：有些代數式含有兩個以上的變量，但這些變量又必須同時滿足某些條件，在運用基本不等式求其最值時，往往需要結合這些變量所滿足的條件和所求最值的代數式的特點進行分析，通過適當的變形來利用基本不等式求最值，這類問題也往往可以通過代換消元轉化為某個變量的函數形式來求最值。以上幾題均采用了常量1的整體代換，通過這種變形可以轉化表達形式，創造出可用基本不等式解答的條件。

5、重復使用基本不等式

例6 已知二次函數 （ ）的值域為 ，求 的最小值是

解：由題意知： 即 ,因為 ，

當且僅當 時等號成立，所以 的最小值是10.

評析：本題連續兩次使用基本不等式，等號成立的條件都是 ，原題的等號成立，所以3是最小值，因此，特別注意：在連續使用基本不等式時，等號成立的條件一定要一樣。

6、平方后使用基本不等式

例7 已知 為銳角，求函數 的最大值。

解：因為 為銳角，所以 為正數，所以

= 。所以 的最小值是 ，則

7、整體代換

例8 若正數 滿足 ，則 的取值范圍是

解：由已知 得 ，即

篇（9）

二次函數求最值類的問題千變萬化，然而只要掌握一定的技巧，學會多角度分析，定能找到解題思路，以不變應萬變，順利解決難題。本文以二次函數求最值問題的題型為基礎，進行了解題模式的探討。

一、確定區間，結合圖象性質

數形結合是解決數學問題的有力武器，在解決二次函數求最值的問題中也不例外，通過結合圖象性質，快速準確地確定區間，開辟出解題思路。

1.定軸定區間，直接判斷

當二次函數所給的函數區間固定，對稱軸固定時，我們可以通過做出函數圖形，清晰直觀地判斷和計算出函數的最值。這類題型比較簡單，所以我在教學中，主要教會大家準確地做出函數圖形，從而解決問題。

比如，對于定軸定區間函數求最值問題：求函數y=-x2+4x-3在區間[1，4]的最大值及最小值。首先我們分析二次函數的表達式，二次項系數小于零，說明函數圖象開口向下，函數的對稱軸為x==2。然后我們根據區間范圍，函數的對稱軸，開口方向可以做出該二次函數的草圖。通過觀察這一函數的圖象，我們可以得出二次函數的最大值應在對稱軸處取得，二次函數的最小值在端點x=4處取得，通過將x軸的坐標軸代入函數表達式，即可求出相應的最大值與最小值，從而得解。

講完例題后我向學生強調了這類題型的易錯點。定軸定區間類的二次函數求最值問題相對來說是最簡單的求最值問題，然而學生因為粗心大意也會發生錯誤，比如畫錯開口方向，大家一定要記住二次項系數大于零開口向上，二次項系數小于零開口向下。然后端點處和對稱軸處的函數值只要將對應的x值代入函數表達式，便可準確地求出，進而做出函數圖象。

在這部分知識的教學中，我通過強調做函數圖象的細節，引導學生在做題時通過直接地觀察，準確地得到最值，提高了課堂的效率。

2.定軸動區間，相對位置

定軸動區間類的二次函數其對稱軸確定，然而閉區間是不確定的。這類問題考查的是對稱軸與函數區間的相對位置關系，當函數區間發生變化時，隨著與對稱軸的相對位置發生變化，函數的最值也可能會發生變化，所以學生要掌握分類討論的思想，討論不同情況下的函數最值。

例如，求函數y=x2+2x-1在區間[t，t+2]上的最大值與最小值。這道題的類型屬于定軸動區間類問題，首先我們確定函數的對稱軸為x=-1。隨著t的取值不同，我們發現可以將這一問題分為三種情況進行討論，一是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數右側時，二是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數內時，三是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數的左側時，進而可以將t的值也劃分為三個范圍進行討論。在第一種情況下，t+2

在上述例題的教學中，我通過引導學生進行分類討論，將問題分為各種情況然后求出最值，思路清晰，條理明確，能夠完整準確地確定該類二次函數的最值，取得了很好的教學效果。

3.定區間動軸，考慮變量

對于定區間動軸類的二次函數問題，由于區間固定而對稱軸不確定，因此函數的最值也會隨著對稱軸與區間的相對位置變化而發生變化，因此解決這類問題同樣需要進行分類討論，與定軸動區間類最值問題相似。

例如，求二次函數y=x2-ax+1在區間[0，2]上的最小值。我引導學生依照定軸動區間問題的求解思路，將該問題分成三種情況進行討論。通過計算，可得到二次函數對稱軸為x=，當區間范圍內的函數位于對稱軸左側時，即a>4時，函數在區間[0，2]內是單調遞減的，因此二次函數在x=2處取得最小值，為5-2a。當對稱軸包含在區間范圍內的函數時，即0≤a≤4，由于該二次函數開口向上，所以在對稱軸處取得最小值，為-+1。分析到這一步的時候我向學生強調了求最大值的做法，這道題僅讓求最小值，而恰好對稱軸處為最小值，若這道題還要求求出最大值的話，學生也應按照定軸動區間類問題中這種情況下的解題思路再次進行分類討論。當區間范圍內的函數位于對稱軸右側時，即a>0時，函數在區間[0，2]內是單調遞增的，因此，二次函數在x=0處求得最小值1。

在上述問題的教學中，我通過引導學生利用定軸動區間類最值問題的求解技巧與思路，順利地探求出動軸定區間類問題的求解方法，通過這樣類比與分類的討論思想，讓學生成功地理解與學會了這部分數學知識，高效地完成了教學目標。

二次函數的對稱軸位置、函數區間都會對二次函數的最值造成影響，學生在解題時，一定要看清題目對對稱軸和區間的要求，多角度分析問題，采取正確的解題策略。

二、含有系數，字母視為常數

有時求最值問題所給的二次函數的系數是用字母表示的，對于這類問題的求解方法是將字母視為常數，并根據字母所表示的系數的位置不同，可能需要進行分類討論。

二次函數的表達式可寫作y=ax2+bx+c，當所給函數的常數項用字母表示時，自然將其視為常數處理。例如，求二次函數y=x2+2x+a在區間[0，1]上的最大值。二次函數在[0，1]上單調遞增，x=1時函數的最大值為3+a。當所給函數的一次項系數用字母表示時，這類問題就是上述所講的動軸定區間類問題，將字母視為常數，再結合自變量的范圍，按照分類討論的思想進行求解。當所給函數的二次項系數用字母表示時，例如，求二次函數y=ax2+4x-3（a≠0）在區間[1，3]內的最大值。對這一例題進行分析，a的大小首先影響的是開口大小，因此首先分為a>0和a

在上述教學中，我通過教授學生將含有字母的系數視為常數的思想，引導學生攻克了含有參數的二次函數求最值問題，加深了學生對二次函數的理解與運用。

三、實際應用，正確列函數式

二次函數在實際生產生活中也有很廣泛的應用，通過利用二次函數求最值的方法，我們能夠解決最優化問題。對于二次函數在日常生活中的應用問題進行分析，正確列出函數表達式是非常關鍵的步驟。

例如，某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺。為了響應國家“家電下鄉”政策，商場決定降價。冰箱售價每降低50元，平均每天能多售出4臺。那么每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤為多少？求解這道題，我們首先應當確定冰箱的利潤y與每臺冰箱降價x的函數表達式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我們可以做出該函數的圖象，對稱軸為x=150。

然后結合自變量x的取值范圍，我們可以求得二次函數在對稱軸處取得最大值，也就是說，當冰箱降價150元時，商場的利潤最大為5000元。然后我對二次函數應用題進行了總結，這類問題學生首先應該讀清題意，確定正確的函數表達式，然后應用定軸定區間二次函數求最值的求解方法，即可求得應用題中的最優結果。

在上述教學中，我對如何將實際生活問題轉化為數學二次函數極值問題的處理方法進行了講解，引導學生學會有效地結合函數圖象進行解題，應用二次函數的性質，成功地求解出應用題的正確答案，進一步加深了學生對二次函數知識的掌握。

多角度分析是促進思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述，學生只要切實掌握確定函數區間的技巧，把握住含有系數的二次函數與二次函數的實際應用解法，就能成功地克服部分二次函數難題?？傊?，從多角度分析和解決問題，有助于迅速找到解題思路，提高學生的數學素養。

參考文獻：

篇（10）

一、研究函數最值的實際意義

在生產實踐及科學實驗中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等問題。例如質量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利潤最大，投入最小等等，這類問題在數學上常常歸結為求函數的最大值或最小值問題。函數最值問題在很多學科領域內有著重要的應用，科學研究、航天航空、計算機編程等，在現代經濟領域尤為重要，在市場經營活動中，企業總是千方百計地挖掘生產潛力，希望在生產能力許可的條件下，用最低的生產成本達到最大利潤，要想做到這一點，關鍵是管理。而將數學中最值問題應用到企業管理中，能使管理更具科學性、有效性。

二、怎樣由實際問題求最值

（1）建立目標函數。（2）求最值；若目標函數只有唯一駐點，則該點的函數值即為所求的最值。

三、由實際問題求最值應用舉例

例1：敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？

解：（1）建立敵我相距函數關系。

設t為我軍從B處發起追擊至射擊的時間（分）。

敵我相距函數s(t) s(t)=■.

（2）求s=s(t)的最小值點。

st(t)=■令st(t)=0

得唯一駐點t=1.5。

故：我軍從B處發起追擊后15分鐘射擊最好。

例2：某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去。當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費。試問房租定為多少可獲得最大收入？

解：設房租為每月x元，租出去的房子有50-(■)套，每月總R(x)=(x-20)(50-■)，Rt(x)=(68-■)+(x-20)(-■)=70-■，

Rt(x)=0=>x=350（唯一駐點）。故每月每套租金為350元時收入最高。

最高收入為：R(x)=(350-20)(68-■)=10890（元）。

由此，若f(x)在定義域上取到最大（?。┲担F給出求f(x)在區間I上的最大（?。┲缔k法：

（i）求出f(x)在Ⅰ上的所有駐點不可導點和端點。

（ii）求出f(x)在這些點上的函數值，再進行比較：最大（小）者即為所求的最大（?。┲?。

參 考 文 獻

篇（11）

在這里先討論的函數最值，其中a，b，c，d，e都為常數，dx+e>0且不妨設a>0，d>0。

第一種解法為構造基本不等式法。具體的方法是將分子與分母相聯系起來，設ax?+bx+c=k1（dx+e）2+k2（dx+e）+k3，通過解出待定參數k1、k2和k3，再將上式代入，把原式化為k1（dx+e）++k2，在k1、k3都為正數的情況，可以用基本不等式算出該式的最小值，即為函數的最小值。以“求的最小值”為例：設x?+4x+8=k1（2x+1）2+k_2（2x+1）+k3，得k1=、k2=和k3=，再將其代入原式，模仿上文的步驟，由基本不等式得原式≥4，當且僅當x=2或者x=3時等號成立，再結合2x+1>0可知當x=2時原式有最小值，最小值為4。

事實上這種解法用到了高中所學習的基本不等式的知識，以及構造基本不等式的方法，將最值與基本不等式聯系起來，是一種應用廣泛的解題技巧。而且本題在構造基本不等式的過程事實上用到了待定系數法，也是高中數學的一種解題技巧。當然在此過程中要注意一些細節，如等號成立的充要條件等。

第二種解法為根的判別式法。其具體的步驟是：令=k，由于該方程有解，所以進行移項，合并同類項，可知方程ax?+（b-kd）x+c-ke=0也是有解的。根據根的判別式，在這個二次方程中，?≥0，在a，b，c，d給定的情況下，可以解出k的取值范圍，進一步知道k的最小值，即為函數的最小值。還是用上文的例子，用根的判別式法來求最小值：設=k，移項，合并同類項，得x?+（4-2k）x+8-k=0。由于這個方程有解，所以?=（4-2k）2-4（8-k）≥0，解得k≤-1或k≥4，由于2x+1>0，x?+4x+8>0，所以k>0，所以k≤-1不合題意，舍去。所以k≥4，即k的最小值為4，所以原式的最小值為4。

這種方法事實上是用到了函數與方程的思想，將函數=k有解轉化為二次方程有解，再由二次函數根與系數的判別式可以知道?≥0，再進一步求出k的取值范圍。這需要學生將函數與方程有一定的認識，并很好地結合起來應用。

第三種解法為求導法。具體的解題步驟為：對函數進行求導，令導函數等于0求出導函數的零點，再由導函數的圖像分析原函數在區間的單挑性，從而分析出y的最小值。例如，令y= ，對y進行求導，可知當x∈（-∞，-3），y'>0，y單調遞增；當x∈（-3，2）時，y'

這種方法實際上是導數運用的典型例子。把要求某個函數的最值轉化為函數在區間的最低點，通過求導的方式求出函數的單調遞增遞減性，進而分析出函數的最低點，再求出函數的最值。這種用導數來分析最值的方法，不僅可以應用在這種分式型的最值問題，對于許多函數最值問題都是最基礎、應用最廣泛的方法，只是求解過程、計算量等方面相對簡單或復雜而已。

分析完型的最值問題后，的最值問題也就迎刃而解了。如求后者的最大值，只需要求出前者的最小正值t，就可以得到后者的最大值為1/t。

我們回過頭來看一下剛才解決函數最值問題的三種方法――基本不等式法、根的判別式法、求導法。

對于基本不等式法來說，很多學生在學習基本不等式時，只知道基本不等式的公式，但在實際題目的運用中卻常常遇到瓶頸，主要表現在不知道如何構造基本不等式的形式。除了上文基本不等式的構造方法外，如“已知a+b=1，求+的最小值”，用到的方法是利用a+b=1，將其與原式相乘，再用乘法分配律即可得到基本不等式的形式。似的關于不等式構造的題目還有很多，學生可以舉一反三。