緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇離散數學論文范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。

⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。

⑶推理過程因果關系模糊不清。

針對以上的原因，我們在教學中采取了一些自救對策。

一、教學環節

對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環節。第1、2環節是理解定理的基本要求；第3環節是基本推理模式，第4環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設計如下：

基本要求重新建立表象推理模式組合定理聯想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求

我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。

例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

一劃：就是找出定理的題設和結論，題設用直線，結論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質部分。

如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。

二畫：就是依據定理的內容，能畫出所對應的基本圖形。

如：

三寫：就是在分清題設和結論的基礎上，能用符號語言表達，允許采用等同條件。

如：ABC是Rt，CDAB于D（條件也可寫成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。

學生在書寫時果然出現了一些問題：

①不理解每個定理的條件和結論。學生在書寫時往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對條件太簡單的不會寫（如定理3）；或者把條件當成結論（如定理12把三線都當成結論）。

②還表現在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有些學生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個定理中出現××，又××，××的錯誤。

③更多的是沒有抓住本質。具體表現在把非本質的條件當成本質條件（如定理7出現∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；條件重復（如定理49，結論∠APO＝∠BPO已經包括過圓心O，學生在條件中還加以說明）；圖形過于特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則。“表象”就是人們對過去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應著一個圖形，這給我們在教學中提供了一定的便利。我們要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認為，這對于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。

教給學生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是用實例引導學生，下面是一段經整理后的課堂教學主要內容：

⑴問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？

答：垂徑定理我在想的時候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角”在一閃一閃的，以后看到弧相等或其他兩個條件之一，腦子里就會浮現出垂徑定理。

目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標準圖形。

繼續問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？

答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……

甚至有學生想到了兩條平行弦……

目的：通過表象，進行聯想，使學生理解定理間的聯系。

⑵問：從定理21開始，你能找出和它有聯系的定理嗎？

答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉等變化，加深定理間的聯系。

⑶下面的步驟，我們讓學生自主思考。學生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯系和區別。從學生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由于定理之間有一定的聯系，在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形，所以學生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉等手段，也有通過特殊化、找同結論等途徑把不同的定理聯系起來。

下面摘錄的是學生自主思考后，得到的富有創意性的結論。

①定理16（延長中線成矩形）定理24（作矩形的外接圓）定理34。

②定理51（一線過圓心，且兩線垂直）定理36（一線平移成切線）定理47、48（繞切點旋轉）定理50。

③如下圖，把EF向下平移（或繞A點旋轉），使定理37和50聯系起來（有同結論∠α＝∠D）：

⒊推理模式

從學生各方面的反饋情況看，多數學生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎上，經過歸納整理，總結了三種基本推理模式。

具體教學分三個步驟實施：

⑴精心設計三個簡單的例題，讓學生歸納出三種基本推理模式。

①條件結論新結論（結論推新結論式）

②新結論（多個結論推新結論式）

③新結論（結論和條件推新結論式）

⑵通過已詳細書寫證明過程的題目讓學生識別不同的推理模式。

⑶通過具體習題，學生有意識、有預見性地練習書寫。

這一環節我們的目的是讓學生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學生書寫的盲目性。

但教學表明學生仍然出現不必要的跳步，這是什么原因呢？我們把它歸結為對推理的因果關系不明確、定理是推理的依據和單位不明白。因而我們根據需要，又設計了以下一個環節。

⒋組合定理

基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環節，我們讓學生在證明的過程中找出單個定理的因果關系、多個定理的組合方式，然后由幾個定理組合后構造圖形，進一步強化學生“用定理”的意識。

下面通過一例來說明這一步驟的實施。

例1：已知如圖，四邊形ABCD外接O的半徑為5，對角線AC與BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面積。（2001年嘉興市質量評估卷六）

證明：連結OB，連結OA交BD于F。

學生從每一個推測符號中找出所對應的定理和隱含的主要定理：

比例基本性質S/AS/證相似相似三角形性質垂徑定理勾股定理三角形面積公式

由于學生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結起來的，也讓學生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務：給出勾股定理，你能再結合一個或多個定理，構造圖形，并編出證明題或計算題嗎？

實踐表明：經過“模式＋定理”書寫方法的熏陶后，學生基本具備了完整書寫的意識。

⒌聯想定理

分析圖形是證明的基礎，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創造條件。圖形固然可以引發聯想（這也是教師分析幾何證明題、學生證題的基本方法之一），但對于識圖或想象力較差的學生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側面，即證明題的“已知、求證”上給學生以支招，即由命題的題設、結論聯想某些定理，以配合圖形想象。

例：如圖，O1和O2相交于B、C兩點，AB是O1的直徑，AB、AC的延長線分別交O2于D、E，過B作O1的切線交AE于F。求證：BF∥DE。

討論此題時，啟發學生由題設中的“AB是O的直徑”聯想定理“直徑所對的圓周角是90°”，因而連結BC；“過B作O的切線交AE于F”聯想定理“切線的性質”，得出∠ABF＝90°。從而構造出基本圖形②③。

由命題的結論“BF∥DE”聯想起“同位角相等，兩直線平行”定理，構造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④的性質結合在一起，學生就易于思考了。

這一環節我們的引導語有：“由已知中的哪一個條件，你能聯想起什么定理？”、“條件組合后能構成哪個定理？”、“有無對應的基本圖形？”、“能否構造出基本圖形？”等。目的是讓學生樹立起“圖形＋定理”的思考方法，把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。

三、幾點認識

復習的效果最終要體現在學生身上，只有通過學生的自身實踐和領悟才是最佳復習途徑，因此在復習時，我們始終堅持主體性原則。在組織復習的各個環節中，充分調動學生學習的主動性和積極性：提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，方法和規律讓學生體會，創造性的解答共同完善。

“沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認為傳授方法或解答后讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時總留出足夠的時間來讓學生進行反思，使學生盡快形成一種解題思路、書寫方法。

集中講授能使學生對幾何定理的應用有一定的認識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導、反復滲透。

篇（2）

一、一次函數型

給定一次函數y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內恒有f（x）>0，則根據函數的圖象（直線）可得上述結論等價于

）或）可合并定成

同理，若在[m，n]內恒有f（x）

例1：對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現了兩個字母：x及P，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關于p的一次函數大于0恒成立的問題。

解略

二、二次函數型

若二次函數y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，則有

若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數的分布知識求解。

例2：設f（x）=x2-2ax+2，當x∈[-1，+∞）時，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍。

分析：題目中要證明f（x）≥a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函數在區間[-1，+∞）時恒大于0的問題。

解：設F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.

）當Δ=4（a-1）（a+2）

）當Δ=4（a-1）（a+2）≥0時由圖可得以下充要條件：

即得-3≤a≤-2；

綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。

三、變量分離型

若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。

例3：已知當x∈R時，不等式a+cos2x

分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。

解：原不等式即：4sinx+cos2x

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問題。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

-a+5>3即>a+2

上式等價于

或

解得a

注：注意到題目中出現了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t，則可把原不等式轉化成關于t的二次函數類型。

另解：a+cos2x

a+1-2sin2x

整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。

設f（t）= 2t2-4t+4-a+則二次函數的對稱軸為t=1，

f（x）在[-1，1]內單調遞減。

只需f（1）>0，即>a-2.（下同）

四、根據函數的奇偶性、周期性等性質

若函數f（x）是奇（偶）函數，則對一切定義域中的x ，f（-x）=-f（x）

（f（-x）=f（x））恒成立；若函數y=f（x）的周期為T，則對一切定義域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。

例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）為偶函數，求α的值。

分析：告訴我們偶函數的條件，即相當于告訴我們一個恒成立問題。

解：由題得：f（-x）=f（x）對一切x∈R恒成立，

sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α）

即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α）

2sinx?cosα=-2sinx?sinα

sinx（sinα+cosα）=0

對一切x∈R恒成立，只需也必須sinα+cosα=0。

α=k.（k∈Z）

五、直接根據圖象判斷

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

例5：當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

篇（3）

正弦定理指的是在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，用公式表示如下：（R為恒量，是該三角形外接圓的半徑），正弦定理適用于任何三角形。上述公式還可以變形如下：；；。正弦定理指出了任意三角形的邊與其對應角的正弦值之間的一個關系式，簡單來說就是任意三角形的邊角關系。

在實際應用正弦定理解三角形時主要適用于如下兩種情況：一是已知三角形兩角與一邊，解三角形；二是已知三角形兩邊及其中一邊對應的角，解三角形。正弦定理除了適用于以上兩種情況外，利用正弦定理我們可以在次數相等的基礎上將三角形所有的邊轉化為其對角的正弦值或者將對角正弦值轉化為其對應的三角形的邊；可以得出新的三角形面積公式：；可以在已知三角形兩邊及其中一邊對角的時候，判斷滿足上述條件的三角形個數。舉例說明，已知三角形的兩條邊a、b和角A，1）若A為銳角：①a=bsinA，一個；②a<bsinA，沒有；③bsinA<a<b，兩個；④a≥b，一個。2）若A為直角或者鈍角：①a≤b，沒有；②a>b，一個。

2正弦定理的引入

在教學過程中引入正弦定理是一項重要的工作，這個過程的成功與否直接與學生后期的學習效果相關。具體在引入正弦定理時我們可以采用如下步驟進行：情景設計——數學建模——猜想歸納得出正弦定理。

授課之初可以設定如下的情景：①某日我潛艇A發現其正東有一敵艇B正以35海里/小時的速度向正北方向航行。現已知魚雷速度為70海里/小時，問A潛艇應以怎樣的角度發射才能擊中敵艇？②如果其他條件不變，B敵艇的行駛方向變為朝北偏西45°航行，此時我方發射的角度又是多少？情景①學生可以利用初中所學的在直角三角形中30°的角所對的邊是斜邊的一半輕易解決；情景②則需要進一步研究解決。

設定情景引發起學生的興趣和猜想之后就要引導學生向數學知識上靠攏，此時要啟發學生將要解決的問題通過數學建模的形式化實際問題為數學問題。于是通過數學建模很輕易的知道這個問題就是解三角形的問題。隨即引導學生思考能否借助特殊的直角三角形解決一般三角形問題。

引導學生有特例到一般猜想歸納出正弦定理。在直角三角形中我們可以知道任意一條邊與其對角正弦值的比是常數，由此可以猜想是否在非直角三角形中也有如此規律。通過在任意銳角三角形和鈍角三角形中進行證明，驗證正弦定理的普遍適用性。

3正弦定理的應用

在解三角形時，如果能夠按照題目結構特點靈活運用正弦定理，可以簡便運算，優化計算過程，提高解題的速度，具體的解題類型如下所示：

（1）解三角形問題

課本P4例題1：在三角形ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

【分析】在解答這道題時首要要明確解三角形的含義，解三角形就是根據已知的三角形各要素求剩余要素的過程。在本題中已知三角形的兩個角A、B以及邊a這三個要素，因此在本題求解的未知要素為角C以及邊b、c。

具體求解過程如下：

根據正弦定理；

根據正弦定理.

在本題解答過程中用到了三角形內角和定理和正弦定理。一般來說，解三角形的習題中，三角形內角和定理是普遍應用到的。需要提示的是在解三角形時若最終結果出現兩個答案需要對其進一步檢驗，驗證所得的兩個答案是否都滿足題意，這也是在考試過程中經常出錯的地方，學習過程中要提高捕獲題干隱含條件的能力。假設最終結果出現兩個c，此時要借助三角形固有的三條邊之間的關系，以及邊角關系，對兩個答案分別予以驗證，如果都符合則全部留下，否則要放棄不合隱含條件的答案。

（2）實際應用

利用正弦定理解決實際應用問題，本質上是通過將實際問題抽象為數學模型，然后借助相關的數學知識求解的過程，在這個過程中建立數學模型是關鍵。目前正弦定理的實際應用問題主要解決距離、高度以及航行的問題。本文以測量距離為例予以闡述。

課本P12例題1：如圖1.2-1，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，∠BAC=51°∠ACB=75°求AB長。

【分析】本題是關于實際生活中測量河兩岸點的距離的問題，如果實際解決的話很難找到合適的解決辦法，但是在與A同側設定點C，并借助相關工具測量得知∠BAC、∠ACB度數之后，就將實際距離問題轉變成了數學中的解三角問題。在本題中已知兩角一邊求另外一邊的長度，借助正弦定理很容易解決該問題。

具體求解過程如下：

由正弦定理得，

答：A、B兩點間的距離為65.7米。

由上面的實際應用正弦定理解三角形例子我們可以知道，在解決實際問題時，首先要學會將實際問題轉變為數學問題，然后在計算過程中要善于挖掘隱含條件，利用已知求未知，多角度，多方面思考問題。當在一個三角形中不能達到解決目的時要善于擴大研究范圍，根據不同三角形之間的邊角關系最終解決問題。

4結論及建議

高中數學中運用正弦定理解三角形是高考的重點也是學生在學習過程中的難點，關于如何更為有效的教與學，還需要更多的教育工作者共同努力。通過本文對高中數學解三角形相關解法的研究針對教學過程提出如下幾點建議：

篇（4）

隨著素質教育的不斷深入發展，培養學生探究問題、解決問題的良好思維品質顯得尤為重要。本文將“三重生態”理論中得到的啟發運用在初中數學教學中，探析初中數學動態問題的教學策略，從而達到提高教學有效性的目的。

一、“三重生態”理論的闡釋及對教學的啟發

在“三重生態”理論闡釋中，其主要包含三個動態因素，即自然生態、類生態及內生態。所謂自然生態就是維持每個人生存的物質資料，是人們最基本的需求；所謂類生態就是人們生活和發展的社會環境，內生態則指的是每個人內心得以棲息的居所。專家認為：每一個不同的生命體都處于三重生態的相互作用中。綜合來看，自然生態和類生態最終反映內生態，并通過內生態表現出來。其實，課堂教學也在三重生態關系的作用下呈現不同面貌，取得的教學效果也是各異的。

“三重生態”理論應用于幾何數學則表現為用運動的觀點看圖形的變化，具體特征為探索點、線段、面或幾何圖形運動中的規律，這些元素在變化過程中相互轉化，最終實現有機統一，科學闡釋數學問題由“變”到“不變”、由特殊到一般及變繁為簡的辯證法思想。這種理論涉及數學領域的概率論、幾何等眾多知識，并蘊含數形結合、函數方程、有效轉化等極其重要的數學思想，因而此類問題更具綜合性和開放性。由于此類包含動態思想的問題符合新課改的課程要求，因此數學問題中設置動態問題是數學考試中考查學生數學思維的重點。素質教育崇尚學生自主性的發揮，上述提到的初中數學中的動態問題對學生自主學習能力提出較高要求。本文將以“三重生態”理論為基礎，多角度闡釋解決上述問題的科學方法，進而研究這類問題的有效教學策略，有利于教師更好地找準教學方向，也有利于培養學生較高的解題素養。

二、利用“三重生態”理論嘗試解決初中數學動態問題的教學策略

從長期課堂教學實際情況來看，學生對解決動態性數學問題沒有比較成熟的思路，考試中這類題目的得分情況不是很樂觀。究其原因，主要有兩方面：一是此類題目本身難度系數較高，二是在初中數學課堂教學中“三重生態”理論沒有得到恰到好處地應用，在師生中沒有產生良好的化學反應。主要表現為以下方面。

1.自然生態元素作用不明顯。

數學動態性問題重在描述題目中涉及的基本元素的變化和運動過程，為了讓學生能直觀清晰地理解各項元素的變化規律，我們需要在學生腦海中創設具體的情境。

2.類生態元素作用不明顯。

在解決動態數學問題的過程中，教師的教學通常會陷入一種固定的、單一的模式，即對學生的思想培養缺乏一定的關注，從而導致學生形成思維惰性，習慣按照同一種思維方式思考問題。長此以往，如果學生接觸的題型種類有限，這種思維定勢將更明顯，當遇到新題型時，思維轉換速度和敏感度都將急劇下降。尤其對于一些需用新方法解決的“舊問題“，學生通常會根據以往習慣和模式解決問題，以至于不能從根本上解決問題，并且懶于深究問題背后的原理。類生態元素未發揮良好作用是造成這種現象的主要原因，即學生并未用心體會點的運動和變化規律，也沒有認真分析動態數學問題的實質，從而只能按照既有經驗思考和解決問題。

3.內生態因素作用不明顯。

內生態因素主要表現為學生覺得所學內容很有難度，且沒有實際意義。因為學生所做的習題往往是一大堆字母、圖形、數字的組合，很難讓學生產生興趣，所以教師應在設置題目時，選擇趣味性敘述方式，并盡量讓學生在解題中體會成就感，讓其意識到所學內容是很有意義的。

三、如何解決上述問題

1.深入理解動態型問題，發揮自然生態元素的作用。

盡管動態型問題復雜多變，但有其自身規律，總結來看，主要有以下兩大規律。

（1）無變量條件：無變量元素的問題基本都是較簡單的幾何問題，運動變化形式基本圍繞點、線、面展開，主要考察運動中的規律性。例如，在解決直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或平行四邊形、等腰梯形等問題時，在無變量的前提下，解題方法都相對簡單和固定，主要采用相似或全等等規律。

（2）有變量條件：如下圖：P在等邊三角形ABC的AC邊上運動，AC=6，P從點A向點C運動，Q是CB延長線上的一點，以同樣速度由B向CB方向運動，過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D。當∠BQD=30°時，求AP的長。

此題主要運用到直角三角形的知識點，根據題目已有條件，易判斷出∠QPC是直角。根據直角三角形的性質，當∠BQD=30°時，QC=2PC，設AP=x，則可以得出方程：6+x=2（6-x），解方程即可。可以看出引入變量元素后，題目變成綜合型。綜合型問題通常包含函數、幾何等多個知識點，因而難度系數較前者大，考生在解決此類問題時應具備綜合型思維。

深入解讀題干要求，合理分析圖形，應成為學生解決動態數學問題的必要步驟，這是對“三重生態”中自然生態元素的科學注解。在課堂教學中，教師要善于引導學生思考和分析題目要求，并從中探索出一般的規律性東西。學生需要重點理解的因素有：圖形中運動的元素、運動的特殊點，進而將其轉化為一個點的特殊運動過程。

2.引導學生體會解題思路和數學思想，發揮類生態作用。

在具體指導學生時，要確保學生不但知其然，而且知其所以然，避免“背答案”。只有學生真正掌握解題思路和數學思想，才能徹底掌握這一題型。

如初中數學動態型問題的解決需要學生提高內在修養及思考問題和分析問題的能力，主要表現為“數形結合”和“分類討論“兩方面的能力。根據這一特點，教師可多尋找一些需要運用到這些能力的題目，開展針對性訓練。

如下圖，在正方形ABCD中，AB長度為6厘米，M點從A點出發以單位速度沿直線向B點運動，與此同時，點N也從A點開始運動，運動路線為AD―DC―CB，速度為6cm/s。設AMN的面積為y（cm■），運動時間為x（秒），則y與x的函數關系式是（？搖？搖？搖？搖）

許多學生見到這種問題就覺得無從下手，其實運用“數形結合”和“分類討論”兩種方法是很容易解決這一問題的，由題目易知，從N點正好能走完折線AD―DC―CB，根據分類討論思想，可將AMN的面積計算情況分為，在AD、DC、CB三條線上的三種情況，并根據數形結合的思想，寫出每種情況下AMN的面積計算公式，答案就呼之欲出了。

3.激發學生的求知欲望，發揮內生態元素作用。

教師要善于創設情境，將學生帶入情境，使他們感受到動態問題是生活中普遍存在的問題，是能夠解決具體問題的。

如這道題我用兩個小蟲子代替P、Q點，這道題立馬變得有意思：兩個小蟲子小P和小Q同時發現了A點的實物，此時，他們與食物的位置呈三角形ABC，小P離食物的距離是20cm，小Q離食物的距離是12cm，已知小P的速度是3cm，小Q的速度是2cm，請問兩個小蟲子立即沿最短路徑奔向食物，問：小P和小Q何時與食物成等腰三角形。

這樣做的好處是，一方面使得整個題目令學生眼前一亮，解題過程變得趣味化，能夠更好地吸引學生的注意力。另一方面使得學生意識到所學的內容是能夠解決具體問題的，激發學生的學習動力。

綜上所述，課堂教學活動應將激發學生的內心感受作為重要考量，而不是單純地說教。“三重生態”理論中內生態元素是其他兩種元素的落腳點和歸宿點，意味著任何形式的教學活動最后都是以服務學生、開發學生潛能、培養德智體美全面發展的優秀學生為出發點的。長期的教學實踐使我深深明白教師擔負的職責是多么重大，使學生充分參與教學活動并獲得前所未有的獨特體驗是多么任重而道遠。

篇（5）

中圖分類號:O158文獻標識碼:A文章編號:1671-7597(2009)1120178-01

離散數學是研究離散量的結構和相互關系的數學學科,大多高校在計算機專業和信息專業開設離散數學課程,該課程是許多計算機專業課,如《數據結構》、《操作系統》、《數據庫原理和人工智能》、《編譯原理》等課的必備基礎。離散數學課程重視基本概念、基本理論的講授與基本方法、基本運算技能的訓練,著重培養學生抽象思維、邏輯推理和用數學工具解決實際問題的能力。內容包括數理邏輯、集合論、代數系統和圖論四個方面,內容繁雜,覆蓋面廣,教學課時又不太多,并且概念多,理論性強,高度抽象,所以,怎樣幫助學生從繁雜的知識中找出最重要最根本的內容,并在有限的學時內讓學生正確理解,通過練習會熟練應用,以達到基本掌握離散數學的目的,是該課程教學的難點,也是師生普遍關心和值得探討的重要問題。本文結合筆者的教學實踐,對課程教學內容、教學方法、教學手段和考核方式等方面進行了探索和研究。

一、根據人才培養目標設計《離散數學》教學內容

應根據不同辦學層次,專業背景和人才培養目標構建離散數學課程的教學方案,這是整個一門課程的設計,依據就是不同專業方向的教學培養目標。數學專業的離散數學課程教學內容重在離散數學的數學理論,計算機科學與技術專業本科教育可以分為科學型(計算機科學)、工程型(計算機工程)和應用型(信息技術)三種類型,不同類型可以設計不同的知識單元,對離散數學諸多內容進行適當取舍。

二、教學方法探索

(一)多渠道培養學生興趣。興趣是最好的老師,如果學生沒有學習興趣,就談不上有學習的主動性和創造性,是不可能真正學好一門課程,培養興趣可以嘗試以下幾種途徑:

1.抓住開頭,激發求知欲。俗話說“良好的開端是成功的一半”,一方面,要注重開好這門課的頭,第一節課進入理論知識講授之前,可以通過實際例子,例如“理發師悖論”、“哥底斯堡七橋問題”‘“四色問題”等說明離散數學的應用,另一方面,每節課采用多種方式靈活的開場白,如以知識來源、背景開始,或以實際問題引入,或以邏輯游戲提問,或以前述章節知識的延伸開始等。

2.理論聯系實際,培養興趣。在教學中隨時把具體內容和學生的專業課相聯系,如利用布爾代數研究開關電路而建立一門完整的數字邏輯的理論,對計算機的邏輯設計起了很大作用;圖論中的平面圖、樹的研究對集成電路的布線、網絡信息流量的分析有很大的理論指導作用。

(二)重質疑強調啟發式教學。啟發式教學是培養學生自主創新能力的重要手段,啟發式教學的過程中,如何激發學生對問題的深入理解,刺激他們的求知欲是最關鍵的,有多種啟發教育模式,如對比啟發、反例啟發、設疑啟發、實例啟發等。筆者在教學中發現學生在記憶、應用極大項與極小項的性質時經常出問題,掌握不清楚,甚至把常用的記號都記錯了,于是將他們寫在一起,利用各自成真賦值、成假賦值與記號下標的關系,通過對比找出二者的規律,方便學生記憶。在講授條件聯結詞的真值時,我通常舉下述容易理解的例子消除學生的模糊性觀點:爸爸說:“如果你期末考試得了全班第一名,我將給你買臺電腦作獎勵。”那么只有當孩子考了第一名但是爸爸沒有給他買電腦時,才說明爸爸沒有兌現諾言。這樣,當條件聯結詞前件為假,不管后件是真還是假,條件式均為真。

三、教學手段多樣化

(一)章節總結,精選習題,舉一反三。每章結束后,安排習題課很必要,教師進行系統的章節總結,學生通過教師有條理的總結回顧本章內容,搞清所學知識的本質和內在聯系。選擇習題時要選至少能說明一個或多個重點問題的題目,且難度適中,講解時提倡一題多解,啟迪思路,同時歸納做題規律和技巧,例如在講解命題邏輯中判斷推理是否正確時,可以采用真值表法、等值演算法和主析取范式法,學生通過練習,就可以體會各種方法的優缺點,總結出什么樣的推理用什么樣的方法判斷更簡捷和方便。另外,根據學生的接受能力適當選取一些教材以外的題目,開拓思路。

(二)增加實驗教學環節。離散數學有注重應用的一面,筆者認為可以利用上課時間介紹一些基本理論和方法,讓學生在課后自由上機完成實驗,進行實驗教學關鍵是怎樣合理設計實驗題目。

(三)多媒體與傳統教學手段優勢互補。多媒體教學的引入,改變了“一支粉筆,一塊黑板和一本教科書”的傳統教學模式,教師充分節約了板書時間,有充分的時間解釋概念和分析證明思路,還可以組織學生討論,加深對知識重難點的理解,課后學生從老師那里獲得課件進行知識鞏固的時候,有利于課堂場景的重現,更加深印象。但是教學也不能僅僅依賴于多媒體,由于信息量增大加上有些推理的過程很需要詳加推導和解釋,所以要把多媒體教學和傳統教學結合起來,優勢互補,概念、定理、例題采用多媒體演示,而需要推導或課件上步驟有跳躍的地方采用板書形式。

四、考核方式改革研究

傳統的考核方式是試卷考試,考察學生基本概念、基本知識和基本技能的掌握以及解決綜合問題的能力,筆者建議可以嘗試采取試卷考試、平時考核和撰寫離散數學論文三部分成績有機結合的考核形式,老師大致指定論文范圍,由學生在范圍內自由選題,這種方式一方面使得學生加深了對所學知識的理解,另一方面在查閱資料的過程中學到了不少在教材中沒有的知識。

五、結束語

離散數學課程有益于培養學生的抽象思維、邏輯推理和用數學工具解決實際問題的能力,為后續課程的學習打下堅實的基礎,教與學是一個互動的過程,提高教學效果需要在實踐中不斷探索,不斷總結經驗,在教學中宜根據學生個體差異因材施教。如何確定教學內容、改進教學方法、豐富教學手段、完善考核方式、加強實踐應用,如何提高該課程的教學質量,這仍是今后教學實踐中需要不斷研究和探索的重要課題。

參考文獻:

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在數學教學過程中，教師精心設計有效的數學問題，是一門創造性的藝術． “問題”是學生掌握知識、形成技能、全面發展的主要源泉． 課堂教學就是“問題”的教學，在高三二輪數學復習教學中，我們經常會遇到一些在解題思想或者解題方法上非常典型的問題，其實對于這些問題的教學，不能簡單地認為“年年歲歲花相似”，復習時老是炒冷飯，還要看到“歲歲年年人不同”，必須不斷發現問題，有所改進和創新． 這樣在二輪復習中才能讓學生的基礎知識更加堅實，綜合能力得到進一步的提高．

異題同解實現基礎知識的夯實

異題同解簡單地講，就是在教學中將在解法上相同或者相近的一系列問題歸納在一起，對照分析后達到鞏固和提高的目的． 從歷年高三二輪數學復習的實際教學的效果來看，這種方法尤其對于基礎不太好的學生，甚至是基礎中等的學生而言，都有著可以較好地夯實基礎知識，提高解題的能力，增加學生學習數學興趣的功能．

例1 將函數f（x）=－的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，求所得圖象的函數表達式；

2． 作出函數f（x）=的圖象；

3． 求函數f（x）=的單調遞增區間；

4． 求函數f（x）=log2的單調遞增區間；

5． 討論函數f（x）=a≠在（－2，+∞）上的單調性．

解：1． 將函數f（x）=－中的x換成x+1，y換成y-1得

f（x）－1=－?圯f（x）=1－?圯f（x）=．

2． 函數f（x）==1－，它是由函數f（x）=－的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到的． 圖象為：

圖1

3． 由圖象知函數f（x）=的單調遞增區間為：（－∞，－1），（－1，+∞）．

4． 由>0?圯x>1或x

5． f（x）==a+a≠，由f（x）的圖象知，當a>時在（－2，+∞）上是增函數；當a

從上面的幾道題的問題設計，我們會發現“問題”雖然不同，但基本方法一致，它們源于雙基，通過解決問題又強化了雙基，讓學生在不斷提出問題、解決問題的流程中扎實雙基，并認識夯實雙基的重要性． 從而在高三二輪復習中我們在課堂教學中要清醒地認識到“問題”設計的導向性就是要強化“雙基”，突出重點． 強化“雙基”，夯實基礎是教學工作的基本原則． 只有這樣，才能達到課堂的有效性．

同題多解促進思維的滲透

在一些公開課中，我們常常看到開課教師在課堂上對典型例題進行“同題多解”，動輒就是五六種方法，甚至還會更多，成為教師的“表演秀”，但學生究竟掌握了多少，是要打問號的． “同題多解”在教學中是否必要存在有很大的爭論，畢竟在測試中，學生只要用最短的時間得到題目的答案就可以了，但考慮到“同題多解”是培養學生思維能力的一種有效的方法，同時從不同角度看問題，也可以發現某些常見錯誤，提供了一種常見的檢驗的方法． “最基本的才是最重要的”． 筆者在教學中對于這樣一類問題設計時，通常要求幾種方法在技巧性上的要求不能太高，力求能夠還原到基本概念，或者根據學生的思路，因勢利導，絕不為了“同題多解”而“同題多解”．

例2 設二次函數f（x）滿足f（x－2）=f（－x－2），且函數圖象y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為2，求f（x）的解析式．

解法一：設f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

由f（x－2）=f（－x－2）得4a－b=0．

又x1-x2==2，所以b2－4ac=8a2．

由題意可知c=1． 解之得f（x）=x2+2x+1．

解法二：f（x－2）=f（－x－2），

故函數y=f（x）的圖象有對稱軸x= －2，可設y=a（x+2）2+k．

因為函數圖象與y軸上的截距為1，則4a+k=1．

又被x軸截得的線段長為2，則x1-x2==2，

整理得2a+k=0，

解之得a=，k=－1，f（x）=x2+2x+1．

解法三：f（x－2）=f（－x－2）

故函數y=f（x）的圖象有對稱軸x= －2，又x1-x2=2，

所以y=f（x）與x軸的交點為：（－2－，0），（－2+，0），

所以故可設y=a（x+2+）（x+2－），

所以f（0）=1，a=，

所以f（x）=x2+2x+1．

從總體來講，三種方法在技巧性上要求不高，學生容易掌握，第一種體現了待定系數化歸的常見數學思想；第二種方法將對稱轉化為對稱軸問題，是一種通法；第三種方法起點低，但思維量比較大，采用交點坐標求二次函數的解析式來解決問題． 在求二次函數的解析式時三種方法都是常用方法，可以融會貫通，促進思維的滲透．

篇（7）

2.數學建模教學是應用型本科數學人才培養的有效途徑

3.將數學建模思想融入應用型本科數學教學初探

4.應用型本科數學實驗課程改革的探討

5.以數學建模為突破口,促進應用型本科數學課程改革 

6.淺談國內外本科數學公共基礎課的實踐教學

7.獨立學院工科類本科數學教學淺談

8.應對基礎教育課程改革的新疆高師本科數學專業課程設置策略

9.本科數學專業常微分方程教學改革與實踐 

10.基于大眾數學理念的中職起點本科數學改革

11.應用型本科數學教師教學素養的培養與思考  

12.應用型本科大學數學課程的教學定位分析 

13.河南高師本科數學專業學生就業形勢及對策

14.應用型本科數學類專業職業技能培養研究  

15.新課標體系下高師本科數學分析教學所面臨的問題和所采取的措施

16.應用型本科高校數學與應用數學專業建設的探索與實踐 

17.工程教育模式下本科數學教學評價的探索 

18.應用型本科人才的數學素質和創新意識教育的研究與實踐

19.基于高中課改形勢下的地方本科院校高等數學教學改革 

20.將數學建模思想融入大學本科數學基礎課程

21.本科數學教學與強化素質教育研究  

22.“問題驅動法”在新建應用型本科數學教學中的應用 

23.對本科數學教學改革的思考與對策 

24.應用型本科工科數學的現狀與教學改革探析 

25.應用型本科大學數學課程的教學定位分析

26.以就業為導向的數學本科專業學生創新能力的培養

27.淺談工科本科數學教育改革 

28.獨立學院實現應用型本科數學教學的研究

29.新建地方院校金融數學專業本科人才培養探討

30.對地方本科院校數學專業應用型人才培養的探索與實踐

31.普通本科院校文科數學素質教育的對策探究 

32.新建本科院校本科《高等數學》學習狀況調查報告

33.“以學生為中心”的本科數學教學范式研究

34.應用型本科高等數學教學改革的研究

35.新建本科院校特色專業建設與改革探索——以凱里學院數學與應用數學省級特色專業為例

36.應用型本科大學數學課程考試模式研究

37.民辦應用型本科數學課程改革初探

38.應用型本科數學基礎課程群建設的探討

39.應用本科院校高等數學走班制分層次教學探究——以河南科技學院為例

40.本科數學教學應提倡“研究性學習” 

41.民辦本科《數學分析》課程的實踐與認識 

42.構建高師小學教育本科專業數學類課程的若干思考 

43.高校應用型本科數學建模隊員培訓與選拔方式的探析

44.應用教學型本科數學實踐課程教學模式探討 

45.新升本科數學專業(師范)課程設置的特點與啟示 

46.新建本科院校文科數學教育的問題與對策研究 

47.工科類本科數學基礎課程教學基本要求 

48.高師本科數學分析教學改革的研究與實踐

49.應用型本科高校金融數學專業建設的思考 

50.本科數學專業常微分方程教學改革的探討  

51.本科數學專業高等代數課程教學改革初探——“推拉”教學法的嘗試

52.應用型本科院校數學建模教學與創新

53.應用型本科院校數學教學改革 

54.大學本科數學教學應重視的幾個問題 

55.論本科小學數學教師教育課程的整合 

56.地方本科院校公共數學類課程的教學改革與實踐 

57.應用型計算機本科中離散數學課程目標定位與課程改革的探討 

58.應用型本科院校數學與應用數學專業定位與課程設置研究 

59.數學建模在應用型本科人才培養中的實踐與探索

60.應用型本科高等數學教學與“CDIO”教學改革初探 

61.應用型本科院校高等數學教學存在的問題與改革策略 

62.新建本科院校計算機專業離散數學教學研究 

63.本科層次小學教育專業數學課程設置的本源性分析 

64.農林本科數學教育的現狀與存在問題分析 

65.提高一般本科院校學生學習數學積極性初探 

66.數學建模思想融入應用型本科院校高等數學課程教學的途徑

67.應用型本科高等數學課程教學改革的探究  

68.山東省高師專科升本科《數學分析》試題的研討 

69.一般本科院校《大學數學》教學現狀分析與改革思路研討

70.關于提高數學類專業本科畢業設計質量的研究

71.西藏高校數學類本科專業設置及課程體系建設研究——以西藏大學為例 

72.整合數學類課程,提高小學教育專業本科學生的數學素養

73.理工科院校數學本科專業學生就業初探 

74.應用型本科院校高等數學課程現狀與對策 

75.工程應用型本科類高校數學通識課現狀分析及其改革途徑探討

76.應用型本科院校大學數學教學改革的探索 

77.新建本科高校數學教學改革的探索與實踐 

78.地方本科院校擴大數學建模競賽受益面的探索 

79.新升本科院校數學分析教學的幾點思考  

80.本科院校數學實驗室管理研究  

81.大學本科經濟數學教學現狀及相關思考  

82.應用型本科院校高等數學課程的教學改革 

83.應用技術型本科院校高等數學教材的建設模式研究與實踐 

84.工程數學教學如何適應技術應用型本科教育  

85.新建本科院校安全工程專業數學課程教學改革探討 

86.關于國外高校經濟學本科數學基礎課程設置的探討 

87.四年制高職本科高等數學課程體系的研究

88.概率統計在數學建模中的應用——以2012年全國大學生數學建模競賽(本科組)A題為例 

89.高等數學思想在本科畢業設計中的運用研究 

90.應用型本科數學實驗課程教學改革探索

91.新建本科院校考研數學的現狀與策略研究 

92.應用型本科院校高等數學教學若干問題的思考

93.數學史:探求真理的“心”路歷程——大學本科數學史教材改革初探 

94.地方本科院校數學與應用數學專業課程群建設的理論與實踐  

95.應用型本科院校高等數學教學改革研究

96.“產學研”合作視域下高校實踐教學體系的構建——以宿州學院數學類本科專業為例 

97.與時俱進構建人才培養新模式——東華理工學院《數學與應用數學專業本科人才培養計劃(06版)》解讀 

98.地方一般本科院校數學建模活動推廣模式探討 

99.本科小學教育專業學生數學素養的培養研究 

100.新建本科院校數學與應用數學專業實踐教學體系探索 

101.應用型本科高校大學數學分層次教學改革探討 

102.基于職業創新能力培養的數學課程構建——以高職本科分段鐵道供電專業為例 

103.大學本科數學考試模式改革探索與思考  

104.淺論下輪工科本科數學教材編寫的原則 

105.應用型本科院校中高等數學教學體會  

106.應用型本科數學建模課程教學改革探索 

107.應用型本科高校高等數學課程優化教學新探 

108.應用型本科院校數學課程教學改革與建設探索——以銀川能源學院為例 

109.高等本科院校學生數學建模能力的調查與分析

110.本科院校工科高等數學軟件實驗的改革 

111.河南省高師數學本科專業學生就業探微

112.新建本科院校高等數學課程中實施分層教學的探索——以安陽師范學院為例