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逆向思維,也叫求異思維,是指人們對司空見慣的事物或方法原理進行逆向思考,從而起到解決問題的思維過程,表現在數學學習上,就是指通過讓學生對數學原理、公式、推理的反向探索,由結論推導已知條件的學習方式,起到“執果索因”,簡化數學問題解決過程的效果。逆向思維在初中數學中有較好的應用前提,主要體現在兩方面:首先,數學是一門具有嚴格邏輯性的學科,注重知識與知識之間的邏輯銜接,表現在數學問題處理上,每一步驟之間的層次性明顯,因果存在性往往是非常明確的;其次,初中生處于形象思維向邏輯思維轉變的年齡階段,思維的嚴謹性培養非常重要,通過逆向思維訓練,可以幫助他們加深對數學知識最佳聯結的強化,有利于他們迅速解決數學問題。

一、基本定義公式和定理教學的逆向思維應用

概念具有兩個要素:內涵與外延,兩者存在反比關系,內涵豐富外延就小,內涵少則外延就廣,數學概念也是如此。在教授概念時,在對概念內涵與外延進行深入剖析的基礎上,讓學生通過逆向思維體會概念存在的充分條件和必要條件。

與定義相比,學生使用公式進行解題顯得更加頻繁,因此在講解公式時逆向思維的使用也就更加有意義。實際教學中,數學公式的深入理解也往往是通過逆向推導獲得的。比如我們熟知的平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),如果單純用語言去描述供學生記憶:兩個數的平方差等于兩數之和與兩數之差的積,學生理解起來是較為困難的,對公式的記憶也是不牢固,而讓學生通過反向推導,利用基本運算對(a+b)(a-b)進行去括號得到a2-ab+ab-b2=a2-b2,這

樣學生對平方差就有了雙向理解,在使用公式的時候不會單憑記憶來完成,并且一旦出現記憶混淆,學生可以進行迅速推導獲得正確結論,這對復雜公式尤其適合,如a3-b3等于(a-b)(a2-ab+b2)還是等于(a-b)(a2+ab+b2),學生記憶不準完全可以臨時進行計算,看哪個式子能得出a3-b3,然后便可以順利進行解題了。

二、數學解題過程的逆向思維應用

有了對數學定義、定理等的基本逆向思考方式,就可以指導學生進行復雜數學問題的解決了。突出的表現就是倒推法(還原法)與反證法。

例如題目:已知方程ax2+bx+c=0(a不等于0,兩根之和為S1,兩根平方和為S2,兩根立方和為S3.求aS3+bS2+cS1的值。

面對這么一道題,可能很多學生第一步會使用a、b、c通過繁瑣的運算來表示出S3、S2、S1,然后表示出aS3+bS2+cS1,最后通過運算得出結果,這是由a、b、c到x1、x2再到S3、S2、S1的思考過程。如果使用逆向思維,引導學生去猜想,S3、S2、S1本身存在一定的聯系,可能通過化簡而不需要復雜的詳細運算就可以得出結果,進而產生以下算法:aS3+bS2+cS1=a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)=x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)=0+0=0。

這就是典型的由S3、S2、S1到x1、x2再到a、b、c的思考過程,避免了彎路。

反證法采用逆向思維進行解題是眾所周知的,首先假設所要證明的結論不成立,然后再在這個假定條件下進行一系列的正確邏輯推理,直至得出一個矛盾的結論來,并據此否定原先的假設,從而確認所要證明的結論成立。例如證明“三角形中至少有一個角不大于60°”。那就假設三角形三個角都大于60°,然后進行角的相加,得到大于180°的結論,這與公理違背,自然支持了原結論。

總之,使用逆向思維進行初中數學教學,可以培養學生舉一反三的能力,并能夠從多角度去掌握數學知識,為今后處理更加抽象和復雜的數學問題打下基礎。

參考文獻:

1.黃培晶.初中數學教學如何培養學生逆向思維能力.滁州師專學報,2004.6(1)

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1 引言

數學是一門十分重要的學科，它在我們的現實生活中也有著很大的用途，所以說學好數學是非常有利于學生將來學業的發展的。在我們的課堂里，數學教學中，逆向思維能起到的效果會讓你意想不到，它不僅能夠開拓學生的想象空間與理解基礎的知識，更能發現解題的技巧跟克服遲滯性的思維。

2 基本定義公式和定理教學的逆向思維應用

概念具有兩個要素：內涵與外延，兩者存在反比關系，內涵豐富外延就小，內涵少則外延就廣，數學概念也是如此。在教授概念時，在對概念內涵與外延進行深入剖析的基礎上，讓學生通過逆向思維體會概念存在的充分條件和必要條件。

3 充分利用習題訓練，培養學生的逆向思維

習題訓練也是培養學生思維能力的重要途徑之一。教師有意識地選編一些習題，進行逆向思維的專項訓練，對提高學生的逆向思維能力能夠起到很大的促進作用。數學中的許多公式、法則都可用等式表示。等號所具有的雙向性學生容易理解，但很多學生習慣于從左到右運用公式、法則，而對于逆向運用卻不習慣，因此，在數學公式、法則的教學中，應加強公式法則的逆用指導，使學生明白，只有靈活地運用，才能使解題得心應手。

分析：只注意到結果中的x（x-1）2是積的形式，卻忽略了小尾巴“-2”使積成了和，應該這樣做原式=（x3-2x2）+（x-2）=（ x-2）（ x2+1）

4 要注意引導學生探索定理的逆命題是否成立

初中的數學命題中，很多性質定理和判定定理互為逆定理。對于數學定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓練學生的逆向思維能力，又能激發學生的學習興趣和創造性思維。

例如，等腰三角形三線合一的性質，可分為三種情況：頂角平分線和底邊上的中線互相重合；頂角平分線和底邊上的高互相重合；底邊上的中線和高相互重合。這三種情況都易于證明，其逆命題是否成立？三種情況是否都成立？學生探索后發現：一邊上的中線和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分線和對邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分線和對邊中線相互重合的三角形是等腰三角形卻沒法證明。三種情況的不同，既能激發學生的學習積極性，又能培養學生的逆向思維能力。

又如，對頂角相等是正確的，而其逆命題：相等的角是對頂角卻不正確。數學命題的正確與否，說明方法有兩種：證明和反例。證明即肯定一個命題，必須在題設的條件下，對所有可能情形都證明其結論正確，而否定一個命題時只要舉一個符合題設而結論不成立的例子，即反例即可。反例是突破固有定向思維而從問題的逆向思考的。因而，反例教學也是培養逆向思維的一條重要途徑。在教學中，反例教學要引起足夠的重視。三、要注意引導學生探索定理的逆命題是否成立。

初中的數學命題中，很多性質定理和判定定理互為逆定理。對于數學定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓練學生的逆向思維能力，又能激發學生的學習興趣和創造性思維。

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數學一直以來都是一門思維性很強的學科，而逆向思維是數學思維中的重要組成. 培養學生逆向思維的過程實際上是培養學生的思維敏捷性. 有研究表明，很多學生的數學成績不理想很大程度上是因為逆向思維的能力不足，習慣只是學習公式、定理等刻板的內容，沒有創造和觀察的能力. 所以，在教學過程中教師應該對逆向思維的培養給予足夠的重視.

一、在實際教學中逆向思維的培養

1. 加強基礎知識的逆向教學

初中階段的數學教學仍是基礎教學，在教學的過程中強調對于基礎知識的掌握，同時引入逆向思維不單可以加固學生對于基礎知識的掌握，也可以鍛煉學生的思維，拓展了思考方式. 在基礎教學中應該對概念的理解和運用上優化逆向的教學. 在這中間存在很多互為的概念. 例如：互為倒數、互為相反數等，通過這些概念教師可以指導學生從正、反兩個層面對問題進行思考，培養他們的逆向思維能力.

2. 由概念著手增加學生的逆向思維

數學中很多概念是互逆的，對于這種類型的概念可以采用先正后逆的方法，打破學生的常規思維模式，幫助學生更清晰地分析概念，同時養成雙向考慮問題的習慣. 比如同類項是代數中的重要概念，為了可以加深學生對該概念的掌握和理解，可以舉例并分析：

（1）假設-amb3與2a2bn是同類項，那么m，n的值是多少？這題目一開始會難住很多學生，但如果教師可以引導學生運用逆向的思維方式來解題，學生就可以根據相應的逆向思維得出m = 2，n = 3.

（2）教學相反數的概念時，不單可以問學生3的相反數是幾，同時還可以提出0.3的相反數是多少，或-5和數字幾互為相反數，等等. 通過從正反兩個層面提出問題可以有效地幫助學生去理解相反數的概念.

3. 通過公式法則培養學生的逆向思維能力

在數學的教學中往往要涉及很多的公式、法則，對于這些公式和法則的雙向性學生是比較容易理解，但是大多數學生只會從左至右地正向運用，對由右至左的逆向運用不熟悉. 所以，在法則和公式的教學中要加強相應的逆向指導，只有正確地運用正逆兩種法則和公式在解題的時候才能得心應手. 舉例說明，在不解方程的情況下，判斷方程2x2 - 6x + 3 = 0的根的情況. 在解題的時候可以將方程變式成為：已知關于x的方程2x2 - 6x + k = 0，k取何值方程有兩個不相等的實數根？經常進行這種有針對性的逆向鍛煉對逆向思維的形成會起到非常重要的作用.

4. 注意在解題方法上進行逆向思維的訓練

（1）反證法. 反證法是一種間接的證明方法，以特征結論的反面為基礎，推出矛盾，以此來否定證明結論的相反面來肯定特征的結論. 這也是很多數學問題在直接證法處于困難時所經常使用的方法. 加強反證法的鍛煉可以幫助學生拓展思維的廣度、深度，對逆向的思維培養起到關鍵的作用.

（2）分析法. 分析法實際上是從命題的結果出發，一路分析充分條件，直至推理出已知條件的方法. 這樣的方法也可以充分培養學生的逆向思維能力. 看果追因是分析法的基本內容，其關鍵是整個解題過程一定是一個可逆的情況.

（3）舉反例. 在數學的命題中給出一個命題要判斷其錯誤，只要給出一個滿足命題的條件但結論并不能成立的例子就可以否定此命題. 這種方法就是通常所說的舉反例. 加強對舉反例的鍛煉可以有效地鍛煉并培養學生逆向思維的能力.

二、逆向思維在數學解題中的應用

1. 立體幾何命題

立體幾何中的定理、概念除了直接應用之外，還可以根據題目的特點與要求進行相反的應用. 舉例說明，求證：分別在兩個平面內的兩條不平行直線是異面的直線. 根據題目的條件得知兩條直線不平行. 只要證明了這兩條直線并不相交就可以證明是異面直線. 從這個題目可以看出，利用反證法來解決此問題是非常容易的.

2. 概率命題

舉例說明，全班共有50名學生，求至少有2個人是同月同日生的概率. 這是一個世界著名的生日怪論命題，幫助學生了解此理論，引導學生運用對立事件的解決問題非常容易. 先得出50名學生都不是同月、同日生的概率，之后根據對立的事件的總概率 = 1，得到至少有2個人同月同日生的概率值. 充分利用對立事件進行逆向思維，可以讓原本復雜的概率問題得到簡化.

3. 不等式命題

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初中數學學習需要鍛煉學生的思維，只有在學生數學思維激發和培養的前提下，才能引導學生進行數學學習，而在初中數學教學中可以采用逆向思維的培育方式，立足于初中學生的數學基本素質，以提高學生的數學知識和數學智力為切入點，通過對初中數學的概念、定理、法則等內容的解析和運算，使學生的逆向思維能力得到培育和鍛煉，它不同于常規思維。常規思維狀態使學生圍囿于既定的問題情境和思維定勢，導致學生缺乏靈活的數學變換能力，不利于學生數學思維的創新發展，也不利于學生數學思想的全面建構。下面從初中數學的逆向思維概念入手，根據初中數學知識內容進行逆向思維能力的培養實踐。

1.逆向思維的定義

逆向思維也即由果求因、知本求源，它是一種相反方向的思維方式，具有反向性、批判性和悖論性的特點，它與常規思維不同，是一種相反的思維方式。它引導學生在數學知識的學習過程中，從相反的角度進行問題情境的思索，從而在尋求解題路徑的過程中加深對數學概念、定律、法則的理解和記憶，這也是我們常說的“換位思考”，對于學生的數學智能提升有著極大的推動作用，可以較好地發展學生智力，培養學生創新和創造能力。

在數學教學中，通常采用“證明定理、定理的應用”方式，對學生進行數學知識的建構，而這種思維方式是正向的，我們需要對數學知識由正向轉為逆向的思維，要引導學生從反向的角度，對數學知識進行解析和理解，從實質上對數學知識加以理解。

2.初中數學教學中逆向思維能力的訓練

2.1初中數學概念、公式、定律的逆向思維訓練

在初中數學的定律和法則中，有許多“相反相成”的數學概念，它可以引導學生建立數學正反向的聯結，在知識得以聯系和補充的狀態下，提升學生的數學智能。

2.2初中數學概念的逆向思維訓練

初中數學的概念之中，涉及一個“相反數”的概念性知識，它是理解逆向思維的知識之一，根據數的概念，可以舉例進行“相反數”的理解和認知，如：8的相反數、-4的相反數、-0.8的相反數等。又如：初中數學中的“絕對值”概念，讓學生進行“絕對值”概念的逆向思維鍛煉，如：|6|=？搖？搖？搖？搖；|-6|=？搖？搖？搖？搖，將這個概念進行逆向思維的訓練，讓學生思考：某數的絕對值為6，那么這個數是多少？

2.1.2初中數學公式的逆向思維訓練

初中數學公式的理解和記憶，通常學生都是由左至右進行公式的記憶和運算，而對于由右至左的逆用方式，則感受無所適從。因而，我們要對初中數學的公式進行逆向思維訓練，使學生熟練地由右向左進行公式逆用，這需要在日常練習中加以強化訓練。例如：在初中代數公式中，就有這樣的逆向公式運用

又如：在平面之內，如果有兩條直線都與第三條直線相平行，那么這兩條直線也相互平行。對于這道習題的分析，可以采用反證的方法，從上述結論的反面“不相互平行”進行逆向思維的分析，從而得出這兩直線必須相交，而直線相交必有交點，這樣，在平面內過一個點即有兩條直線和第三條直線平行，這與數學公式相矛盾，從而得出假設不成立的推論，那么假設的反面“相互平行”就無可爭議地得出成立的結果。

3.結語

由上可知，初中數學教學過程中，教師要善于采用逆向的推導方式，引導學生對于數學概念、法則、定律等知識內容，進行逆向思考，尤其是在解題過于繁瑣或者解題思路不清晰的情況下，可以通過逆向思維的反向思考方式，降低數學解題難度，巧妙地獲取數學習題的解題結果，從而增強學生的逆向思維能力，在有意識、有目標、有步驟的初中數學學習過程中，達到提高教學效率、發展學生思維的目的。

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【文章編號】0450-9889（2013）01B-

0075-02

逆向思維又稱反向思維，屬于發散性思維，是在研究問題的過程中有意地去做與正向思維相反方向的探索。進行逆向思維可以突破思維定勢，往往能創造性地發現簡捷、新穎、奇異的解決問題方法。

逆向思維在數學教學中具有廣泛的應用，經過逆向思維訓練的學生，思考問題比較靈活，解決疑難問題的效率比較高，處理實際問題的能力比較強。因此在數學教學中必須注意培養學生的逆向思維，在分析問題時，根據實際情況恰當地引導學生從反面來考慮，使學生學會動腦。

一、從概念定義去逆向思考

在數學概念教學中，應注意引導學生透徹理解概念的定義，并注意根據教學內容，適時進行逆用定義的指導和訓練，從而使學生加深對概念定義的理解。

【例1】（2006年無錫試題）已知a、b滿足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，則+的值等于 。

分析：此題如果用求根公式分別求出a、b的值，再代入求值式子計算，非常繁瑣。如果注意到題目條件的結構特征，從一元二次方程根的定義來進行逆向思考，則可得到簡捷解法。

二、逆用數學公式、法則

數學公式、法則的雙向性學生容易理解，但很多學生只習慣順向運用公式、法則，而對逆向運用卻不習慣。因此，在數學公式、法則的教學中，應加強逆用公式、法則的指導，使學生明白，只有靈活運用公式、法則，才能使解題得心應手。

三、通過逆向運算求解

【例3】（第五屆美國數學邀請賽試題）求出滿足下列條件的最小正整數n：對于n，存在正整數k，使

分析：為了從條件中找出n應該滿足的關系，需要簡化，分離n，為此，可對條件不等式的各項取倒數。

四、從已知條件的反面入手解題

五、根據結論找出使結論成立的條件

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逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維，是發散思維的一種形式。逆向思維具有反向性、新穎性、批判性、突破性和悖論性等特征。逆向思維在中學數學教學方法中有著十分廣泛的應用，教師應注重培養學生的逆向思維能力。正確運用逆向思維，對學生學好數學是十分有益的。

現階段學生思維能力薄弱，大部分教師在傳統課堂教學中只是關注學生的認知水平，培養學生的模仿能力，很難做到從思維的角度去解決問題，總結學習方法。學生對于公式定理只是進行死記硬背，生硬套用。缺乏觀察、分析、研究的能力。其實在我們構建知識框架時，不難發現逆向思維無處不在，無論是概念、定義、公式、法則，還是定理、定律及性質等都蘊含著逆向思維。因此，教師應充分發掘教材中互逆因素，有機訓練和培養學生運用逆向思維來解決問題，提高學生解決和分析問題的能力，培養他們的創新思維。

一、數學概念、公式、法則的可逆性教學

在教學中我們發現，學生對于定理概念只會順向應用，而逆向應用難度卻感覺很大，如，線段的垂直平分線的性質和判定相比，二者的條件和結論正好相反，他們構成一對互逆定理，通常把性質定理稱為原定理，判定定理稱為逆定理，教師可以幫助學生分析原定理是從點的位置特征知道線段的大小數量關系，而逆定理是從線段的數量關系知道點的位置特征。因此，在解決問題時可以借此特征記憶、理解、分析、運用。

初中數學中有些公式也含有可逆思維，如，完全平方公式和平方差公式、整式的乘法和因式分解等，教師也可以運用上述方法進行教學。

二、數學命題（定理）的可逆性教學

在中學階段，我們會見到很多類型的題目就是寫出原命題的逆命題，可是發現有些學生在寫逆命題的時候沒有把握知識的結構從而產生錯誤，如，命題“同角的余角相等”，很多學生把它的逆命題寫成“如果是同角，那么它們相等”這樣錯誤的答案，不難發現學生只是表面上認為逆命題就是反過來寫，而沒有分析其中的條件和結論，所以，教師在教學時應重視幫助學生分析，再進行逆向思維訓練。

三、重視逆向變式訓練

逆向訓練就是將題目中的已知和求證調換著進行訓練，如，在等腰三角形中證明角相等，我們可以利用“等邊對等角”的定理進行證明；反過來我們也可以利用“等角對等邊”，通過角相等來證明三角形是等腰三角形，在教學中可以多進行訓練，鍛煉學生的逆向思維。

篇（7）

引言

初中教育的關鍵是拓展學生的思維能力。人類思維形式包括正向思維和逆向思維兩種形式，一般而言，正向思維就是根據人們的習慣性思考形式思考問題，逆向思維則是背逆常規的思考路線，另辟蹊徑地思考問題。我們在解決問題時，應用常規的思考形式，有時候能夠找到解決問題的方法，收到令人滿意的效果。但是，實踐中的許多實例告訴我們，運用正向思維是很難找到答案的，而逆向思維的運用卻常能取得意想不到的效果。這就表明逆向思維是一種能夠擺脫常規思維羈絆具有創造性的思維方式，它是重要的思考能力[1]。因此，加強對學生逆向思維能力的培養有助于提高其解決問題的能力和創造力。那么教師應該怎樣培養學生的逆向思維能力呢？我認為有以下幾種方法。

1.提高學生運用逆向思維思考問題的興趣

興趣是最好的老師，所以在數學教學中老師要想方設法提高學生的學習興趣，調動學生逆向思維的積極性。第一，把學生作為教學活動的主體，讓學生積極主動地參與教學活動，使學生的主觀能動性得到充分發揮，激發學生探究知識的欲望。第二，教師應該提高自身的教學素質。具有超凡人格魅力和淵博知識的教師能激發學生進行逆向思維的主動性和積極性。第三，教師在教學過程中應該有意識地采取逆向思維分析方法，并演示一些經典的題型，讓學生看到逆向思維的魅力，從而發掘數學的美。逆向思維來源于生活又回歸于生活。生活是一本書，里面有無窮的智慧。在日常生活中也有很多逆向思維的例子，不經意地運用，便把困擾已久的難題解決了，甚至創造出令人受益匪淺的成果，比如：某一時裝店的員工不小心把一條高檔裙子燒了一個小洞，裙子的價格一落千丈。假如用織補法補救，也只能蒙混過關，對顧客造成欺騙。這位員工運用逆向思維突發奇想，干脆在小洞的旁邊又挖出更多的小洞，并進行修飾，并命名為“鳳尾裙”。這樣一來，“鳳尾裙”一下熱銷，這個時裝商店不僅出了名，而且獲得了可觀的經濟效益。所以，教師在課堂教學中把這些實例穿插其中，使學生感受到逆向思維的重要性和益處，體會到了運用逆向思維進行思考的樂趣，從而使學生運用逆向思維的積極性和主動性逐漸增強。

2.從概念入手，通過設逆提出問題

首先教師要從概念入手，在教學中通過設逆進而提出問題，從而使學生養成全方位考慮問題的習慣[2]。在數學教學中，很多概念都能提出逆向問題。比如分母有理化、冪的運算法則、乘法公式等，均能正向、逆向運用。在對這些概念進行講解時，教師應該多舉一些逆向應用的例子，從而讓學生靈活地掌握概念，只有這樣，學生遇到實際問題的時候，才會改變思考問題的角度，從反面入手，增強解決問題的能力。例如在學習相反數的時候，教師既可以問學生5的相反數是什么，又可以問-2是哪個數的相反數，-3和哪個數互為相反數，兩個互為相反數的數有什么特征。只有這樣，學生才能夠真正理解相反數的概念，增強解決問題的能力。教師在教學中還應注意加強學生對一些概念之間的互逆關系的理解，比如乘和除、多和少、大和小、加和減、正數和負數、長和短等，只有這樣不斷從概念入手，才能使學生的逆向思維能力逐步提高。

3.在解題過程中培養學生的逆向思維能力

正是學生薄弱的逆向思維能力，才使他們處于低層次的學習水平。教師可以針對一些思維能力遲鈍的學生，引導他們運用逆向思維，從問題的反面尋找突破口。在這個過程中，不僅使學生的順向思維有所加強，還使逆向思維得到培養。在數學教學中，用于培養學生逆向思維的有效途徑包括反證法和分析法。反證法常常被用到幾何中。在某些立體幾何習題中，對于直接證明比較困難的題目，可以采取逆向思維方法——反證法來證。也就是先假設結論是正確的，再根據假設一步一步向前推理，從而得出題目中的已知條件，這樣就完成了證明。平面幾何教學中，教師可以根據問題的相互性和可逆性，對學生的證明反推能力進行培養。教師還應該教會學生在學習過程中整理各種應用逆向思維的例子，從而能夠做到舉一反三。教師在對習題進行分析時要抓住契機，把具有順向思維與逆向思維特點的題目通過對照解答，增強學生的逆向思維能力。這與課堂上的只說不練相比，會起到事半功倍的作用。

結語

大量的課堂教學實踐表明，加強學生逆向思維能力的培養，既能改變學生的思維結構，又能鍛煉學生思維的深刻性和靈活性，使學生分析解決問題的能力得到提高[3]。隨著思維能力的進一步拓展，學生能夠自然迅速地轉化兩種思維能力，這就表明學生在數學方面上的能力不斷增強。因此，教師應該在教學過程中對培養學生逆向思維能力的方法不斷探索、精心設計，只有這樣，才能使學生的創造性思維能力不斷發展，才能收到事半功倍的教學效果。

參考文獻：

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興趣是最好的老師，因此在數學教學中教師應該想方設法激發學生的興趣，增強學生學習逆向思維的積極性。

首先要確立教學活動的主體――學生，要讓學生主動積極地參與到教學活動中來，充分發揮他們的主觀能動性，激發他們探求知識的欲望。

其次教師要不斷提高自身的素質。教師所擁有的淵博的知識及超凡的人格魅力也能在一定程度上激發學生學習的積極性和主動性。

再次，教師要有意識地運用逆向思維方法分析、引導和演示一些經典的題型，從而讓學生體會到逆向思維的偉大，從中發掘出數學的美。學以致用，數學來源與生活，又回歸于生活，生活是一本厚實的書，掩藏著無盡的智慧。在日常生活中不乏經典的逆向思維問題，往往一個不經意中的運用，便解決了困繞以久的難題，甚至于發明創造出讓人類受益不淺的成果。在教學過程中可以適當穿插這些實例，讓學生意識到逆向思維的益處和重要性，從而逐漸增強學生使用逆向思維的主動性和積極性。

二、牢固地掌握并熟練地使用性質及公式，是解題的關鍵

根據定義、定理衍生出來的一些結論，是相關數學問題中的一部分特征。在一定范圍下使用這些結論能使得我們的運算過程大大縮短，能使我們從很繁雜、抽象的運算中找到靈感，找出捷徑，看到解題的曙光。

許多數學問題，實質上只需要對一些相關性質、公式、法則等進行綜合運用，就能夠解決。但是在實際的解題過程中，學生往往會沒有思路，不知道如何著手。關鍵在于學生對這些性質、公式等，掌握得不熟練，不知道碰到哪類問題可以使用哪些性質、公式進行解決；而且在記憶的時候有的學生習慣于從左往右記，導致了一旦問題中出現了右邊的部分，想不到把性質、公式等反過來用。

因此，在教學過程中，教師應強調公式、性質的互逆形式并教會學生對它們進行互逆記憶。在練習中訓練學生體會并學會對公式的逆用，培養學生解題思維的敏銳性、靈活性、變通性；培養學生善于逆向思考的習慣，提高靈活運用知識的能力和解題效率。

三、在實際生活中獲得逆向思維的啟示

教書育人。教師不但要傳授給學生知識，更要教會他們怎樣做人，怎樣生活……培養他們的生活智慧和藝術。讓學生把學習中獲得的思維能力帶到生活中去，使他們更客觀、理智地看待問題，不走極端路線。

逆向思維是對傳統、慣例、常識的反叛，是對常規的挑戰。它能夠克服思維定勢，破除由經驗和習慣造成的僵化的認識模式。而循規蹈矩的思維和按傳統方式解決問題雖然簡單，但容易使思路僵化、刻板，擺脫不掉習慣的束縛，得到的往往是一些司空見慣的答案。其實，任何事物都具有多方面屬性。由于受過去經驗的影響，人們容易看到熟悉的一面，而對另一面卻視而不見。逆向思維能克服這一障礙，往往能出人意料地給人以耳目一新的感覺。例如古時候“司馬光砸缸”的這個故事，一般的常規想法就是“救人離水”，但是小司馬光等人能力不夠，于是小司馬光運用逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破“讓水離人”，救出小伙伴。

某時裝店的經理不小心將一條高檔呢裙燒了一個洞，其身價一落千丈。如果用織補法補救，也只是蒙混過關，欺騙顧客。這位經理突發奇想，干脆在小洞的周圍又挖了許多小洞，并精于修飾，將其命名為“鳳尾裙”。一下子，“鳳尾裙”銷路頓開，該時裝店也出了名。逆向思維帶來了可觀的經濟效益。無跟襪的誕生與“鳳尾裙”異曲同工。因為襪跟容易破，一破就毀了一雙襪子，商家運用逆向思維，試制成功無跟襪，創造了非常良好的商機。

四、作業輔導及考查，以鞏固對逆向思維的理解和掌握

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一、逆向思維在數學中的應用

逆向思維反映的是思維過程的間斷性和突變性，意即強調使學生突破思維定勢和固有的思考框架，產生新的思考方法，找到新的解題途徑．這是創立新科學理論的重要思維方法．數學教學中最基本的“設定未知數‘x’”即是逆向思維的一種最為普遍的應用．即，將原本未知待解的數“x”設定為已知數代入到公式中，通過“x”在公式中的關系反向推導出結果．逆向思維在數學中的實際應用早在19世紀就催生出了非歐幾何，包括后來在20世紀60年代建立發展起來的模糊數學，均是逆向思維在數學領域成功運用的典型案例．

二、實際教學中逆向思維的培養和訓練

對于逆向思維在初中教學中的培養和應用，應主要從兩個方面入手．

1　加強基礎知識的逆向教學．初中階段，數學仍然是一門基礎學科．在教學過程中強調對基礎知識牢固掌握的同時，順勢導人逆向思維，不僅更加鞏固了學生對基礎知識的熟練掌握程度，也鍛煉了學生的思維，拓展了思考模式．在基礎知識中，應在對概念的理解和運用上加強逆向教學．在數學中存在諸多“互為”關系的概念：比如，“互為相反數”、“互為倒數”等等，通過這些簡單的概念，教師可以引導學生從正反兩方面去思考，培養其逆向思維的能力進而建立起雙向的思維模式．比如，對于原命題、逆命題這一概念，學生往往只重點記住了逆命題是原命題的逆命題，卻忽視了原命題也是逆命題的逆命題．在教學過程中，教師若能適時地引導學生從命題的反面進行思考，則會在早期的基礎階段就打下良好的逆向思維根基．

2　注意解題方法上的逆向思維訓練．(1)分析法解題。分析法就是從命題的結論出發，順藤摸瓜追溯充分條件，直到推導出已知條件的方法，可以充分培養學生的逆向思維能力．“執果溯因”是分析法的本質特征，關鍵是整個解題過程必須是可逆的．(2)反證法．反證法是一種間接證法，是從特征結論的反面出發，推出矛盾，從而否定要證明結論的反面，肯定特征結論(即雙重否定等于肯定)，是許多數學問題在直接證法相當困難時常用到的方法之一．加強反證法的訓練，有利于學生思維廣度的拓寬和深度的加深，對逆向思維的培養有著非常重要的作用．(3)舉反例．在數學命題中，給出一個命題要判斷它的錯誤，只要給出一個滿足命題的條件但結論不成立的例子，即可否定這個命題．這就是通常意義說的反例．加強舉反例的訓練，可以有機地做到訓練和培養學生的逆向思維能力．

三、逆向思維在數學解題中的實際應用

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一、培養學生思維能力的重要性

對學生思維能力的培養不僅是為了彌補學生綜合發展過程中自身存在的不足，也是為了滿足新課程標準的要求.注重學生思維能力的提升，能夠引導學生更全面地看待問題，進而從對問題的推理過程中找尋出解決問題的辦法.

初中生處于特殊的年齡階段，加強學生思維能力的培養不僅能增強學生對數學基礎知識的理解，還能提高他們的思維嚴謹性.在教學工作過程中，教師應擺脫傳統的機械式思維習慣與思維方式，提高學生的思維能力，改善他們的思維方式，以引導他們形成良好的思維習慣.

二、注重學生逆向思維能力的培養

1.正確運用數學概念，培養學生的逆向思維能力

概念教學作為初中數學教學的一個重要環節，對于學生逆向思維能力的培養發揮著非常重要的作用.為此，在概念教學工作過程中應引導學生反過來思考問題，使他們能夠對概念進行充分、透徹的了解，以便在做題時得心應手.

2.合理選擇教學方法，培養學生的逆向思維能力

（1）公式逆用，注重學生逆向思維能力的培養

課堂上，教師應給學生示范公式的推導、公式的形成過程以及對公式的多種形式進行對比區分，探索公式是否可以逆用.在具體的課堂教學中，應多引導學生往這方面思考，讓其活躍思維，拓寬思路，尋求更為精妙簡單的解題方法，進而獲得成就感，以此促進逆向思維能力的提升.對于初中數學而言，公式逆向應用等培養學生逆向思維能力的例子不勝枚舉，如逆用乘法公式、逆用分式加減法則、逆用完全平方公式、逆用同底數冪乘法法則以及逆用一元二次方程根的判別式等.

（2）充分利用反證法，培養學生的逆向思維模式

利用反證法解題是運用逆向思維方式解題的一種體現，并且該方法也是初中階段較常用的一種證明方法，能夠有效地提升學生的逆向思維能力.

三、注重學生合情推理能力的培養

在傳統的初中數學教學過程中，教師往往只是就題論題，忽視了學生合情推理能力的提升.為此，在今后的教學過程中，教師應注重教學方法的選擇，以在對學生進行知識傳授的額同時，促進學生合情推理能力的提升.

在數學課程的教學過程中，教師應利用文字、圖像等已知條件，引導學生對問題進行認真分析、概括，以對問題共性與規律的總結來尋求出解決問題的答案.

由此可見，學生在不斷的觀察與思考中，有助于概括能力的提升，有助于引導他們去發現并掌握事物的存在規律，為他們合情推理能力的提升打下了堅實的基礎.

四、注重學生創新思維能力的培養

1.總結教學方法，強化學生自主學習體驗

對于初中數學課程而言，具有一定的抽象性與邏輯性，因引導學生把握數學規律與思維方法，才能使學生掌握數學教材的核心知識點，并將這些知識點運用到解決實際問題當中.因此，在具體的初中數學教學過程中，教師應對教學方式進行不斷總結，注重滲透數形結合規律、對應規律、化歸規律、函數與方程規律抽樣統計等規律來引導學生對知識的梳理，并引導他們按照“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”之間的關系來建立起網絡化的知識模塊，以便于學生自主學習，使他們更加輕松地掌握每個模塊的核心內容.同時，蘇教版新課程標準要求，應注重學生解題技巧的培養.因此，在教學過程中，教師還應通過講解一些例題來向學生揭示解決問題的規律與方法，培養學生的創新思維能力.

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傳統初中數學應用題解題思路具有一定的局限性，對于學生問題思考能力以及學習興趣的培養都會起到一定的消極影響. 本文結合傳統初中數學應用題解題思想存在的弊端以及初中數學應用題解題思路創新方向兩個方面展開相應的研究過程，希望對廣大教師教學起到一定的幫助作用.

一、應用題解題思路的創新在初中數學教學中的重要位置

初中數學應用題解題思路的創新對學生問題思考能力以及知識點的靈活運用會起到積極的重要作用，同時對于學生思維方式的有效拓寬也會產生一定的積極影響. 應用題解題過程主要是學生對知識點的運用以及思維能力進行相應的培養，而解題思路的創新使其問題思考與解決過程不斷清晰，對學生學習興趣的提高奠定堅實的基礎. 而學生通過解題思路的創新帶動學生問題思考的主動性加強，從而實現對初中數學教學夯實基礎的作用. 從上述論述過程中，也能夠看出應用題解題思路的創新在初中數學教學中的重要性所在.

二、傳統初中數學應用題解題思想存在的弊端

1. 傳統解題思想在初中數學應用題解題過程中廣泛運用

傳統初中數學應用題解題思想過于落后的現象已經成為初中數學教學中較為普遍的現象，也是學生對其解題思路難以產生及優化的主要原因所在. 在以往的教學中，教師通常根據應用題教學內容進行單一的教學過程，學生對其內容的了解程度很難進行提高，同時學生對于知識點的靈活運用也會產生較為消極的影響. 這一問題對于廣大初中學生而言具有一定的代表性，也是困擾學生解題思路難以形成的關鍵所在.

2. 初中數學應用題教學情景模式并不能充分進行運用

在傳統初中數學教學中，很多教師對于教學情境的有效安排及合理運用過程并沒有注視，導致學生在接受應用題過程中只能依靠憑空想象來進行解題思路的建立. 這對廣大學生而言失去了理論聯系實際教學所起到的重要作用，學生學習積極性受到嚴重的打擊，同時對于應用題的解題方法也并不能進行積極總結，導致學生對應用題教學產生一定的抵觸情緒，從而限制了學生應用題解題思路的發展. 這一現象是在初中數學應用題教學中存在且較為嚴重的問題之一，希望能夠得到廣大教師們的積極重視.

3. 機械化解題過程使學生思維方式受到抑制

機械化的解題過程對于廣大教師而言，對學生的思想產生一種“功能固著”的弊端，而對于廣大學生而言，學生的思維方式將會產生一定的阻礙作用，這也是機械化解題過程在初中數學教學中不能適應當代初中學生發展需要的主要原因. 機械化解題過程的主要弊端在于學生對其知識點的靈活運用產生一定的阻礙作用，同時對于學生的思考問題方式不能進行積極培養，從而使得應用題解題過程變成一種固定模式，一旦更換題型，那么學生對于問題的思考與解決將無從下手. 這也是初中數學應用題解題思想探究過程中的重要組成部分，避免這一弊端已經處于迫在眉睫的狀態.

三、初中數學應用題解題思路創新方向

1. 轉變傳統應用題教學思想，注重學生邏輯思維能力培養

學生邏輯思維能力的培養是對初中數學應用題解題思路創新的關鍵所在，通過傳統的解題過程進行不斷優化，對已知條件進行深挖，逐漸將基礎知識運用到問題解決過程之中，使得解題過程逐漸變得簡化，這樣學生對其問題解決的難易程度的認識會有所轉變. 基礎知識點之間的運用過程對于學生的邏輯思維能力的培養起到關鍵的作用，這并不單純是將復雜的問題進行簡化，更重要的是加強了學生對知識點之間的串聯過程，使得學生對知識點的運用過程逐漸熟練，對其考慮問題的方式也能進行逐步的全面化.

2. 將教學情境在初中數學應用題教學中廣泛運用

教學情境的有效建立主要對學生的動手操作能力進行培養，從而對學生的記憶過程形成形象記憶，這是學生對知識點的掌握與運用的主要過程. 然而通過教學情境的有效建立確保學生能夠參與到應用題解題過程之中，進而能夠將自身存在的具體問題進行表達，使得解題思路的總結過程能夠將學生的觀點融入其中，達到問題解決方式能夠吸取更為廣泛的意見. 這一方面對于廣大中學生而言會產生問題主動思考的興趣，從而對于解題思路的不斷創新與探究過程打下堅實的基礎，希望這一方面能夠對廣大教師產生積極的影響.

3. 培養學生逆向思維方式，總結合理的解題思路

逆向思維對初中數學應用題教學而言具有至關重要的作用，是學生思維方式逐步提高的最終目標. 而初中數學應用題教學中，逆向思維培養的主要方法在于對問題條件進行有效的整理，找出其內在的聯系，通過未知條件對已知條件進行有效的推理過程，從而實現解題思路的逐步清晰. 逆向解題思維的開發是對學生解題思路進行不斷加強的主要手段之一，同時也是對解題思想進行不斷明確的核心所在，希望這一方法對初中數學應用題教學過程中解題思路的創新發展起到積極的作用.

新時期對初中數學應用題教學提出了新的要求，對學生的能力提高以及教師的教學思想的不斷轉變也帶來了巨大的挑戰. 本文結合傳統教學中對學生教學模式以及教學思想存在的問題進行論述，將其具體解決方法與廣大教師分享. 在此之中的觀點還存在一定的不足，希望得到廣大學者們的積極意見與建議.