緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇一元二次方程教案范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

（一）知識教學點：1．使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2．掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項．

（二）能力訓練點：1．通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；2．通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性．

（三）德育滲透點：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識．

二、教學重點、難點

1．教學重點：一元二次方程的意義及一般形式．

2．教學難點：正確識別一般式中的“項”及“系數”．

三、教學步驟

（一）明確目標

1．用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程．學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼并用的能力．

2．現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？

教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題．

板書：“第十二章一元二次方程”．教師恰當的語言，激發學生的求知欲和學習興趣．

（二）整體感知

通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中．同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？

（3）什么叫做分式方程？

問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊．

2．引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？

引導，啟發學生設未知數列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念．

整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程．

一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數”，“二次”指的是“未知數的最高次數是2”．“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎．一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的．這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進行合并同類項整理，再按定義進行判斷．

3．練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x2＝x；

（5）2x2＝5y；

（6）-x2＝0

4．任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式．

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項系數，b稱一次項系數．

一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解．

5．例1把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數，一次項系數及常數項？

教師邊提問邊引導，板書并規范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．

6．練習1：教材P．5中1，2．要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價．題目答案不唯一，最好二次項系數化為正數．

練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數、一次項系數、常數項．

8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．

教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化．

（四）總結、擴展

引導學生從下面三方面進行小結．從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區別和聯系？

1．將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法．

2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項．歸納所學過的整式方程．

3．一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯系．強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義．

四、布置作業

1．教材P．6練習2．

2．思考題：

1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”

2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）．

五、板書設計

第十二章一元二次方程12．1用公式解一元二次方程

1．整式方程：……4．例1：……

2．一元二次方程……：……

3．一元二次方程的一般形式：

……5．練習：……

…………

六、課后習題參考答案

教材P．6A2．

教材P．6B1、2．

1．（1）二次項系數：ab一次項系數：c常數項：d．

（2）二次項系數：m-n一次項系數：0常數項：m＋n．

2．一般形式：（m＋n）x2+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次項系數：m＋n，一次項系數：m－n，常數項：p－q．

思考題

篇（2）

（一）知識教學點：

1．了解根的判別式的概念．

2．能用判別式判別根的情況．

（二）能力訓練點：

1．培養學生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力．

2．進一步考察學生思維的全面性．

（三）德育滲透點：

1．通過了解知識之間的內在聯系，培養學生的探索精神．

2．進一步滲透轉化和分類的思想方法．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：會用判別式判定根的情況．

2．教學難點：正確理解“當b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數根．”

3．教學疑點：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實數范圍內，當b2-4ac＜0時，無解．在高中講復數時，會學習當b2-4ac＜0時，實系數的一元二次方程有兩個虛數根．

三、教學步驟

（一）明確目標

在前一節的“公式法”部分已經涉及到了，當b2-4ac≥0時，可以求出兩個實數根．那么b2-4ac＜0時，方程根的情況怎樣呢？這就是本節課的目標．本節課將進一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．

（二）整體感知

在推導一元二次方程求根公式時，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進一步學習函數的有關內容，并且可以解決許多其它問題．

在探索一元二次方程根的情況是由誰決定的過程中，要求學生從中體會轉化的思想方法以及分類的思想方法，對學生思維全面性的考察起到了一個積極的滲透作用．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）平方根的性質是什么？

（2）解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．

問題（1）為本節課結論的得出起到了一個很好的鋪墊作用．問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節課的結論的得出起到了一個推波助瀾的作用．

2．任何一個一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將

（1）當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根．

（3）當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根．

教師通過引導之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？

答：b2-4ac．

3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“”表示．

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

當＞0時，有兩個不相等的實數根；

當＝0時，有兩個相等的實數根；

當＜0時，沒有實數根．

反之亦然．

注意以下幾個問題：

（1）a≠0，4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊．在這里應向學生滲透轉化和分類的思想方法．

（2）當b2-4ac＜0，說“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根”比較好．有時，也說“方程無解”．這里的前提是“在實數范圍內無解”，也就是方程無實數根”的意思．

4．例1不解方程，判別下列方程的根的情況：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；

（3）5（x2＋1）-7x＝0．

解：

（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，

原方程有兩個不相等的實數根．

（2）原方程可變形為

16y2-24y＋9＝0．

＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，

原方程有兩個相等的實數根．

（3）原方程可變形為

5x2-7x+5=0．

＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，

原方程沒有實數根．

學生口答，教師板書，引導學生總結步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．

強調兩點：（1）只要能判別值的符號就行，具體數值不必計算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．

練習．不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；

（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；

學生板演、筆答、評價．

（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設y＝x-2，判別方程y2＋2y-8=0根的情況，由此判別原方程根的情況．

又不論k取何實數，≥0，

原方程有兩個實數根．

教師板書，引導學生回答．此題是含有字母系數的一元二次方程．注意字母的取值范圍，從而確定b2-4ac的取值．

練習：不解方程，判別下列方程根的情況．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

學生板演、筆答、評價．教師滲透、點撥．

（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1

＝4m2-8m2-4

＝-4m2-4．

不論m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．

方程無實數解．

由數字系數，過渡到字母系數，使學生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值．

（四）總結、擴展

（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．

①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“”表示

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

當＞0時，有兩個不相等的實數根；

當＝0時，有兩個相等的實數根；

當＜0時，沒有實數根．反之亦然．

（2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉化的思想方法及分類的思想方法．

四、布置作業

教材P．27中A1、2

五、板書設計

12．3一元二次方程根的判別式（一）

一、定義：……三、例……

…………

二、一元二次方程的根的情況……練習：……

篇（3）

（二）能力訓練點：培養學生準確而簡潔的計算能力及抽象概括能力．

（三）德育滲透點：通過兩邊同時開平方，將2次方程轉化為一次方程，向學生滲透數學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉化，這是研究數學問題常用的方法，化未知為已知．

二、教學重點、難點

1．教學重點：用直接開平方法解一元二次方程．

2．教學難點：（1）認清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數）這樣結構特點的一元二次方程適用于直接開平方法．（2）一元二次方程可能有兩個不相等的實數解，也可能有兩個相等的實數解，也可能無實數解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常數），當c＞0時，有兩個不等的實數解，c＝0時，有兩個相等的實數解，c＜0時無實數解．

三、教學步驟

（一）明確目標

在初二代數“數的開方”這一章中，學習了平方根和開平方運算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一個數平方根的運算叫做開平方運算”．正確理解這個概念，在本節課我們就可得到最簡單的一元二次方程x2＝a的解法，在此基礎上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常數，a≠0，c≥0）結構特點的一元二次方程，從而達到本節課的目的．

（二）整體感知

通過本節課的學習，使學生充分認識到：數學的新知識是建立在舊知識的基礎上，化未知為已知是研究數學問題的一種方法，本節課引進的直接開平方法是建立在初二代數中平方根及開平方運算的基礎上，可以說平方根的概念對初二代數和初三代數起到了承上啟下的作用．而直接開平方法又為一元二次方程的其他解法打下堅實的基礎，此法可以說起到一個拋磚引玉的作用．學生通過本節課的學習應深刻領會數學以舊引新的思維方法，在已學知識的基礎上開發學生的創新意識．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）什么叫整式方程？舉兩例，一元一次方程及一元二次方程的異同？

（2）平方根的概念及開平方運算？

2．引例：解方程x2-4=0．

解：移項，得x2＝4．

兩邊開平方，得x＝±2．

x1＝2，x2＝-2．

分析x2＝4，一個數x的平方等于4，這個數x叫做4的平方根（或二次方根）；據平方根的性質，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；所以這個數x為±2．求一個數平方根的運算叫做開平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．使學生體會到直接開平方法的實質是求一個數平方根的運算．

練習：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．學生在練習、板演過程中充分體會直接開平方法的步驟以及蘊含著關于平方根的一些概念．

3．例1解方程9x2-16＝0．

解：移項，得：9x2=16，

此例題是在引例的基礎上將二次項系數由1變為9，由此增加將二次項系數變為1的步驟．此題解法教師板書，學生回答，再次強化解題

負根．

練習：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．

例2解方程（x＋3）2＝2．

分析：把x＋3看成一個整體y．

例2把引例中的x變為x+3，反之就應把例2中的x+3看成一個整體，

兩邊同時開平方，將二次方程轉化為兩個一次方程，便求得方程的兩個解．可以說：利用平方根的概念，通過兩邊開平方，達到降次的目的，化未知為已知，體現一種轉化的思想．

練習：教材P．8中2，此組練習更重要的是體會方程的左邊不是未知數的平方，而是含有未知數的代數式的平方，而右邊是個非負實數，采用直接開平方法便可以求解．

例3解方程（2-x）2-81＝0．

解法（一）

移項，得：（2-x）2＝81．

兩邊開平方，得：2-x=±9

2-x＝9或2-x＝-9．

x1=-7，x2＝11．

解法（二）

（2-x）2＝（x-2）2，

原方程可變形，得（x-2）2=81．

兩邊開平方，得x-2＝±9．

x-2＝9或x-2＝-9．

x1＝11，x2＝-7．

比較兩種方法，方法（二）較簡單，不易出錯．在解方程的過程中，要注意方程的結構特點，進行靈活適當的變換，擇其簡捷的方法，達到又快又準地求出方程解的目的．

練習：解下列方程：

（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

在實數范圍內解一元二次方程，要求出滿足這個方程的所有實數根，提醒學生注意不要丟掉負根，例x2＋36＝0，由于適合這個方程的實數x不存在，因為負數沒有平方根，所以原方程無實數根．-x2＝0，適合這個方程的根有兩個，都是零．由此滲透方程根的存在情況．以上在教師恰當語言的引導下，由學生得出結論，培養學生善于思考的習慣和探索問題的精神．

那么具有怎樣結構特點的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡單呢？啟發引導學生，抽象概括出方程的結構：（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0），即方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，另一邊是非負實數．

（四）總結、擴展

引導學生進行本節課的小節．

1．如果一元二次方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負常數，便可用直接開平方法來解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0）．

2．平方根的概念為直接開平方法的引入奠定了基礎，同時直接開平方法也為其它一元二次方程的解法起了一個拋磚引玉的作用．兩邊開平方實際上是實現方程由2次轉化為一次，實現了由未知向已知的轉化．由高次向低次的轉化，是高次方程解法的一種根本途徑．

3．一元二次方程可能有兩個不同的實數解，也可能有兩個相同的實數解，也可能無實數解．

四、布置作業

1．教材P．15中A1、2、

2、P10練習1、2；

P．16中B1、（學有余力的學生做）．

五、板書設計

12．1用公式解一元二次方程（二）

引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0

解：…………

……例2解方程（x＋3）2＝2

此種解一元二次方程的方法稱為直接開平方法

形如（ax＋b）2＝c（a，b，

c為常數，a≠0，c≥0）可用直接開平方法

六、部分習題參考答案

教材P．15A1

篇（4）

（一）知識教學點：1．正確理解因式分解法的實質．2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力訓練點：通過新方法的學習，培養學生分析問題解決問題的能力及探索精神．

（三）德育滲透點：通過因式分解法的學習使學生樹立轉化的思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教學疑點：理解“充要條件”、“或”、“且”的含義．

三、教學步驟

（一）明確目標

學習了公式法，便可以解所有的一元二次方程．對于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果轉化為一般形式，利用公式法就比較麻煩，如果轉化為x－2＝0或x＋3＝0，解起來就變得簡單多了．即可得x1＝2，x2＝-3．這種解一元二次方程的方法就是本節課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整體感知

所謂因式分解，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，這樣就將原來的一元二次方程轉化為一元一次方程，方程便易于求解．可以說二次三項式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關鍵．“如果兩個因式的積等于零，那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據．方程的左邊易于分解，而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件．滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

1．復習提問

零，那么這兩個因式至少有一個等于零．反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．

“或”有下列三層含義

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

教師提問、板書，學生回答．

分析步驟（一）第一步變形的方法是“因式分解”，第二步變形的理論根據是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零”．分析步驟（二）對于一元二次方程，一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次式時，可以得到兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步實現了由二次向一次的“轉化”，達到了“降次”的目的，解高次方程常用轉化的思想方法．

例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：原方程可變形為（x＋5）（x-3）＝0．

得，x＋5＝0或x-3＝0．

x1＝-5，x2＝3．

教師板演，學生回答，總結因式分解的步驟：（一）方程化為一般形式；（二）方程左邊因式分解；（三）至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；（四）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

練習：P．22中1、2．

第一題學生口答，第二題學生筆答，板演．

體會步驟及每一步的依據．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．

x-2＝0或3-x＝0．

x1＝2，x2＝3．

教師板演，學生回答．

此方程不需去括號將方程變成一般形式．對于總結的步驟要具體情況具體分析．

練習P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.

解：原式可變形為（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：（5x-4）（x＋8）=0．

5x-4＝0或x＋8＝0．

學生練習、板演、評價．教師引導，強化．

練習：解下列關于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

學生練習、板演．教師強化，引導，訓練其運算的速度．

練習P．22中4．

（四）總結、擴展

1．因式分解法的條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零．”

四、布置作業

教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（學有余力的學生做）．

2．因式分解法解一元二次方程的步驟是：

（1）化方程為一般形式；

（2）將方程左邊因式分解；

（3）至少有一個因式為零，得到兩個一元二次方程；

（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具體情況具體分析．

3．因式分解的方法，突出了轉化的思想方法，鮮明地顯示了“二次”轉化為“一次”的過程．

五、板書設計

12．2用因式分解法解一元二次方程（一）

例1．……例2……

二、因式分解法的步驟

（1）……練習：……

（2）…………

（3）……

（4）……

但要具體情況具體分析

六、作業參考答案

教材P．21中A1

（1）x1=-6，x2=-1

（2）x1=6，x2=-1

（3）y1=15，y2=2

（4）y1=12，y2=-5

（5）x1=1，x2=-11，

（6）x1=-2，x2=14

教材P．21中A2略

（1）解：原式可變為：（5mx-7）（mx-2）＝0

5mx-7=0或mx-b＝0

又m≠0

（2）解：原式可變形為

（2ax＋3b）（5ax-b）＝0

2ax＋3b＝0

或5ax-b＝0

a≠0

教材P．23中B

1．解：（1）由y的值等于0

得x2-2x-3=0

變形為（x-3）（x＋1）＝0

x-3＝0或x+1=0

x1＝3，x2=-1

（2）由y的值等于-4

得x2-2x-3=-4

方程變形為x2-2x＋1=0

（x-1）2=0

解得x1=x2=1

當x=3或x＝-1時，y的值為0

當x=1時，y的值等于-4

教材P．23中B2

證明：x2-7xy＋12y2＝0

篇（5）

（一）知識教學點：1．正確理解因式分解法的實質．2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力訓練點：通過新方法的學習，培養學生分析問題解決問題的能力及探索精神．

（三）德育滲透點：通過因式分解法的學習使學生樹立轉化的思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教學疑點：理解“充要條件”、“或”、“且”的含義．

三、教學步驟

（一）明確目標

學習了公式法，便可以解所有的一元二次方程．對于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果轉化為一般形式，利用公式法就比較麻煩，如果轉化為x－2＝0或x＋3＝0，解起來就變得簡單多了．即可得x1＝2，x2＝-3．這種解一元二次方程的方法就是本節課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整體感知

所謂因式分解，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，這樣就將原來的一元二次方程轉化為一元一次方程，方程便易于求解．可以說二次三項式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關鍵．“如果兩個因式的積等于零，那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據．方程的左邊易于分解，而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件．滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

1．復習提問

零，那么這兩個因式至少有一個等于零．反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．

“或”有下列三層含義

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

教師提問、板書，學生回答．

分析步驟（一）第一步變形的方法是“因式分解”，第二步變形的理論根據是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零”．分析步驟（二）對于一元二次方程，一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次式時，可以得到兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步實現了由二次向一次的“轉化”，達到了“降次”的目的，解高次方程常用轉化的思想方法．

例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：原方程可變形為（x＋5）（x-3）＝0．

得，x＋5＝0或x-3＝0．

x1＝-5，x2＝3．

教師板演，學生回答，總結因式分解的步驟：（一）方程化為一般形式；（二）方程左邊因式分解；（三）至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；（四）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

練習：P．22中1、2．

第一題學生口答，第二題學生筆答，板演．

體會步驟及每一步的依據．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．

x-2＝0或3-x＝0．

x1＝2，x2＝3．

教師板演，學生回答．

此方程不需去括號將方程變成一般形式．對于總結的步驟要具體情況具體分析．

練習P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.

解：原式可變形為（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：（5x-4）（x＋8）=0．

5x-4＝0或x＋8＝0．

學生練習、板演、評價．教師引導，強化．

練習：解下列關于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

學生練習、板演．教師強化，引導，訓練其運算的速度．

練習P．22中4．

（四）總結、擴展

1．因式分解法的條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零．”

四、布置作業

教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（學有余力的學生做）．

2．因式分解法解一元二次方程的步驟是：

（1）化方程為一般形式；

（2）將方程左邊因式分解；

（3）至少有一個因式為零，得到兩個一元二次方程；

（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具體情況具體分析．

3．因式分解的方法，突出了轉化的思想方法，鮮明地顯示了“二次”轉化為“一次”的過程．

五、板書設計

12．2用因式分解法解一元二次方程（一）

例1．……例2……

二、因式分解法的步驟

（1）……練習：……

（2）…………

（3）……

（4）……

但要具體情況具體分析

六、作業參考答案

教材P．21中A1

（1）x1=-6，x2=-1

（2）x1=6，x2=-1

（3）y1=15，y2=2

（4）y1=12，y2=-5

（5）x1=1，x2=-11，

（6）x1=-2，x2=14

教材P．21中A2略

（1）解：原式可變為：（5mx-7）（mx-2）＝0

5mx-7=0或mx-b＝0

又m≠0

（2）解：原式可變形為

（2ax＋3b）（5ax-b）＝0

2ax＋3b＝0

或5ax-b＝0

a≠0

教材P．23中B

1．解：（1）由y的值等于0

得x2-2x-3=0

變形為（x-3）（x＋1）＝0

x-3＝0或x+1=0

x1＝3，x2=-1

（2）由y的值等于-4

得x2-2x-3=-4

方程變形為x2-2x＋1=0

（x-1）2=0

解得x1=x2=1

當x=3或x＝-1時，y的值為0

當x=1時，y的值等于-4

教材P．23中B2

證明：x2-7xy＋12y2＝0

篇（6）

（一）知識教學點：

1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．

2．學會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進行有關的證明．

（二）能力訓練點：

1．培養學生思維的嚴密性，邏輯性和靈活性．

2．培養學生的推理論證能力．

（三）德育滲透點：通過例題教學，滲透分類的思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．

2．教學難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．

三、教學步驟

（一）明確目標

上節課學習了一元二次方程根的判別式，得出結論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根．”這個結論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結論的逆命題是成立的，可作為定理用．本節課的目標就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進行有關的證明．

（二）整體感知

本節課是上節課的延續和深化，主要是在“明確目標”中所提的逆定理的應用．通過本節課的內容的學習，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數系數的取值，本節課內容對學生嚴密的邏輯思維及思維全面性進行恰如其分的訓練．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程

1．復習提問

（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數，一次項系數及常數項．

（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？

2．將復習提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數根，則＞0；如果方程有兩個相等的實數根，則=0；如果方程沒有實數根，則＜0．”即根據方程的根的情況，可以決定值的符號，‘’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：

例1已知關于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時

（1）方程有兩個不相等的實數根；

（2）方程有兩個相等的實數根；

（1）方程無實數根．

解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，

b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）

＝8k+9．

方程有兩個不相等的實數根．

方程有兩個相等的實數根．

方程無實數根．

本題應先算出“”的值，再進行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．

練習1．已知關于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．

t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根？（2）方程有兩個相等的實數根？（3）方程沒有實數根？

學生模仿例題步驟板書、筆答、體會．

教師評價，糾正不精練的步驟．

假設二項系數不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？

練習2．已知：關于x的一元二次方程：

kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數根，求k的取值范圍．

和學生一起審題（1）“關于x的一元二次方程”應考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數根”應是有兩個相等的實數根或有兩個不相等的實數根，可得到≥0．由k≠0且≥0確定k的取值范圍．

解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．

原方程有兩個實數根．

學生板書、筆答，教師點撥、評價．

例求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數根．

分析：將算出，論證＜0即可得證．

證明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）

＝4m2-4m4-20m2-16

＝-4（m4＋4m2＋4）

＝-4（m2＋2）2．

不論m為任何實數，（m2＋2）2＞0．

-4（m2＋2）2＜0，即＜0．

（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．

本題結論論證的依據是“當＜0，方程無實數根”，在論證＜0時，先將恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．

本題是一道代數證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據，推理嚴謹．

此種題型的步驟可歸納如下：

（1）計算；（2）用配方法將恒等變形；

（3）判斷的符號；（4）結論．

練習：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數根．

提示：將括號打開，整理成一般形式．

學生板書、筆答、評價、教師點撥．

（四）總結、擴展

1．本節課的主要內容是教科書上黑體字的應用，求符合題意的字母的取值范圍以及進行有關的證明．須注意以下幾點：

（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數不為零這一條件．

（2）認真審題，嚴格區分條件和結論，譬如是已知＞0，還是要證明＞0．

（3）要證明≥0或＜0，需將恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．

2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴密性和思維全面性的能力．

四、布置作業

1．教材P．29中B1，2，3．

2．當方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數根時，求a的正整數解．

（2、3學有余力的學生做．）

五、板書設計

12．3一元二次方程根的判別式（二）

一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……

=b2-4ac…………

二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

（1）當＞0，……練習1……練習2……

（2）當＝0，……

（3）當＜0，……

反之也成立．

六、作業參考答案

方程沒有實數根．

B3．證明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5

當k無論取何實數，4k2≥0，則4k2＋5＞0

＞0

方程x2+（2k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．

2．解：方程有實根，

＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0

即：a≤3，a的正整數解為1，2，3

當a＝1，2，3時，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有實根．

3．分析：“方程”是一元一次方程，還是一元二次方程，需分情況討論：

篇（7）

(2)重點、難點分析

重點：本小節的重點是使學生學會用加減法解二元一次方程組.這也是一種全新的知識，與在一元一次方程兩邊都加上、減去同一個數或同一個整式，或者都乘以、除以同一個非零數的情況是不一樣的，但運用這項知識(這里也表現為一種方法)，有時可以簡捷地求出二元一次方程組的解，因此學生同樣會表現出一種極大的興趣.必須充分利用學生學會這種方法的積極性.加減(消元)法是解二元一次方程組的基本方法之一，因此要讓學生學會，并能靈活運用.這種方法同樣是解三元一次方程組和某些二元二次方程組的基本方法，在教學中必須引起足夠重視.

難點：靈活運用加減法的技巧，以便將方程變形為比較簡單和計算比較簡便，這也要通過一定數量的練習來解決.

2.教法建議

(1)本節是通過一個引例，介紹了加減法解方程組的基本思想和解題過程.教學時，要引導學生觀察這個方程組中未知數系數的特點.通過觀察讓學生說出，在兩個方程中y的系數互為相反數或在兩個方程中x的系數相等，讓學生自己動腦想一想，怎么消元比較簡便，然后引出加減消元法.

(2)講完加減法后，課本通過三個例題加以鞏固，這三個例題是由淺入深的，講解時也要先讓學生觀察每個方程組未知數系數的特點，然后讓學生說出每個方程組的解法，例題1老師自己板書，剩下的兩個例題讓學生上黑板板書，然后老師點評.

(3)講解完本節后，教師應引導學生比較代入法與加減法這兩種方法，這兩種方法雖有不同，但實質都是消元，即通過消去一個未知數，把“二元”轉化為“一元”.也就是說：

這時學生對解題方法比較熟悉，但還沒有上升到理論的高度，這時教師應及時點撥、滲透化歸轉化的思想，并指出這是具有普遍意義的分析問題、解決問題的思想方法.

教學設計示例

(第一課時)

一、素質教育目標

(一)知識教學點

1.使學生掌握用加減法解二元一次方程組的步驟.

2.能運用加減法解二元一次方程組.

(二)能力訓練點

1.培養學生分析問題、解決問題的能力.

2.訓練學生的運算技巧.

(三)德育滲透點

消元，化未知為已知的轉化思想.

(四)美育滲透點

滲透化歸的數學美.

二、學法引導

1.教學方法：談話法、討論法.

2.學生學法：觀察各未知量前面系數的特征，只要將相同未知量前的系數化為絕對值相等的值后即可利用加減法進行消元，同時在運算中注意歸納解題的技巧和解題的方法.

三、重點、難點、疑點及解決辦法

(-)重點

使學生學會用加減法解二元一次方程組.

(二)難點

靈活運用加減消元法的技巧.

(三)疑點

如何“消元”，把“二元”轉化為“一元”.

(四)解決辦法

只要將相同未知量前的系數化為絕對值相等的值即可利用加減法進行消元.

四、課時安排

一課時.

五、教具學具準備

投影儀、膠片.

六、師生互動活動設計

1.教師通過復習上節課代入法解二元一次方程組的方法及其解題思想，引入除了消元法還有其他方法嗎?從而導入新課即加減法解二元一次方程組.

2.通過引例進一步讓學生探究是用代入法還是用加減法解方程組更簡單，讓學生進一步明確用加減法解題的優越性.

3.通過反復的訓練、歸納、再訓練、再歸納，從而積累用加減法解方程組的經驗，進而上升到理論.

七、教學步驟

(-)明確目標

本節課通過復習代入法從而引入另一種消元的辦法，即加減法解二元一次方程組.

(二)整體感知

加減法解二元一次方程組的關鍵在于將相同字母的系數化為絕對值相等的值，即可使用加減法消元.故在教學中應反復教會學生觀察并抓住解題的特征及辦法從而方便解題.

(三)教學過程

1.創設情境，復習導入

(1)用代入法解二元一次方程組的基本思想是什么?

(2)用代入法解下列方程組，并檢驗所得結果是否正確.

學生活動：口答第(1)題，在練習本上完成第(2)題，一個同學說出結果.

上面的方程組中，我們用代入法消去了一個未知數，將“二元”轉化為“一元”，從而得到了方程組的解.對于二元一次方程組，是否存在其他方法，也可以消去一個未知數，達到化“二元”為“一元”的目的呢?這就是我們這節課將要學習的內容.

【教法說明】由練習導入新課，既復習了舊知識，又引出了新課題，教學過程中還可以進行代入法和加減法的對比，訓練學生根據題目的特點選取適當的方法解題.

2.探索新知，講授新課

第(2)題的兩個方程中，未知數的系數有什么特點?(互為相反數)根據等式的性質，如果把這兩個方程的左邊與左邊相加，右邊與右邊相加，就可以消掉，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解.

解：①+②，得

把代入①，得

學生活動：比較用這種方法得到的、值是否與用代入法得到的相同.(相同)

上面方程組的兩個方程中，因為的系數互為相反數，所以我們把兩個方程相加，就消去了.觀察一下，的系數有何特點?(相等)方程①和方程②經過怎樣的變化可以消去?(相減)

學生活動：觀察、思考，嘗試用①-②消元，解方程組，比較結果是否與用①+②得到的結果相同.(相同)

我們將原方程組的兩個方程相加或相減，把“二元”化成了“一元”，從而得到了方程組的解.像這種解二元一次方程組的方法叫加減消元法，簡稱“加減法”.

提問：①比較上面解二元一次方程組的方法，是用代入法簡單，還是用加減法簡單?(加減法)

②在什么條件下可以用加減法進行消元?(某一個未知數的系數相等或互為相反數)

③什么條件下用加法、什么條件下用減法?(某個未知數的系數互為相反數時用加法，系數相等時用減法)

【教法說明】這幾個問題，可使學生明確使用加減法的條件，體會在某些條件下使用加減法的優越性.

例1解方程組

哪個未知數的系數有特點?(的系數相等)把這兩個方程怎樣變化可以消去?(相減)

學生活動：回答問題后，獨立完成例1，一個學生板演.

解：①-②，得

把代入②，得

(1)檢驗一下，所得結果是否正確?

(2)用②-①可以消掉嗎?(可以)是用①-②，還是用②-①計算比較簡單?(①-②簡單)

(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①計算簡單還是代入②計算簡單?(代入系數較簡單的方程)

練習：P23l.(l)(2)(3)，分組練習，并把學生的解題過程在投影儀上顯示.

小結：用加減法解二元一次方程組的條件是某個未知數的系數絕對值相等.

例2解方程組

(1)上面的方程組是否符合用加減法消元的條件?(不符合)

(2)如何轉化可使某個未知數

系數的絕對值相等?(①×2或②×3)

歸納：如果兩個方程中，未知數系數的絕對值都不相等，可以在方程兩邊部乘以同一個適當的數，使兩個方程中有一個未知數的系數絕對值相等，然后再加減消元.

學生活動：獨立解題，并把一名學生解題過程在投影儀上顯示.

學生活動：總結用加減法解二元一次方程組的步驟.

①變形，使某個未知數的系數絕對值相等.

②加減消元.

③解一元一次方程.

④代入得另一個未知數的值，從而得方程組的解.

3.嘗試反饋，鞏固知識

練習：P231.(4)(5).

【教法說明】通過練習，使學生熟練地用加減法解二元一次方程組并能在練習中摸索運算技巧，培養能力.

4.變式訓練，培養能力

(1)選擇：二元一次方程組的解是()

A.B.C.D.

(2)已知，求、的值.

學生活動：第(1)題口答，第(2)題在練習本上完成.

【教法說明】第(1)題可以用解方程組的方法得解，也可以把四組值分別代入原方程組中，利用檢驗的方法解，這道題能訓練學生思維的靈活性;第(2)題通過分析，學生可得方程組從而求得、的值.此題可以培養學生分析問題，解決問題的綜合能力.

(四)總結、擴展

1.用加減法解二元一次方程組的思想：

2.用加減法解二元一次方程組的條件：某一未知數系數絕對值相等.

3.用加減法解二元一次方程組的步驟：

八、布置作業

(一)必做題：P241.

(二)選做題：P25B組1.

(三)預習：下節課內容.

篇（8）

數學教育家弗萊登塔爾指出,“反思是重要的數學活動,它是數學活動的核心動力,是一種積極的思維活動和探索行為,是同化,是探索,是發現,是再創造。”

在對教師訪談調查中,我們發現,很少有教師在進行教學設計和教案撰寫時特別注重對學生反思力的培養。

由于缺乏有效的指導,“做題―對照答案―做題”成為學習的主要方法。學生總是處于課堂里被動接受“灌輸”、課下機械性作業、疲于應付考試這樣一種狀態,無法對學習過程進行有效的監控和調節,甚至走上“迷途”。

二、糾錯中,通過反思解決本源問題

孔子曰:“學而不思則罔,思而不學則殆”。為此我要求每一名學生準備一本錯題集,具體包含三個部分:

(1)錯誤原因的查找。

(2)針對性的練習。

(3)以后如何避免類似錯誤作為本題最后的反思與小結。

學習一元二次方程根的判別式時,學生出現了這樣的問題;

題目:關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等實數根,則k的取值范圍是多少?

學生解法:因為方程有兩個不相等的實數根,所以?駐>0,即22+4k>0,解得:k>-1

所以k的取值范圍是:k>-1

這是典型的錯誤,原因是本節課的重心是學習一元二次方程根的判別式,他們把主要的注意力集中在如何運用一元二次方程根的判別式,沒有考慮一元二次方程概念中的限制條件,就出現了顧此失彼的情況,于是我作了如下的引導:

(1)錯誤原因是什么?(判別式的判別只適用于一元二次方程,而a=0時不適用。)

(2)如何正確求解?(本題:因為方程有兩個不相等的實數根,所以?駐>0,即22+4k>0,解得:k>-1,又因為一元二次方程kx2-2x-1=0中k≠0,故k的取值范圍是k>-1且k≠0。)

(3)以后如何避免錯誤?(以后在做此類題目時,一要讀清楚題中條件,二是結論的適用范圍要清晰,三是解題的前后要等價。)

三、復習中,通過反思構建知識體系

復習,更需要加強反思。通過反思,讓學生主動學習,主動構建知識體系。復習中,引導學生按照網絡(習題)構建、解法整合、跨越學科的途徑進行的反思,不僅可以變大量機械重復的練習為精練、巧練,而且還能養成抓住問題關鍵、直接剖析核心的好習慣。

四、要發揮主體

篇（9）

三維目標

知識與技能：掌握用二元一次方程（組）解決實際問題的步驟，會通過列二元一次方程（組）解決簡單實際問題。

過程與方法：通過閱讀實際問題，理解題意，準確找出問題中數量間的關系，從而列二元一次方程（組）解決有關方案優化的問題。

情感、態度與價值觀：使學生認識到學好數學的重要性，激發學生學習數學的積極性。培養學生簡單的數學建模思想。

教學重點：列二元一次方程（組）解決有關方案優化的問題

教學難點：列二元一次方程（組）解決有關方案優化的問題

教學過程：

一、知識的回顧

1、二元一次方程的定義

2、一個二元一次方程的解有幾個？

3、下列二元一次方程有幾個解？

（1）2x+3y=12

（2）2x+3y=12

(x,y均為正整數）

（3）2x+3y=12

(x,y均為自然數）

4、列方程（組）解決實際問題的步驟

二、課題引入

教材P90

拓廣探索中有這樣一個問題：

把一根長7米的鋼管截成2米長和1米長兩種規格的鋼管，怎樣截不造成浪費？你有幾種不同的截法？

思考：如何用學過的數學知識去解決這個問題？

這就是我們今天要學習的內容-------二元一次方程方案設計

例1．為傳承中華文化，學習六藝技能，某中學組織初二年級學生到孔學堂研學旅行．已知大型客車每輛能坐60人，中型客車每輛能坐45人，現該校有初二年級學生375人．根據題目提供的信息解決下列問題：

(1)這次研學旅行需要大、中型客車各幾輛才能使每個學生上車都有座位，且每輛車正好坐滿？

(2)若大型客車租金為1500元/輛，中型客車租金為1200元/輛，請幫該校設計一種最劃算的租車方案．

變式練習：1.隨著奧運會成功召開，福娃系列商品也隨之熱銷．一天小林在商場看到一件奧運吉祥物的紀念品，標價為每件33元，他的身邊只帶有2元和5元兩種面值的人民幣各若干張，他買了一件這種商品．

若無需找零錢，則小林付款方式有哪幾種（指付出2元和5元錢的張數）？哪種付款方式付出的張數最少？

2．晴晴在某商店購買商品若干次(每次、兩種商品都購買)，其中第一、二兩次購買時，均按標價購買；第三次購買時，商品、同時打折，三次購買商品、的數量和費用如表所示：

購買商品的數量/個

購買商品的數量/個

購買總費用/元

第一次購物

6

5

980

第二次購物

3

7

940

第三次購物

9

8

912

（1）求商品、的標價；

（2）若商品、的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的？

（3）在（2）的條件下，若晴晴第四次購物共花去了480元，則晴晴有哪幾種購買方案？

三、二元一次方程組的方案優化

例2.一方有難八方支援，某市政府籌集了抗旱必需物資120噸打算運往災區，現有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設每輛車均滿載）

車型

甲

乙

丙

汽車運載量（噸/輛）

汽車運費（元/輛）

（1）若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？

（2）為了節約運費，該市政府可以調用甲、乙、丙三種車型參與運送，已知他們的總輛數為輛，你能通過列方程組的方法分別求出幾種車型的輛數嗎？

（3）求出哪種方案的運費最省？最省是多少元？

變式練習：為了豐富同學們的知識，拓展閱讀視野，學習圖書館購買了一些科技、文學、歷史等書籍，進行組合搭配成、、三種套型書籍，發放給各班級的圖書角供同學們閱讀，已知各套型的規格與價格如下表：

套型

套型

套型

規格（本/套）

12

9

7

價格（元/套）

200

150

120

（1）已知搭配、兩種套型書籍共15套，需購買書籍的花費是2120元，問、兩種套型各多少套？

（2）若圖書館用來搭配的書籍共有2100本，現將其搭配成、兩種套型書籍，這兩種套型的總價為30750元，求搭配后剩余多少本書？

（3）若圖書館用來搭配的書籍共有122本，現將其搭配成、、三種套型書籍共13套，且沒有剩余，請求出所有搭配的方案．

四、課堂小結：

篇（10）

在教學過程中，教師為了讓學生能夠從多角度、多層次、多方面理解某一知識點，可以將與這一知識點有關的各種變式列舉出來。由于題目的形式或背景發生了變化，賦予題目新的活力，能激發學生主動積極的思考問題，從不同的角度把握知識的內涵，讓他們在迷霧中仍能認清廬山真面目，從而培養了他們的觀察和分析能力。

例如，在學習配方法解一元二次方程時，有一類題型是要求判斷代數式的取值范圍。如證明 2x2－6x＋5的值恒大于零。教師示范該題的證明方法后，可以出以下的變式題：證明①－10y2＋5y－4；②a2＋4b2－a＋4b＋■的值是非負數；③不論x,y為什么實數，代數式x2 ＋y2＋2x－4y＋7的值（ ）。A.不小于2；B.不小于7；C.可以為任何實數；D.為負數。通過這樣的變式訓練，能使學生的解題思路開闊，思維靈活，而不是死死地拘泥于一種形式，能從多角度理解這一知識點，抓住問題的本質，加深對問題的理解，培養學生的知識遷移能力，提高學習的效率。

二、不同的題型，相同的解題思想方法，激發了學生的靈感

有時題目考查的知識不同，但所用的思想方法相同，說明了數學知識并不是孤立存在的，而是存在某些內在的聯系和規律。例如，在初中數學中，分類討論思想、轉化思想、數形結合思想等幾乎滲透于各個章節中，這是數學的精髓所在，教師在教學過程中需要滲透這些思想方法。而且教師應從整體把握數學知識，適當地對知識進行聯想與拓展，展示知識的豐富性，解題的靈活性、技巧性。這樣不僅激發了學生的學習興趣，而且提高了他們的分析與解決問題的能力，鍛煉了他們的思維能力。

如，已知線段AB＝10cm，M為AB的中點，AB所在的直線上有一點P，N為AP的中點，若MN＝1.5cm，求線段AP的長。教師可以要求學生先練習，估計許多學生都只會考慮點P在線段AB上的情形，而忽略點P也可能在AB的延長線上（不可能在BA的延長線上）。此時教師再點明遺漏之處，必定會讓學生茅塞頓開，收到事半功倍的效果。

如，一次函數y＝■x＋4分別交x軸、y軸于A、 B兩點，C為x軸上的一點，且ABC為等腰三角形，求點C的坐標。由于ABC為等腰三角形，學生們可能會考慮分類討論的思想方法，但是總有學生考慮不周全，出現差錯。教師可以點明其頂角可以是∠A、∠B、∠C，需要分三種情況，然后讓學生自己完成。

雖然是不同的題型，但是都需要用分類討論的思想方法來解決。兩道題目有一定的難度，在教師的引導下，學生會逐漸打開解題的思路，思維異常活躍，不斷產生新的靈感和想法，而問題的解決會使學生充滿了成就感、自豪感，增強他們學習數學的信心。

三、 逐步演變，形成梯度，讓學生在挑戰中拓展思維

由淺入深，由易到難，循序漸進，讓學生在挑戰中拓展思維，引導他們向知識的深度和廣度發展，從而正確地理解概念的內涵和外延，將不同的知識點有機地聯系起來，系統地掌握所學的知識。

篇（11）

一、學案的編寫

1.編寫的原則

學案是導學的載體，有什么樣的學案就有什么樣的課堂導學。理清教與學之間的關系，實現教為主導、學為主體的原則，努力給學生提供更多的自學、自問、自做、自練的方法和機會，要針對不同的對象編寫不同的學案，確保把學生放在主體地位。使學生真正成為學習的主人，增強對學習的興趣。

編寫學案的主要目的就是培養學生自主探究學習的能力。因此，學案的編寫要有利于學生進行探索學習，從而激活學生的思維，讓學生在問題的顯現和解決過程中體驗到成功的喜悅。

教學目標應體現教師對教育本質和目的的正確理解。好的教學目標是一種全新的知識觀，這種新的知識觀不是現成的真理和結論，而應是讓學生去發現真理和獲得結論的過程，使學生在發現真理和獲得結論的過程中培養創造力。學案的編寫應該服從學生身心發展的特點和實際需要，充分考慮和適應不同層次學生的實際能力和知識水平，使學案具有較大的彈性和適應性。

2.學案的內容

學案內容必須能使學生建立牢固的基本知識和基本技能。內容的編寫要緊扣教學目標，符合學生的認識層次，不能是知識點的單一重復。編寫學案時，要強調內容創新，以培養學生的創新思維能力。應當采用啟發式，使學生“跳跳摘桃子”，在獲取知識的過程中能發現各種知識之間的聯系，受到啟發，觸發聯想，產生遷移和連結，形成新的觀點和理論，達到認識上的飛躍。制定的目標，既要切實可行，又要使學生感到跳一下能摸得著。知識構成可以分成基本線索和基礎知識兩部分。線索是對一節課內容的高度概括，編寫時，它一般以填空的形式出現，讓學生在預習的過程中去完成。基礎知識是學案的核心部分，主要包括知識結構框架、基本知識點、教師的點撥和設疑、印證的材料等。

學案要清楚完整地反映一節課所要求掌握的知識點以及應培養的能力。學案上，要給學生留出記筆記和做小結的地方，以便學生寫自己的心得、體會和疑問，以利于學生的自我調節和提高。

二、學案教學的操作

教師在講課的前一天把學案發給學生，讓學生在課下預習。通過預習，使學生明確學習的目標、要學的內容、教師的授課意圖、教師要提的問題、自己不懂的地方以及聽課的重點等。學生帶著問題上課，可大大提高聽課的效率。學生在學習的過程中，教師進行適當的引導，不僅能使學生不斷的體驗成功，維持持久的學習動力，而且學生在教師的引導下，也能縮短獲取知識的時間，提高學習效率，從而培養探索問題的能力。在教學時，教師參照教案，按照學案授課。學生在教師指導下按照學案進行學與練。

三、學案范例

函數的零點學案

【預習要點及要求】

1.理解函數零點的概念。

2.會判定二次函數零點的個數。

3.會求函數的零點。

4.掌握函數零點的性質。

5.能結合二次函數圖象判斷一元二次方程式根存在性及根的個數。

6.理解函數零點與方程式根的關系。

7.會用零點性質解決實際問題。

【知識再現】

1.如何判一元二次方程式實根個數？

2.二次函數頂點坐標，對稱軸分別是什么？

【概念探究】

閱讀課本完成下列問題

1.已知函數， =0， ， >0。

叫做函數的零點。

2.請你寫出零點的定義。

3.如何求函數的零點？

4.函數的零點與圖像什么關系？

【例題解析】

1.閱讀課本完成例題。

例：求函數的零點，并畫出它的圖象。

2.由上例函數值大于0，小于0，等于0時自變量取值范圍分別是什么？

3.請思考求函數零點對作函數簡圖有什么作用？

【總結點撥】

對概念理解及對例題的解釋

1.不是所有函數都有零點

2.二次函數零點個數的判定轉化為二次方程實根的個數的判定。

3.函數零點有變量零點和不變量零點。

4.求三次函數零點，關鍵是正確的因式分解，作圖像可先由零點分析出函數值的正負變化情況，再適當取點作出圖像。

【例題講解】

例1.函數僅有一個零點，求實數的取值范圍。

例2.函數零點所在大致區間是（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

例3.關于的二次方程，若方程式有兩根，其中一根在區間內，另一根在（1，2）內，求的范圍。

【當堂練習】

1.下列函數中在[1，2]上有零點的是（ ）

A. B.

C. D.

2.若方程在（0，1）內恰有一個實根，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

3.函數，若，則在上零點的個數為（ ）

A.至多有一個 B.有一個或兩個 C.有且只有一個 D.一個也沒有

4.已知函數是R上的奇函數，其零點，……，則= 。

5.一次函數在[0，1]無零點，則取值范圍為 。

6.函數有兩個零點，且都大于2，求的取值范圍。

四、實施學案導學應注意的事項