緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇圓柱和圓錐的關系范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

第1題（本題為教材中的例題）：工地上有一些沙子，堆起來近似于一個圓錐，這堆沙子大約多少立方米？（得數保留兩位小數）

第2題：你會求圓錐的體積嗎？你是怎么知道的？

結果統計如下表。

■

根據前測信息，學生的學習起點簡析如下。

經驗起點：理解圓錐體積與底面積和高有關。在“不能正確列式計算”的學生中，兩班分別有一定比例的學生雖然不會正確列式計算，但能猜測圓錐體積是“底面積×高”，或認為是“底面積×高÷2”。

知識起點：圓錐體積計算方法的學習已不是本課最重要的目標。兩個班分別有78.3%和66.0%的學生已經會正確列式計算圓錐的體積，學習的途徑也很多，其中“預習學會”的幾乎占50%，說明學生已有較好的學習習慣。

認知起點：圓錐體積計算方法的探究過程需加強，需不斷豐富活動經驗。由于本課是在學習了圓柱的體積后進行的，部分學生受直觀定式的影響，對圓錐體積計算方法的猜測出現偏差。

二、教學對策

1.學生的學習起點是什么？

很顯然，如果僅以“使學生掌握圓錐體積的計算方法”作為本課的教學目標是不夠的。在學習圓錐體積計算方法的同時，需要創設有效環節幫助學生發展空間觀念。

2.怎樣幫助學生獲得豐富的操作經驗并理解知識？

需要組織行之有效的操作活動，讓每一位學生參與其中，經歷操作過程，積累操作經驗，從而獲得感悟。操作器材的選擇與提供尤為重要。

三、教學實踐

1.復習準備，直接揭題

2.切割猜想，初步溝通圓柱與圓錐的聯系

（1）如果要用木料加工（切削）成一個這樣的圓錐（課件出示），它的底面直徑是10厘米，高是15厘米。選擇怎樣形狀的木料加工最方便？

（2）為什么選擇圓柱形木料？你是怎么想的？

（3）這里有4個不同型號的圓柱形木料，選擇底面直徑和高分別是多少的圓柱形木料加工最方便？為什么？先獨立思考，再同桌交流。

■

（4）選擇第3個圓柱加工。猜測：這個圓錐的體積和圓柱有怎樣的關系？并說說你的想法。（課件出示：■）在這兩個容器中倒滿水，再猜測它們的體積有什么關系。

3.探究圓錐體積的計算方法

操作材料說明：同桌兩人合做。全班共提供24套學具。其中22套中有3組不同型號等底等高的圓柱、圓錐，還有1套等底不等高的圓柱、圓錐和1套等高不等底的圓柱、圓錐。

（1）引入：這個圓柱和圓錐，它們的體積有什么關系呢？你打算怎么做試驗？要注意什么？

（2）同桌合作，先思考準備怎么做，再動手試一試。

（3）反饋：你們小組是怎樣做試驗的？把你的過程和結果介紹給大家。

生1：把圓錐裝滿水后倒入圓柱中，一次又一次重復，重復倒了3次，正好把圓柱裝滿。以此說明圓錐體積是圓柱體積的■。

生2：在圓柱里灌滿水，然后倒進圓錐，圓錐里的水滿后，倒回桶里。再把圓柱中的水倒進圓錐，滿后再倒進桶里，再把圓柱里剩下的水倒進圓錐中，正好又倒滿。

師（追問）：倒了幾次？你得到什么結論？

生2：正好倒3次。說明圓柱體積是圓錐體積的3倍。

生3：先將圓柱灌滿水，圓錐不灌水，把圓錐輕輕地放入圓柱中，此時圓柱中的水會溢出來。再把圓錐輕輕地拿出來，這時圓柱中的水面會下降。用尺量出圓柱中空出部分的高，看看與圓柱的高有什么關系。

師（追問）：溢出的水就是什么？空出部分的高與圓柱的高有什么關系？

生3：溢出的水就是圓錐的體積?？粘霾糠值母呤菆A柱高的■。說明圓錐的體積就是圓柱的■。

生4：先把圓錐裝滿水，倒進圓柱里。然后用尺量出圓柱中水的高度，最后用量出的數據除以圓柱的高度。

師（追問）：你們倒了幾次？結果如何？

生4：只倒了1次。結果水面的高度正好是圓柱高度的■。

師（再次追問）：說明什么？

生4：圓錐的體積是圓柱體積的■。

生5：把圓錐裝滿水后，倒進圓柱中，用筆做個記號。然后再把圓錐裝滿水后倒進圓柱，再做個記號。我用尺量了一下，這兩個記號正好把圓柱的高平均分成三份。說明圓錐體積是圓柱的■。

生6：我們前面猜測圓錐的體積是圓柱的■。所以根據圓柱上標出來的線，倒■的水。

師（追問）：你是怎么知道是■的水？

生6（舉起試驗圓柱）：這上面有紅色刻度的，正好是在高的■處。

師（評價）：哦！你們小組做試驗的圓柱上有已經做好標記的紅線。你們能根據自己的猜測進行試驗，驗證了猜測是正確的。這種猜想、驗證的做法正是我們做學問的態度和方法。如果你一直用這種方法和態度進行學習，相信你會越來越出色的！

生7：我們組開始用圓錐灌滿水倒進圓柱里，感覺誤差大。就換了一種，把圓柱灌滿水，往圓錐里倒，剛剛好倒了3杯。說明圓柱體積是圓錐的3倍，也就是圓錐體積是圓柱體積的■。

師（評價）：真了不起！你們小組不但完成了試驗任務，得出了結論，而且發現了做試驗減少誤差的方法！

師（追問）：還有不同的發現嗎？

生8：我們的試驗結果和他們的不一樣。我們也是做倒水試驗，可是用圓錐裝滿水倒入圓柱，倒了4次多才倒滿。

生9（另有一組的學生）：我們才倒了2次半就倒滿了。（其他學生都靜下來）

師：請你們兩組把你們做試驗的圓柱、圓錐拿上來，當著大家的面再做一次。（這兩組學生當著全班學生的面又做了一次，結果仍然和原來相同。）

師：這是怎么回事呢？

生10（興奮地）：我知道啦?。ㄗ叩街v臺前，邊指邊說）他們這兩組的圓柱、圓錐和我們做試驗的不一樣。

師（追問）：什么不一樣？

生10：這個圓錐比圓柱矮，所以要倒4次多才能倒滿。這個圓錐的底比圓柱大，所以倒了2次半就倒滿了。（其余學生若有所思）

師：那你們做試驗的圓柱、圓錐之間有什么關系呢？請你們仔細觀察。（學生紛紛觀察自己小組做試驗的器材）

生10：我們做試驗的圓柱、圓錐的底是相等的，高也是相等的。

師：你們的發現和他的一樣嗎？

生：一樣！

師：底相等，高也相等，我們叫做等底等高。其他同學還有什么想說的呢？

生11：必須是等底等高的圓柱和圓錐，做試驗時，才正好倒3次。

師（小結）：只有等底等高的圓柱和圓錐，圓錐體積是圓柱體積的三分之一，圓柱體積是圓錐體積的3倍。

（4）課件演示試驗過程，并根據過程推導圓錐體積計算方法。V圓錐=■V圓柱=■Sh。

（5）計算如右圖所示圓錐的體積。

反饋時追問：3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？

引導：看著這個圓錐，先想像和它等底等高的圓柱的形狀，再用手比劃。（課件出示：■）

思考：削去了多少體積？你是怎么想的？根據這幅圖，你還想到什么？

4.練習鞏固

（1）課件出示：工地上有一些沙子，堆起來近似于一個圓錐，這堆沙子大約多少立方米？要計算這個沙堆的體積，需要知道哪些信息？結合生活實際想一想：底面半徑、直徑和周長，哪一個信息便于測量？為什么？（出示：底面周長是12.56米，高1.2米。反饋時追問：12.56÷3.14÷2和3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.2分別表示什么意思？）

（2）想一想，做一做。

出示：■已知圓錐的體積是56.52立方厘米，底面積是28.26平方厘米。它的高是多少厘米？

追問：56.52×3或56.52÷■表示什么意思？

課件演示一： ■

課件演示二：圓柱右移■

思考：圓柱與圓錐的體積有什么關系？如果要使它們的體積相等，并且保持原來的形狀，你有什么辦法？可以畫圖說明。

（3）觀察、猜想。

課件依次出示：■；■；……

思考：根據這節課的學習，你有什么猜想？

5.總結提升

四、反思

在教學過程中，學生的表現極其出色：操作到位、感悟深刻、回答精彩。這都得益于整堂課的設計都立足于學生已有的學習起點，真正做到尊重學生的需求。

1.立足學生的經驗起點

六年級的學生，他們已積累了一定的生活與活動經驗。因此在教學時要重視喚醒學生已有的經驗。

首先，喚醒學生的生活經驗。學生的生活經驗遷移到學習活動中，往往是一種直覺。這種直覺，可能是正確的，也可能是錯誤的，但不管如何，這些都是學生進一步學習的“土壤”，等待著知識“種子”的播撒。如在上課伊始，讓學生思考“如果要用木料加工（切削）成一個這樣的圓錐，它的底面直徑是10厘米，高是15厘米。選擇怎樣形狀的木料加工最方便？”學生根據生活經驗，馬上想到要用圓柱形的木料加工，因為它們的底都是圓的。這種根據兩個形體間基本特征的聯想，是多么可貴??！接著讓學生從提供的4個不同型號的圓柱木料中做出選擇，學生能在潛意識中關注它們的底面直徑與高的數值作出判斷，這是生活經驗的又一次提升，明確了“圓錐從哪里來”的問題。

其次，關注基本活動經驗的積累?；顒咏涷灳哂胁豢商娲浴６谌粘＝虒W中，我們往往容易犯“經驗替代”的過錯，造成了學生只知道圓錐體積的計算方法，而不會主動溝通圓柱與圓錐的聯系。為了避免這種現象，在上述課例中，我設計了讓學生同桌合作的環節。通過合作，學生反饋的信息異常豐富，概括起來有三個層次：（1）兩種常規的倒水法；（2）“排水法”和“量高法”；（3）操作方法的優化提升。學生通過操作發現，用圓柱容器往圓錐容器中倒水，比用圓錐容器往圓柱容器中倒水誤差小。這是多么可貴的發現??！試想，如果沒有實物操作，只讓學生看課件和看教師操作，他們能有這樣的體會和這些發現嗎？正因學生有如此豐富的經驗積累，才使圓錐體積的計算方法水到渠成！

2.立足學生的知識起點

“圓錐的體積”是學生在小學階段學習的最后一個形體，在此之前，學生已積累了較為豐富的知識經驗。尤其是經過長方體、正方體、圓柱體積的學習之后，學生對“柱體”的體積計算有了一定的認識，“底面積×高”的思想已逐漸樹立。但在會求圓錐體積的學生中有相當一部分只是記住了計算方法，而對為什么這樣算不清楚，也就是說學生公式推導過程的經驗幾乎為零。此外，由于圓柱與圓錐在形體上有一定的聯系（底面都是圓的），學生會很自覺地對這兩個形體進行溝通，尋求它們之間的聯系。因此在教學中，如何讓學生進一步深化這兩個形體之間的聯系顯得尤為重要，這也成為本課的一個重要的教學任務。如在學生嘗試列式計算圓錐的體積后追問：“3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？”他們會不自覺地想到與圓錐等底等高的圓柱的體積，并用手勢比劃出圓柱的形狀，從而初步感悟等底等高的圓柱與圓錐之間的體積關系。接著讓學生觀察■，從不同的角度分析圓柱、圓錐、削去部分的體積之間的關系，進一步深化了等底等高的圓柱與圓錐之間的體積關系。這些新知的獲得，都是立足于學生原有的知識基礎，是學生自主地生發出來的。

3. 立足學生的認知起點

學生的認知隨著年齡的增長而不斷豐富，他們的認知起點包括心理起點與思維起點。

篇（2）

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）35-033

教學片斷一：

師：請每組同學拿出圓柱和圓錐學具，先比一比圓柱和圓錐的底。

生：一樣大。

師：請大家再比一比它們的高，怎么樣？

生：一樣高。

師：下面，我們用等底等高的圓柱和圓錐做實驗，看看會發現什么樣的規律。

生1：我們組先向圓柱裝滿水，然后倒入圓錐中，倒三次后倒完，說明圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

師：應該說清楚什么樣的情況下圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

生1：等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

生2：我們組先給圓錐裝滿沙子，然后倒入圓柱中，倒三次就倒滿了，這說明圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

師：圓柱與圓錐的底和高怎么樣？說清楚了嗎？

生2：等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

師出示判斷題：圓錐體積是圓柱體積的三分之一。（全班一半學生判斷此題正確）

……

教學片斷二：

師：請同學們拿圓錐和圓柱學具，這節課我們就用圓錐和圓柱做實驗，看看能不能通過實驗發現圓錐和圓柱體積之間的關系。下面，我們開始分組做實驗。（生動手操作）

生1：我們組做了兩個實驗。第一個實驗：選擇兩個等底等高的圓柱和圓錐容器，先給圓柱裝滿水，然后倒入圓錐中，倒三次正好倒完，發現等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一；第二個實驗：選擇兩個不等底、不等高的圓柱和圓錐容器，方法和第一個實驗相同，最后發現不等底、不等高的圓錐體積是圓柱體積的七分之一。

生2：我們組做了三個實驗。第一個實驗：選擇兩個等底等高的圓柱和圓錐容器，先給圓錐裝滿沙子，然后倒入圓柱中，倒三次正好倒滿，發現等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一；第二個實驗：選擇底面積相等、高不相等的圓柱和圓錐容器，方法和第一個實驗相同，發現等底不等高的圓錐體積是圓柱體積的五分之一；第三個實驗：選擇底面積相等、高不相等的圓柱和圓錐容器，方法與前兩個實驗相同，發現等底不等高的圓錐體積是圓柱體積的四分之一。

師：各小組做了這么多的實驗，有相同的結論嗎？

生3：有，等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

師：不等底等高的圓柱體積和圓錐體積之間的關系，結論是五花八門，沒有一定的規律，所以只有等底等高的圓柱和圓錐體積才有以下關系：圓錐體積=圓柱體積×1 / 3。

師出示判斷題：圓錐體積是圓柱體積的三分之一。（全班學生判斷此題錯誤）

……

反思：

不同的教學理念，教學設計不一樣，其教學效果更是不同。如上述兩個教學片斷，筆者認為不同之處主要表現為以下兩個方面。

1.機械性操作和自主性操作

教學片斷一中，學生猶如機器，機械地執行教師發出的操作指令，實際上并不清楚為什么要用等底等高的圓柱和圓錐容器做實驗。這樣的實驗操作沒有思維含量，嚴重束縛了學生的操作自由，阻礙了學生的思維發展。教學片斷二中，教師敢于“該放手時就放手”，為學生提供自主實踐探究的機會，這樣學生的實驗活動是自由的，思維是發展的，目標是明確的。學生經歷了親身體驗，清晰的數學概念就形成了，教師在教學中就不用花大力氣、費口舌反復強調“等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一”。

篇（3）

根據以往的教學經驗，雖然我在課堂上反復強調計算圓錐的體積時不要忘記乘1/3，但“圓錐的體積”一課教學之后，還是有大部分學生容易忘記，究其原因是學生對圓錐體積公式的推導過程印象不深刻，總是容易遺忘圓錐與它等底等高的圓柱體積的關系。因此，重新教學此課，我多下工夫備課。常言道：“學貴有疑。”于是我精心設計教學，大膽創新，處處設疑，旨在激發學生的興趣，加深他們對圓錐和與它等底等高的圓柱體積之間關系的認識。

首先，動態設計，疑中求知。

課件出示：

（讓學生從中選擇一個合適的圓柱和圓錐一起研究它們體積之間的關系）

師：你能從這些圓柱和圓錐中，選擇一個合適的圓柱和圓錐一起來研究它們體積之間的關系嗎？（學生小手林立，興奮不已）

生1：我選中間一個圓柱。

師：為什么？

生1：因為圓錐的高和圓柱的高都一樣。

生2：因為它們等底等高。

師：也就是說，研究圓柱和圓錐體積之間的關系要有一個統一的標準，那就是等底等高。（板書：等底等高）

課件出示：估計一下，這個圓錐的體積是圓柱體積的幾分之幾？

書上例題是直接出示兩個等底等高的圓柱和圓錐，讓學生尋找圓柱和圓錐體積之間的關系，這樣教學固然可以，但學生對圓柱和圓錐體積之間的關系處于一種被動告知的狀態。這種被動接受知識的結果，顯而易見，就是學生為什么總容易忘記等底等高的圓柱和圓錐體積之間關系的原因了。所以，我決定把例題稍作改動，從學生的生活經驗出發，讓學生憑借自己的感覺先從圖中找出一個和圓錐相應的圓柱一起研究它們體積之間的關系，再引導學生說一說圓柱和圓錐體積之間的關系，使學生明白這里要做到公平就必須有一個前提——等底等高的圓柱和圓錐。這種讓學生自己通過觀察尋找出研究的圓柱和圓錐體積之間關系的前提條件的方法，學生對知識的掌握能不牢固嗎？這樣教學，還為學生繼續研究圓柱和圓錐體積之間的關系奠定了良好的基礎。

其次，巧設倒水，探索新知。

最近幾年，劉謙的魔術風靡全國，可以說是老少皆愛。那么，劉謙的魔術為什么會有如此大的魅力呢？細細想來，劉謙的魔術從開始表演到結束都是時時刻刻扣人心弦的，即使表演結束很長一段時間后還是那么讓人回味無窮、意猶未盡，激人想去探個究竟。我想，我們的課堂教學也應具有劉謙魔術的魅力，讓學生想深入探究所學知識。

所以，課堂教學中，我提供圓柱、圓錐、沙子等實驗用具，讓學生驗證這一組圓柱和圓錐（如下圖）是否等底等高。

師：現在我們就來驗證一下。做實驗時，為了減少誤差，我們一定要注意盡量不要把水撒到外面。

師：現在我給圓錐倒滿水，請你猜猜圓錐里的水倒進圓柱后，水位大概在圓柱的什么位置？

生：

師（第一次倒水）：現在請你看看，猜對了嗎？（學生一片歡呼，為自己猜對而高興）

師：我們接著給圓錐倒滿水后再往圓柱里倒，猜一猜，要幾次才能把圓柱倒滿？

生（異口同聲）：三次。

（師第二次演示將圓錐里的水往圓柱里倒，學生齊呼“兩次”，接著師又倒了一次水，學生齊呼“三次”，學生用熱烈的掌聲慶祝自己的猜測是正確的，臉上露出如獲至寶的笑容）

師：那么，通過剛才的驗證，你知道圓錐和它等底等高的圓柱體積之間有什么關系嗎？

生1：圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一。

生2：圓柱體積是和它等底等高的圓錐體積的三倍。

（師板書：圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的1/3）

師（總結）：通過剛才的實驗和總結，可以怎樣表示圓錐的體積？

生回答師板書：圓錐的體積＝底面積×高×1/3。

……

以往教學此課，教師總認為學生自己做實驗了，就一定能找出圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的1/3。其實不然，以前學生做實驗大多流于形式，只顧著操作，感覺好玩，并不是邊做邊思考。這里做實驗的目的是讓學生通過思考“圓錐和圓柱體積之間為什么是這樣的關系”的問題，使學生通過思考和探究，不僅“知其然”，而且“知其所以然”。為了讓實驗能吸引學生積極去思考，在探索等底等高圓柱和圓錐體積之間的關系時，我沒有讓學生親自動手實驗，而是設計了兩次猜測、三次倒水的環節來激發學生探究的欲望。“我猜得對不對？”“我的結果正確嗎？”“圓柱和圓錐體積之間到底有什么關系呢？”……通過對幾個不同問題的猜測，既營造了良好的課堂氛圍，又激發了學生的好奇心。學生的第一次猜測是不自信的，他們對自己的猜測是否正確持懷疑態度，但經過第一次倒水驗證之后，學生品嘗到成功的喜悅，從而增強自信心。我繼續引導學生進行猜測：“我們接著給圓錐倒滿水后再往圓柱里倒，猜一猜，要幾次才能把這個圓柱倒滿？”這時學生充滿自信地齊聲回答“三次”。接下來，我倒水進行驗證，更是給學生帶來獲取勝利的心理滿足。通過這樣一個驗證的過程，激發了學生濃厚的學習興趣和強烈的探究欲望，誰能說這節課學生對等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系沒有掌握呢？這才真正體現教師的主導作用和學生的主體作用相結合，有效培養了學生的自主探究能力。

再次，注重算法指導，創造高效課堂。

以往教學“圓錐的體積”這部分內容后，發現有一部分學生對等底等高的圓錐和圓柱體積之間是什么關系說得頭頭是道，但一落實到圓錐體積的計算中，十之八九忘記去乘三分之一。即使有些學生不忘記，但由于計算圓錐體積時不得方法，往往導致計算錯誤，做題正確率很低。針對上述現象，教學本節課時我注意以下幾點，力求讓學生在這些方面得到很好的彌補。

一、巧算鋪墊，埋下伏筆

口算：3．14×12×1/3＝

3．14×6×1/3＝

3．14×15×1/3＝

3．14×32×1/3＝

先讓學生口算并說一說是怎樣想的，師再引導學生進行總結：“計算的時候為了簡便，能約分的要先約分再計算?！?/p>

學生在計算時往往忽略了簡便算法，導致計算起來比較復雜，特別是含有3．14這樣復雜的小數計算時，更是學生在計算中跨不過去的一道坎。所以，課前復習時，教師要給學生適時滲透簡便計算的方法。如出示3．14×12×1/3讓學生口算并說一說自己是怎樣想的，引導學生尋找出先約分再計算的方法，從而降低計算的難度，為后面巧算圓錐的體積打好基礎。

二、算法滲透，構建課堂

教師在引導學生探索出等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系后，教學重點應轉移到算法指導上。所以，課堂中我是這樣做的。

1．試一試（大屏幕出示）

先讓學生讀題理解題意，找條件并說說怎樣求問題，再獨立列式。學生解題時教師注意算法指導，強調計算圓錐的體積應列綜合算式，先約分再計算，這樣可以降低計算難度，提高計算的正確率。

2．“練一練”第1題

請學生根據條件先求出底面積，再求體積，然后集體訂正。

底面積：2×2×3．14＝12．56

體積：12．56×6×1/3＝25．12

篇（4）

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-022 

數學學習是從感性認識開始的，所以在數學課堂中，教師應加強直觀演示的教學，引導學生對學習素材進行多層面、多角度、多維度的觀察、比較、選擇與歸納。下面，以“圓柱與圓錐”單元教學為例，談談如何通過直觀教學，培養學生的數學思維。 

一、操作，激發學生的思維 

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”課堂教學中，教師可通過動手操作，激活學生的思維，引導他們深入探究，真正理解所學知識。 

師：圓柱的體積計算公式是什么？ 

生1：圓柱的體積=底面積×高。 

師：我們是怎樣推導圓柱的體積計算公式的？ 

生2：我們把圓柱轉化成等底等高的長方體，通過長方體的體積計算公式推導出圓柱的體積計算公式。 

師：今天，我們探究圓錐的體積計算方法。猜一猜，圓錐的體積可以怎樣求？它與哪些條件有關？ 

生3：只要把圓柱上面的一個圓縮成點就變成了圓錐，說明圓錐的體積和圓柱是有聯系的。 

生4：可以把圓錐轉化成已經學過的立體圖形——圓柱，由于圓柱體積=底面積×高，那么圓錐的體積計算可能與它的底面積和高有關系。 

…… 

我國數學家徐利治曾說過：“直觀就是借助于經驗觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識。”教學“圓柱的體積”時，把圓柱的體積轉化成已學過的長方體體積，這樣能有效喚醒學生的學習潛能，使學生去觀察、反思、梳理，為后續推導圓錐的體積計算埋下伏筆。由圓柱體積的推導過程，學生能想到圓錐的體積是不是能轉化成已學過的立體圖形進行計算，這樣就會產生一種學習新知識的需求。學生由于生活經驗和認知水平的局限，更易于接受直觀的事物。因此，直觀演示更利于學生進行觀察、比較、分析和想象，并在此基礎上展開更加豐富多彩的直觀推理，進而洞察相關聯物體之間的聯系與區別，獲得必要的結論。 

二、實驗，促進學生的思維 

學生的感悟因經歷而豐富，視野因思維更拓展。因此，課堂教學中，教師應以實驗為媒介，促進學生的數學學習與數學活動有機融合。 

師（出示許多大小不等的圓柱和圓錐形容器）：你打算將圓柱與圓錐如何轉化？如果讓你在這么多的圓柱與圓錐中選擇兩個來探究，你打算選擇什么樣的圓柱和圓錐？說說你選擇的理由。 

生1：剛才把圓柱的一個底面縮成點就變成了圓錐，其中圓錐與圓柱的底面積相等，高也相等，所以應選擇底面積相等、高相等的圓柱和圓錐進行探究。 

師：為了便于我們研究圓錐體積，每個組都準備了一個圓柱和一個圓錐，比一比，它們有什么相同的地方？（生操作演示，如下圖） 

師：你發現了什么？底面積相等，高也相等，用數學語言來說就叫等底等高。既然圓錐與圓柱等底等高，能不能直接用圓柱的體積計算公式求出圓錐的體積呢？ 

生2：不行，把圓錐放入圓柱形容器中，發現圓錐比圓柱的體積小。 

師：這位同學真了不起。請你再猜一猜，圓錐與它等底等高的圓柱體積有什么樣的關系呢？ 

生3：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/2。 

師：還有其他的猜想嗎？  

生4：圓錐體積可能是它等底等高圓柱體積的1/3。 

師：有什么好辦法驗證自己的猜想是正確的呢？先在小組里交流，再做實驗驗證你的猜想。（生動手操作） 

師：誰來匯報一下？ 

生5：我選擇等底等高的圓錐和圓柱，發現把圓錐裝滿水倒入圓柱里，倒滿了三次，說明圓錐體積是它等底等高圓柱體積的1/3。 

師：其他組實驗的情況也和他們一樣嗎？ 

生：一樣。 

師（出示兩組大小不同的圓柱和圓錐，如下圖）：這兩組圓柱和圓錐，圓錐的體積還是圓柱體積的1/3嗎？為什么？ 

生6：這里的圓錐體積不是圓柱體積的1/3，因為它們不是等底等高。 

師：這說明了什么？ 

生7：不是任何一個圓錐的體積都是圓柱體積的1/3。  

師：什么樣的圓錐與圓柱體積才有1/3的關系呢？ 

生8：等底等高的圓錐和圓柱。 

…… 

數學抽象地反映了客觀世界。在數學學習過程中，學生由于受知識經驗和思維水平的限制，經常會遇到一些很難用語言解釋清楚的數學問題，這時候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學生提供形象的思考和表達的機會，幫助學生把頭腦里的數學事實外顯化。學生通過操作、實驗去驗證自己的想法是否正確，不知不覺中，學生的認識變得更豐富了，理解變得更深刻了，思維變得更靈活了，體驗變得更強烈了。這樣教學，順應了學生的思維發展，使他們真正掌握了解決問題的策略。 

三、觀察，發散學生的思維 

系統的發散訓練，能適當降低思維的難度，給學生的自主學習搭建一個“腳手架”，有利于學生內化數學思想方法，提升思維能力。 

例1 如右圖，正方形OABC的面積是10平方厘米，O是圓心，求圓的面積。 

由圖可知，正方形的面積就是r 2，圓的面積就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。 

例2 如右圖，正方形ABCD的面積是40平方厘米，求圓的面積。 

由于有了例1的鋪墊，學生能把例2轉化為例1——畫兩條與正方形鄰邊互相垂直的直徑（如右圖），這樣就把大正方形平均分成了四個小正方形，可以先求出每個小正方形的面積，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圓的面積，所以圓的面積πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。 

例3 如右圖，求大正方形、圓、小正方形的面積比。 

篇（5）

課堂實錄：

一、創設情境，引入問題

師：前面我們學習圓錐的認識時，曾經見過這個物體，是什么呀？（出示鉛錘）你們有辦法知道這個鉛錘的體積嗎？

生：用排水法。

教師演示排水法，學生觀察后闡述怎樣用排水法測量鉛錘的體積。

師：如果要測量一個類似圓錐形的小麥堆體積，怎么測量呢？也用排水法，可行嗎？

生：不可行。

師：說明排水法具有局限性，需要我們去尋找一種普遍的方法。這節課我們就一起來研究圓錐的體積。（板書課題：圓錐的體積）

設計意圖：提出問題，引發學生的認知需要，激發求知欲，為學生提供問題情境，引導學生自主探索，培養學生的自主探究能力。

二、舊知遷移，大膽猜想

師：請同學們回憶一下，我們已經學過哪些圖形的體積計算？

生：長方體、正方體、圓柱體。

師：用什么方法推導出它們的體積公式呢？

生：將新圖形進行轉化，再根據學過圖形的體積公式進行推導。

師：在外觀上，圓柱與圓錐有相似性。請大膽猜想一下，圓柱體積和圓錐體積會存在什么樣的關系？

生：我猜想它們應該有倍數關系吧？！

師：有了猜想，就要驗證，用什么方法驗證呢？

生：做實驗。

師：請同學們閱讀教科書第26頁，看看書上給我們推薦了什么實驗方法？

設計意圖：從已學知識中提取素材，用層層遞進的問答形式與學生平等對話，建立良好的互動關系，讓學生有思維的碰撞，引發疑問，大膽提出圓柱和圓錐體積關系的猜想，在猜想中交流，在交流中感悟，引發學生進一步探究的欲望。

三、實驗驗證，探索規律

1．明確任務，動手實驗。

學生分小組進行動手實驗，教師注意實驗學具的分發，同一標號的圓柱體與圓錐體等底等高，其他圓柱體和圓錐體不等底等高，或不等底也不等高（其中5個小組發同一號的等底等高圓柱和圓錐，其他小組3種情況的圓柱體和圓錐體都有）。

師：書中用什么方法驗證圓柱與圓錐體積之間的關系？

生：用倒沙或倒水的方法。

師：請同學們用準備好的沙、圓柱體和圓錐體學具動手實驗。

師：邊做實驗邊填寫實驗記錄單。

師：一共要做幾次實驗？

生：三次。

師：誰來讀第二欄的要求，觀察比較圓柱與圓錐的什么？

生：比較圓柱與圓錐的底面積與高。

師：為什么？

生：因為圓柱的體積與底面積和高有關。

師：分析得有道理。

師：第三欄實驗結果，把每次實驗得出的它們體積之間的關系記錄下來，開始實驗吧！

設計意圖：給學生提供實驗的空間，指導學生先對實驗問題進行分析，明確實驗步驟和方法，然后再對實驗結果進行記錄，培養學生良好的探究習慣，使學生真正成為學習的主人。

2．分析過程，得出結論。

師：哪個小組匯報一下你們的實驗過程和實驗結果？

生：我們小組是這樣做的，第一次：選用同號（1號圓錐體和1號圓柱體）并排放在一起，將直尺放在它們頂端，直尺是平的，說明等高，再將兩個圓底面對著疊在一起，剛好完全重合，說明等底，用圓錐體裝滿沙倒進圓柱體，倒了3次剛好將圓柱體倒滿。第二次：選用1號圓錐體和2號圓柱體并排放在一起，將直尺放在它們頂端，直尺是傾斜的，說明不等高，再將兩個圓底面對著疊在一起，沒有重合，說明不等底，用圓錐體裝滿沙倒進圓柱體，倒了9次才倒滿。第三次：選用1號圓錐體和3號圓柱體，通過比較后，發現不等底等高，用圓錐體裝滿沙倒進圓柱體，倒了7次才倒滿。

學生展示實驗記錄單。

實驗記錄單：

師：我們再聽一聽其他小組的實驗情況。

生：我們小組用的全是等底等高的圓柱體和圓錐體，做了3次實驗，用圓錐裝滿沙倒進圓柱剛好三次就倒滿，得出圓柱體積是圓錐體積的3倍，也就是說圓錐體積是圓柱體積的■。（其他4個小組相繼附和）

師：圓錐體積要是圓柱體積的■，必須在什么條件下？

生：等底等高。

師：看來大家的猜想是對的，圓錐的體積與圓柱的體積有關，當它們等底等高時，圓柱與圓錐的體積是3倍關系。

（板書：等底等高 V錐=■V柱 猜想驗證）

設計意圖：學生在動手實驗中發現規律，在小組中充分交流，經歷思維的碰撞，用自己的語言闡述探究的規律，體驗發現規律的快樂，使學生獲得學習的成就感，讓平淡無奇的課堂變得更具誘惑力。

3．分析結論，理解公式。

師：大家找出了圓柱與圓錐體積之間的關系，怎樣推導出圓錐的體積計算公式呢？

生：圓柱體積等于底面積乘高，可推導出圓錐體積等于底面積乘高乘■。

（板書：V錐=■V柱=■sh）

師：真不錯，將學過的知識加以遷移，老師也做了實驗，一起來看一下。（課件演示實驗過程）

師：這個公式中，s和h各指什么？

生1：s指圓柱體的底面積，h指圓柱體的高。

生2：不同意。s指圓錐體的底面積，h指圓錐體的高。

追問：為什么？

師：公式中sh的積又指什么呢？

生：sh的積就是與圓錐等底等高的圓柱的體積。

師：為什么要乘■？

生：因為等底等高的圓錐體積是圓柱體積的■。

（板書：V錐=■V柱=■sh=■πr2■h 猜想驗證應用）

設計意圖：大膽放手，讓學生自主探索圓錐體積公式推導，經歷“再創造”的過程，對規律進行很好的內化。通過觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等活動，水到渠成地發現等底等高的圓柱與圓錐體積間的關系，進而推導出圓錐體積計算公式。在探索的過程中獲得學習體驗，始終讓學生成為探索者、研究者、發現者，感受成功的愉悅。

四、多層練習，鞏固深化

1．鞏固應用。

師：我們找到了普遍方法。現在能不能計算鉛錘的體積了？誰來說說計算鉛錘的體積，需要測量出哪些數據？

生：底面半徑和高。

老師給你們提供三組條件，一起來看一下，請從中任選一組條件進行計算，行嗎？

①底面半徑4厘米，高6厘米。

②底面直徑8厘米，高6厘米。

③底面周長25.12厘米，高6厘米。

指名一學生板演。

2．學以致用。

打谷場上有一個近似圓錐的小麥堆，測得底面直徑是4米，高1.2米。每立方米小麥約重735千克，這堆小麥約有多少千克？

3.拓展延伸，深化練習。

有一根底面積是6厘米，長是15厘米的圓柱形鋼材，要把它削成最大的圓錐形零件，削去的鋼材有多少立方厘米？

學生自己解答。

設計意圖：多層練習，鞏固深化新知的理解。引導學生感受從猜想—驗證—應用—解決生活實際問題的過程，逐一深化鞏固新知識的同時，增加了數學與生活之間的聯系，使數學生活化，讓學生感受到數學的實用性。

五、整理圈點，課堂總結

師：老師拿了一支紅筆，如果要在黑板上圈出重點，第一應圈什么？

生：圈等底等高，因為沒有等底等高這個前提條件，公式就沒法推出來。

師：好，圈起來，第二圈誰？

生：圈體積公式：V錐=■V柱=■sh=■πr2h。

師：很好，再圈起來。

師：回顧本節課，從發現問題猜想驗證應用解決問題，經過了整個過程的探索，解決了我們未知的問題。其實在生活中，當同學們遇到問題時，也可以用這樣的方法去解決。

篇（6）

（一）知識教學點

1．使學生了解圓柱的特征，了解圓柱的側面、底面、高、軸、母線、過軸的截面等概念，了解圓柱的側面展開圖是矩形．

2．使學生會計算圓柱的側面積或全面積．

（二）能力訓練點

1．通過圓柱形成過程的教學，培養學生觀察能力、抽象思維能力和概括能力；

2．通過圓柱側面積的計算，培養學生正確、迅速的運算能力；

3．通過實際問題的教學，培養學生空間想象能力，從實際問題中抽象出數學模型的能

力．

（三）德育滲透點

1．通過圓柱的實物觀察及有關概念的歸納向學生滲透“真知產生于實踐”的觀點；

2．通過應用圓柱展開圖進行計算，解決實際問題，向學生滲透理論聯系實際的觀點；

3．通過圓柱側面展開圖的教學，向學生滲透化曲面為平面，化立體圖形為平面圖形的“轉化”的觀點；

4．通過圓柱軸截面的教學，向學生滲透“抓主要矛盾、抓本質”的矛盾論的觀點．

（四）美育滲透點

通過學習新知，使學生領略主體圖形美與平面圖形美的聯系，提高學生對美的認識層次．

重點·難點·疑點及解決辦法

1．重點：（1）圓柱的形成手段和圓柱的軸、母線、高等概念及其特征；

（2）會用展開圖的面積公式計算圓柱的側面積和全面積．

2．難點：對側面積計算的理解．

3．疑點及解決方法：學生對圓柱側面展開圖的長為什么是底面圓的周長有疑慮，為此教學時用模型展開，加強直觀性教學．

教學步驟

（一）明確目標

在小學，大家已學過圓柱，在生活中我們也常常遇到圓柱形的物體，涉及到圓柱形物體的側面積和全面積的計算問題如何計算呢？這就是今天“7．21圓柱的側面展開圖”要研究的內容。

（二）整體感知

圓柱是生產、生活實際中常遇到的幾何體，它是怎樣形成的，如何計算它的表面積？為了回答上述問題，首先在小學已具有直觀感知的基礎上，用矩形旋轉、運動的觀點給出圓柱體有關的一系列概念，然后利用圓柱的模型將它的側面展開，使學生認識到圓柱的側面展開圖是一個矩形，并能將這矩形的長與寬跟圓柱的高（或母線）、底面圓半徑找到相互轉化的對應關系．最后應用對應關系和面積公式進行計算．

〔三〕教學過程

（幻燈展示生活中常遇的圓柱形物體，如：油桶、鉛筆、圓形柱子等），前面展示的物體都是圓柱．在小學，大家已學過圓柱，哪位同學能說出圓柱有哪些特征？（安排舉手的學生回答：圓柱的兩個底面都是圓面，這兩個圓相等，側面是曲面．）

（教師演示模型并講解）：大家觀察矩形ABCD，繞直線AB旋轉一周得到的圖形是什么？（安排中下生回答：圓柱）．大家再觀察，圓柱的上、下底是由矩形的哪些線段旋轉而成的？（安排中下生回答：上底是以A為圓心，AD旋轉而成的，下底是以B為圓心，BC旋轉而成的．）上、下底面圓為什么相等？（安排中下生回答：因矩形對邊相等，所以上、下底半徑相等，所以上、下底面圓相等．）大家再觀察，圓柱的側面是矩形ABCD的哪條線段旋轉而成的？（安排中下生回答：側面由DC旋轉而成的．）

矩形ABCD繞直線AB旋轉一周，直線用叫做圓柱的軸，CD叫做圓柱的母線．圓柱側面上平行于軸的線段都叫做圓柱的母線．矩形的另一組對邊AD、BC是上、下底面的半徑。

圓柱一個底面上任意一點到另一底面的垂線段叫做圓柱的高，哪位同學發現圓柱的母線與高有什么數量關系？（安排中下生回答：相等．）哪位同學發現圓柱上、下底面圓有什么位置關系？（安排中下生回答：平行）A、B是兩底面的圓心，直線AB是軸．哪位同學能敘述圓柱的軸的這一條性質？（安排中等生回答：圓柱的軸通過上、下底面的圓心）哪位同學能按軸、母線、底面的順序歸納有關圓柱的性質？（安排中上學生回答：圓柱的軸通過上、下底面的圓心，且垂直于上、下底，圓柱的母線平行于軸且長都相等，等于圓柱的高，圓柱的底面圓平行且相等．）

（教師邊演示模型，邊啟發提問）：現在我把圓柱的側面沿它的一條母線剪開，展在一個平面上，觀察這個側面展開圖是什么圖形？（安排中下生回答，短形）這個圓柱展開圖——矩形的兩邊分別是圓柱中的什么線段？（安排中下生回答：一邊是圓柱的母線，一邊是圓柱底面圓的周長）．大家想想矩形面積公式是什么？哪位同學能歸納圓柱的面積公式？（安排中下生回答：底面圓周長×圓柱母線）大家知道圓柱的母線與高相等，所以圓柱的面積公式還可怎樣表示？（安排中下生回答：）

幻燈展示［例1］如圖，把一個圓柱形木塊沿它的軸剖開，得矩形ABCD．已知，求這個圓柱形木塊的表面積（精確到）．

矩形的AD邊是圓柱底面圓的什么？（安排中下生回答：直徑．）題目中的哪句話暗示了AD是直徑？（安排中上生回答：第一句，“把一個圓柱形木塊沿它的軸剖開，得矩形ABCD”．因圓柱軸過底面圓的圓心，矩形過軸則意味AD過底面圓圓心，所以AD是圓柱底面圓直徑．）cm是告訴了圓柱的什么線段等于30cm？（安排中下生回答：圓柱的高等于30cm）什么是圓柱的表面積？哪位同學知道？（安排中上生回答：圓柱側面積與兩底面圓面積的和．）同學們請完成這道應用題．（安排一中上生上黑板做題，其余在練習本做）

解：AD是圓柱底面的直徑，AB是圓柱母線，設圓柱的表面積為S，則

答：這個圓柱形木塊的表面積約為．

幻燈展示［例2］用一張面積為的正方形硬紙片圍成一個圓柱的側面，求這個圓柱的底面直徑（精確到0.1cm）．

請同學們任拿一正方形紙片圍圍看．哪位同學發現正方形相鄰兩邊，一邊是圓柱的什么線段，另一邊是圓柱底面圓的什么？（安排中下生回答：一邊是母線，另一邊是底面圓周長．）

此題要求的是底面圓直徑，所以只要求出正方形的什么即可？（安排中下生回答：邊長．）邊長可求嗎：（安排中下生回答：可求，因為已知中給了正方形的面積．）

請同學們完成此題．（安排一中等生上黑板完成，其余在練習本上完成）

解：設正方形邊長為x，圓柱底面直徑為d．

則，依題意（cm）

答：這個圓柱的底面的直徑約為9.6cm．

（四）總結、擴展

本節課學習了圓柱的形成、圓柱的概念、圓柱的性質、圓柱的側面展開圖及其面積計算．

然后按總結順序；依次提問學生，此過程應重點提問中下生．

布置作業

教材P．187練習1、2；P．192中2、3、4。

九、板書設計

2．難點：準確進行圓錐有關數據與展開圖有關數據的轉化．

3．疑點及解決方法：由于學生空間想象能力較弱，對圓錐的側面展開圖是扇形，用扇形一定可以圍成一個圓錐的側面有疑惑，為此安排學生課前或課上或課下自己動手剪剪看或圍圍看，通過實踐解決疑點．

教學步驟

（一）明確目標

在小學，同學們除了學習圓柱之外還學習了一個幾何體——圓錐，在生活中我們也常常遇到圓錐形的物體，涉及到這些物體表面積的計算．這些圓錐形物體的表面積是怎樣計算出來的？這就是本節課“7．21圓錐的側面展開圖”所要研究的內容．

（二）整體感如

和圓柱一樣，圓錐也是日常生活或實踐活動中常見物體，在學生學過圓柱的有關計算后，進一步學習圓錐的有關計算，不僅對培養學生的空間觀念有好處，而且能使學生體會到用平面幾何知識可以解決立體圖形的計算，為學習立體幾何打基礎．

圓錐的側面展開圖不僅用于圓錐表面積的計算，而且在生產中常用于畫圖下料上，因此圓錐側面展開圖是本課的重點．

本課首先在小學已具有圓錐直觀感知的基礎上，用直角三角形旋轉運動的觀點給出圓錐的一系列概念，然后利用圓錐的模型，把其側面展開，使學生認識到圓錐的側面展開圖是一個扇形，并能將圓錐的有關元素與展開圖扇形的有關元素進行相互間的轉化，最后應用圓錐及其側面展開圖之間對應關系進行計算．

（三）教學過程

［幻燈展示生活中常遇的圓錐形物體，如：鉛錘、糧堆、煙囪帽］前面屏幕上展示的物體都是什么幾何體？［安排回憶起的學生回答：圓錐］在小學我們已學過圓錐，哪位同學能說出圓錐有哪些特征？安排舉手的學生回答：圓錐是由一個底面和一個側面圍成的，圓錐的底面是一個圓，側面是一個曲面，從圓錐的頂點到底面圓的距離是圓錐的高。

［教師邊演示模型，邊講解］：大家觀察Rt，繞直線SO旋轉一周得到的圖形是什么？［安排中下生回答：圓錐．］大家觀察圓錐的底面，它是Rt的哪條邊旋轉而成的？［安排中下生回答：OA］圓錐的側面是Rt的什么邊旋轉而得的？［安排中下生回答，斜邊］，因圓錐是Rt繞直線SO旋轉一周得到的，與圓柱相類似，直線SO應叫做圓錐的什么？［安排中下生回答：軸．］大家觀察圓錐的軸SO應具有什么性質？［安排學生稍加討論，舉手發言：圓錐的軸過底面圓的圓心，且與底面圓垂直，軸上連接圓錐頂點與底面圓心的線段就是圓錐的高．］圓錐的側面是Rt的斜邊繞直線SO旋轉一周得到的，同圓柱相類似，斜邊SA應叫做圓錐的什么？［安排中下生回答：母線．］給一圓錐，如何找到它的母線？［安排中上生回答：連結圓錐頂點與底面圓任意一點的線段都是母線．］圓錐的母線應具有什么性質？［安排中下生回答：圓錐的母線長都相等．］

［教師邊演示模型，邊啟發提問］：現在我把這圓錐的側面沿它的一條母線剪開，展在一個平面上，哪位同學發現這個展開圖是什么圖形？［安排中下生回答：扇形．］請同學們仔細觀察：并回答：1．圓錐展示圖——扇形的弧長l等于圓錐底面圓的什么？扇形的半徑其實是圓錐的什么線段？［安排中下生回答：扇形的弧長是底面圓的周長，即，扇形的半徑。就是圓錐的母線］由于，圓錐半徑已知則展開圖扇形的弧長已知，圓錐母線已知則展開圖扇形的半徑已知，因此展開圖扇形的面積可求，而這個扇形的面積實質就是圓錐的側面積，因此圓錐的側面積也就可求．當然展開圖扇形的圓心角也可求．

［教師邊演示模型，邊啟發提問］：如圖，現在將圓錐沿著它的軸剖開，哪位同學回答，經過軸的剖面是一個什么圖形？［安排中下生回答：等腰三角形．］這個等腰三角形的腰與底分別是圓錐的什么？［安排中下生回答：腰是圓錐的母線，底是圓錐的直徑．這個等腰三角形的高也就是圓錐的什么？［安排中下生回答：高］．這個經過軸的剖面，我們稱之謂“軸截面”，在軸截面里包含了有關圓錐的所有元素：軸、高、母線，底面圓半徑．這個等腰三角形的頂角，我們稱之謂“錐角”，大家不難發現圓錐的母線、高、底面圓半徑及

錐角構成了一個直角三角形，它給定旋轉一周得圓錐的那個直角三角形，當然給定半徑、母線；圓錐側面展開圖——扇形的面積、圓心角可求、因此可以說有關圓錐的計算問題，其實質就是解這個直角三角形的問題．

幻燈展示例題：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長50cm，（1）計算這個展開圖的圓心角及面積；（2）畫出它的展開圖．

要計算展開圖的面積，哪位同學知道展開圖扇形的弧長是圓錐底面圓的什么？［安排中下生回答：周長．［展開圖形的半徑是圓錐的什么？［安排中下生回答：母線．］

請同學們計算這個展開圖的面積．［安排一中等生上黑板完成，其余學生在練習本上做．］

解：圓錐底面圓直徑80cm，底面圓周長cm，又母線長50cm展開圖扇形的半徑50cm，弧長cm。

哪位同學到前面計算一下這個扇形的圓心角？［安排一名中下生上前，其余在練習本上做］

解：且，，（度）。

同學討論一下這個扇形怎樣畫？［安排一中上學生回答：首先畫一個半徑為50cm的圓S．然后用量角器作出72°的圓心角，則為弧的扇形，r就是所要畫的展開圖．］

幻燈展開例題：圖中所示是一圓錐形的零件經過軸的剖面，它的腰長等于圓錐的母線長，底邊長等于圓錐底面的直徑，按圖中標明的尺寸（單位mm），求：

（1）圓錐形零件的母線長l；

（2）錐角（即等腰三角形的頂角）；

（3）零件的表面積．

圖中給出等腰三角形的哪些尺寸？［安排中下生回答：高40，底邊長34］哪位同學會計算圓錐形零件的母線長l？［安排一中等生上黑板，其余同學練習本上做］［答案：mm］錐角打算如何求？［安排一中等生回答：解Rt求出，的對邊DB，鄰邊SD已知選的正切．］請同學們求出．［安排一中等生上黑板，其余在練習本上做］，［答案：］

零件的表面積等于什么？［安排中下生回答：圓錐的側面積加上底面圓面積．］計算圓錐側面積所需條件已具備了嗎？計算底面圓面積所需條件呢？［安排中下生回答，］

請同學們把表面積求出來．［］

（四）總結、擴展

請同學們回顧一下，本堂課我們學了些什么知識？［可安排中下生相互補充完整：1．圓錐的特征；2．圓錐的形成及有關概念；3．圓錐的展示圖；4．圓錐的軸截面。］

布置作業

教材P．191：練習1、2；P．193中5、6、7、8。

板書設計

第二課時

素質教育目標

（一）知識教育點

1．使學生了解圓錐的特征，了解圓錐的側面、底面、高、軸、母線、過軸的截面等概念，了解圓錐的側面展開圖是扇形。

2．使學生會計算圓錐的側面積或全面積。

（二）能力訓練點

1．通過圓錐的形成過程的教學，培養學生觀察能力、抽象思維能力和概括能力；

2．通過圓錐的面積計算，培養學生正確迅速的運算能力；

3．通過實際問題的教學，培養學生空間想象能力，從實際問題中抽象出數學模型的能

力．

（三）德育滲透點

1．通過圓錐的實物觀察及有關概念的歸納向學生滲透“實踐出真知”的觀念；

2．通過應用圓錐展示圖的計算解決實際問題，向學生滲透理論聯系實際的觀點；

3．通過圓錐側面展示圖的教學，向學生滲透化曲面為平面，化立體圖形為平面圖形的“轉化”的觀點；

4．通過圓錐軸截面的教學，向學生滲透“抓主要矛盾，抓本質”的矛盾論的觀點．

（四）美育滲透點

通過學習新知，使學生進一步完整對幾何美的認識，提高美育層次．

篇（7）

生：它們的底和高都相等。

師：同學們準備了沙子或米，請同學們自己動手試一試，你能不能利用這些工具來得出圓錐的體積與圓柱的體積之間的關系？

（小組活動）

師：同學們研究得特別認真，你們有什么發現嗎？圓柱的體積和圓錐的體積有什么關系？

生1：我發現圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

師：你是怎么發現的？

生1：我們把圓錐里面裝滿沙子倒在圓柱里面，倒三次才能倒滿，說明，圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

師：這是什么樣的圓柱和圓錐？

生1：空的。

生2：等底等高的。

師（興高采烈的）：說得好，這是等底等高的圓柱和圓錐，雖再說說他們體積的關系？

生3：圓柱和圓錐等底等高，圓柱的體積是圓錐的3倍。

生4：等底等高的圓柱的體積是圓錐的3倍。

師：別的小組也是這樣嗎？

生（異口同聲地）：是。

……

評析：

改變學習方式是本次課程改革的核心，探究性學習作為新課程所倡導的學習方式，非常有利于挖掘學生的潛能，培養學生的創新意識和實踐能力。然而，上面的探究，卻大打了折扣，存在著幾個明顯問題。

1.目標不明。

探究性學習一般包括提出問題、確定策略、展開探究、交流結果幾個過程。而在上面的片斷中，問題的提出和確定策略兩個環節全部省略。學生沒有經過思索，只是稀里糊涂地按照老師的要求去操作，至于為什么這樣做，學生根本不清楚。目標不明，導致了學生興趣不濃，思維也根本沒有被激活，整個探究的過程中學生只充當了被動的操作工。如果教學時先提出問題：探索圓錐的體積。在老師的啟發引導下，學生們一定能夠從形狀的相似上發現圓錐和圓柱的關系最密切，可以借助圓柱來推導圓錐的體積公式。然后，讓小組設計、交流研究方案，小組選擇比較簡便的操作方法展開探究。這樣，學生的探究欲望會是多么強烈，探究的方法該是多么豐富多彩。

2. 空間太小。

探索的路總是充滿艱辛的，正因為如此，探究的過程才更有魅力?？墒?，本節課的探究卻是格外的一帆風順，原因在于空間太小。等底等高的空心圓柱和圓錐，學生只需要裝裝沙子，就可以一下子發現教師需要的結果，沒有一點波折，在學生的心里也就激不起什么波瀾，狹窄的探究空間，還使得結論中的關鍵因素“等底等高”沒能引起學生的主意，是在老師的追問、強調中學生才意識到的。其實探究中，老師可以選擇一些非等底等高圓錐和的圓柱，這樣，有的小組一定能得到3倍的結論，而有的小組一定是得不出3倍結論的：或許是圓錐和的圓柱的體積一樣多，或許是4倍、5倍關系。在這種情況下，讓學生觀察實驗所使用的工具，在分析比較、互動交流中學生恍然大悟：只有當圓錐和圓柱等底等高時，他們的體積關系才會出現三分之一（或者3倍）的關系。這樣的設計，學生的思維才能在廣闊的空間內自由馳騁，碰撞出智慧的火花，不僅發現規律，還能積累探究的經驗，體驗創造的樂趣，促進三維目標的有效達成。

3.沒有適時的評價。

篇（8）

1.提出問題 鼓勵猜想

因為學生已認識了圓柱和圓錐，并學會了計算圓柱的體積，所以教師直接出示一組圓柱和圓錐模型，通過現場測量知道它們的底面直徑都是厘米，高都是15厘米，于是歸納出它們之間的關系是“等底等高”關系。接著由學生算出圓柱體積是3.14×（10÷2）2×15=1177.5（立方厘米）≈1200（立方厘米）。那么圓錐的體積又是多少呢？教師提出挑戰性問題，鼓勵學生大膽猜想。同學們情緒高漲，都爭先恐后地發表自己的意見。

生1：我認為圓錐體積肯定小于1200立方厘米。因為它們的底面積相等，高又相等。現在圓錐上端被削成了尖的，減少了很多體積，所以圓錐體積肯定小于等底等高的圓柱體積。估計一下：大概削去了原來體積的一半，我猜是600立方厘米左右。

生2：我同意上面的觀點，但我估計削去的比一半少，圓錐體積可能有700立方厘米。

生3：我認為削去的比一半多，圓錐體積大約是500方厘米左右。

生4：我認為圓錐體積只有400立方厘米左右。

……

學生七嘴八舌，各抒己見。教師做了統計，全班52人中，認為圓錐體積大于等底等高圓柱體積一半的僅2人，約等于一半的有3人，小于一半的有47人，其中猜想圓錐體積約400立方厘米的有30人。他們中有的已在課前預習課本，有的是在猜想時“偷”看書。這是件大好事，因為課堂教學環境緊逼學生產生了強烈的學習愿望，主動求知已成為學生的內需，他們迫切需要得到正確的結論。

2.實驗驗證 挑戰論證

教師分別揭去兩個模型的各一個底蓋，使兩個模型成為一組量筒，然后提供水一盆，由兩名學生進行實驗。證實課本上得結論是正確的：等底等高的圓柱體積是圓錐的3倍，或者說圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的1/3。

當一場風波平息，學生的學習愿望剛得到滿足時，教師卻又提出了新的挑戰性問題：出示一組鐵制的圓柱和圓錐模型，并現場量得它們的底面直徑均為4厘米，高為6厘米。它們的體積是否還是1/3關系，又該如何驗證呢？

生5：我認為仍是1/3關系，可以通過“稱”的方法來證明，因為同種原材料做成的兩個物體，如果它們的體積是1/3關系，重量一定是3倍關系。于是教師提供案秤一臺，由他來協助完成實驗任務。先稱得圓柱約重588克，然后教師鼓勵學生先猜一猜“圓錐重量約是多少克？”當學生猜出是196克并說明理由后，再稱出重量驗證猜想正確，從而再次證明等底等高的圓柱和圓錐體積確實是3倍關系。

篇（9）

第1課時

面的旋轉

教學內容：六年級下冊第一單元P2內容

教學目標：

知識與能力：通過初步認識圓柱和圓錐使學生感受到數學與生活的密切聯系。

過程與方法：通過觀察和動手操作等，初步體會“點、線、面、體”之間的關系，發展空間觀念。

情感態度和價值觀：通過由面旋轉成體的過程，認識圓柱和圓錐，了解圓柱和圓錐的基本特征，知道圓柱和圓錐的各部分名稱。

教學重點：

1、聯系生活，在生活中辨認圓柱和圓錐體的物體，并能抽象出幾何圖形的形狀來。

2、通過觀察，初步了解圓柱和圓錐的組成及其特點。

教學難點：通過觀察，初步了解圓柱和圓錐的組成及其特點。

教學用具：各種面、圓柱和圓錐模型

教

法：引導法

學

法：自主探究

教學過程：

一、活動一

如圖：將自行車后輪架支起，在后車車條上系上彩帶。轉動后車輪，觀察并思考彩帶隨著車輪轉動后形成的圖形是什么？

學生根據發現的現象（彩帶隨著車輪的轉動形成了圓）說明自己的想法，并體驗：點動成線

二、活動二

觀察下面各圖，你發現了什么？

學生發現：

風箏的每一個接連起來看，形成了一個長方形；雨刷器掃過后形成一個半圓形，旋轉門轉動后形成圓柱。

學生體驗：線動成面

三、活動三

如圖：用紙片和小棒做成下面的小旗，快速的旋轉小棒，觀察并想象旋轉后形成的圖形，再連一連。

1、學生實際動手操作，然后根據想象的圖形連線。

1——1（圓柱）

2——3（球）

3——4（圓錐）

4——2（圓臺）

2、介紹：圓柱、圓錐、球的名稱。并請學生根據自己的觀察介紹一下這幾個立體圖形的特點。指名學生說。

小結：我們學過的長方體、正方體都是由平面圍成的立體圖形，今天我們學習的圓柱、圓錐和球也是立體圖形，只是與長方體、正方體不同，圍成的圖形上可能有曲面。

四、找一找

請你找一找我們學過的立體圖形

五、說一說

圓柱與圓錐有什么特點？（小組的同學互相說一說）

圓柱：有兩個面是大小相同的圓，有另一個面是曲面。

圓錐：它是由一個圓和一個曲面組成的。

六、認一認

圓柱的上下兩個面叫做底面，它們是完全相同的兩個圓。圓柱有一個曲面，叫做側面。圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

圓錐的底面是一個圓。圓錐的側面是一個曲面。從圓錐頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。(教師畫出平面圖進行講解。并在圖上標出各部分的名稱。)

七、練一練

1、找一找，下圖中哪些部分的形狀是圓柱或者圓錐？再和同學們說一說生活中哪些物體的形狀是圓柱或者圓錐。

2、下面圖形中是圓柱或圓錐的在括號里寫出圖形的名稱，并標出底面的直徑和高。

篇（10）

中圖分類號：G623 文獻標識碼：A

深度學習是相對于淺層學習所提出的一個概念，是一種基于理解的學習，它強調學習者要批叛地學習新知識，把它們納入原有的認知結構，從而幫助決策，解決問題。深度學習鼓勵學生積極地探索、反思和創造。與淺層學習相比，它凸顯了學生由被動學習向主動學習的轉化，關注了學生發現問題，提出問題，分析問題，解決問題的能力。下面，結合《圓錐的體積》一課的教學，談談教師如何引導學生進行深度學習。

1激發學生主動探究的欲望

贊可夫說過：“單純地聽教師講解，不能調動學生學習的精神力量?！苯處煹闹鲗ё饔镁驮谟诩ぐl他們的學習熱情，促使其積極主動地探索知識。所以，上課伊始，教師可以利用新舊知識的連接點激發學生對圓錐體積探索的興趣：（1）讓學生說說長方體、正方體、圓柱體積的計算方法。因這三個物體的體積都可以用底面積乘高來進行計算，這個問題為下面學生的猜想作了鋪墊。（2）讓學生猜想：怎樣計算圓錐的體積？學生很自然地想到用“底面積乘高”的方法來計算。但有的同學提出了質疑：底面積乘高是計算圓柱體積的，很明顯，圓錐體積不能用同樣的方法來計算。（3）在學生的討論中，新的問題油然而生：那么怎樣計算圓錐的體積？圓錐的體積與圓柱的體積有什么關系呢？這幾個問題激發了學生探究的興趣，學生有了問題才會有探索，只有主動探索，才會有創造。

2引導學生真正參與探究過程

利用學生已有認知經驗，組織學生研究是學生自主學習的良好方式，但在課堂上往往受時空的限制，有時很難有效地完成，要么蜻蜓點水，要么變成個別同學的研究。對于圓錐體積的計算方法，在課堂教學中，很多老師常常是拿來一個圓柱容器、一個與圓柱容器等底、等高的圓錐形容器，老師演示：往圓錐容器中裝水或者谷粒，裝滿后倒入圓柱容器中，讓學生仔細觀察幾次能裝滿。老師裝完，學生也數完，需三次才能裝滿，于是師生共同得出結論：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一。從課堂教學來看，只是老師在做，學生在看，學生只是一個旁觀者，沒有參與到研究的過程中去，這種學習是機械地、被動地，是一種淺層的學習。

蘇霍姆林斯基說過：“在的人內心深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者，研究者、探索者，而在兒童的精神世界中這種需要特別強烈?！敝挥凶屆總€孩子都動起來，在動手做的過程中，引發思考、啟迪思維，學生才會進行深度學習。

我們可以設計這樣的探究活動：

2.1課前制作容器

課前讓學生用硬紙板制作一個圓柱容器，再做與這個圓柱等底等高、等高不等底、等底不等高，不等底不等高的圓錐容器各一個。別小看這簡單的制作活動，在制作容器的過程中，學生需要測量、計算、剪、粘，在動手、動腦的過程中，對圓錐、圓柱的底面積和高又加深了認識，對“等底等高”這個概念有了深入的認識，為新課的學習打下了基礎。

2.2課堂演示操作

課堂上以小組為單位，讓每個學生都親自動手操作：用各種圓錐容器為測量工具，往圓柱容器中裝谷粒，記錄下裝滿的次數，并填好表格。

將與圓柱與關的四種圓錐羅列出來，讓學生分別都動手做一做，旨在讓學生明確“與圓柱等底等高”這一前提的唯一性。

2.3組織學生交流

操作完成后組織學生交流各組操作后的發現，學生從自己小組里的信息可發現，只有與圓柱等底等高的圓錐需3次才能將圓柱容器裝滿，而其它的次數各不相同，這是不是偶然現象呢？教師再匯總全班各小組的數據讓學生觀察并思考：觀察表中數據，會發現什么？學生會發現：所有組與圓柱等底等高的圓錐都需要3次才能將圓柱裝滿，而其它圓錐裝的次數各不相同。

這樣在課堂上組織學生交流分享，碰撞研究火花，學生在獨立研究的基礎上，與同伴在共贏共進中進行深度學習。

2.4啟發思考，得出結論

引導、啟發學生思考：你發現了什么？圓錐體積和什么樣的圓柱體積有關系呢？有什么關系呢？怎樣計算圓錐的體積呢？學生從交流中自己會發現：圓錐體積只和與它等底等高的圓柱體積有關系，而且總是這樣圓柱體積的三分之一，于是利用圓柱的體積公式推導出：圓錐的體積=底面積贅住？

學習情境的真實展現，學生學習過程的真實展開，是學生自我建構知識結構的必備條件，只有真正經歷用已有數學活動經驗，不斷解決新問題的過程，學生的深度學習才有生命力。

篇（11）

在教學中，創設一個輕松，愉快，生動和諧的教學情境，學生積極主動地參與活動，全身心投入學習，達到活躍學生思維，增進知識理解，促進技能發展和素質的提高。因此，小學數學教學要培養學生想學――會學――好學――競爭的能力和習慣，這樣要求教師在教學中充分發掘教材的德育因素和學生的智力因素，使學生了解數學在生產和生活中的重要作用，明確學習目的。形成學習動機，同時抓住學生理解知識的關鍵和分析，思考問題的焦點，啟發學生思維，激發學生情感的共鳴，使學生進入積極思考，發言爭辯的學習情景。

要想學生想學，教師就必須善誘會問，提問帶思維成分，請學生回答問題應帶鼓勵性 ，“學起于思，思源于疑”。思維總是從問題開始，創設好問題前景，設疑激趣，就可以調動學生的積極性，誘發思維。在教學圓錐體積時，教師先出示等底等高的圓柱和圓錐，讓學生觀察其特點并回答問題，這個圓錐和圓柱的高相等嗎？底面積相等嗎？學生回答出高相等，底面積也相等后，教師在進一步提問：這個圓錐和圓柱的體積有什么關系呢？這時學生就會積極思維，踴躍發言。有的認為圓錐的體積是圓柱的三分之一，有的認為是二分之一，還有的認為不一定，這樣就水到渠成，自然地把學生引入學習情境中。

要使學生會學，好學，教室必須善于引導，設置的問題和教學的引入本身應具有趣味性。在教學圓錐體積時，教師在學生回答圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一或二分之一時，不必先忙于訂正答案，而是把全班分成若干小組，讓他們自己用等底等高的圓錐形容器教具裝沙的實驗。學生實驗后，明確了圓錐體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一。在這一教學中，學生以具體的，實在的親手實踐操作來認識事物，獲取知識，體驗了學習活動的樂趣，感受到自己成功的喜悅。要使學生競爭能力得到發展，教師的教學應留有余興，設置一定的坡度，使學生有問題可思，各抒己見，求異創新。在教學時，教師在學生知道圓錐的體積等于和它等高的圓柱體積的三分之一的基礎上，出示練習題如下：

（1）有一個圓柱和圓錐，底面積相等，高也相等，圓錐的體積是5立方米，圓柱的體積是多少？

（2）有一個圓柱和一個圓錐的體積和底面積都相等，圓柱的高是10厘米，圓錐的高是多少厘米？

（3）有一個圓柱的圓錐的體積，高都相等，圓柱的底面積是9平方厘米，圓錐的底面積是多少平方厘米？

讓學生進行討論，先算出答案，在歸納出一般規律，教師在學生經過一番激烈的爭論后，讓他們各抒己見，然后教師再作分析，評價。

（1）等底等高的圓錐體積等于圓柱體積的三分之一。

（2）體積和底面積都相等，圓錐的高是圓柱高的3倍。